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2014-02-02T22:57:52Z

Philosophy of cusp forms: Added wl

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			{{distinguish\|Chow's theorem}}
			In [[algebraic geometry]] '''Chow's lemma''', named after [[Wei-Liang Chow]], roughly says that a [[proper morphism]] is fairly close to being a [[projective morphism]]. More precisely, a version of it states the following:<ref>{{harvnb\|Hartshorne\|loc=Ch II. Exercise 4.10}}</ref>
			:If ''X'' is a scheme that is proper over a noetherian base ''S'', then there exists a [[projective variety\|projective]] ''S''-scheme ''X''' and ''S''-morphism <math>f: X' \to X</math> that induces <math>f^{-1}(U) \simeq U</math> for some open dense subset ''U''.

			Chow's lemma is one of the foundational results in algebraic geometry.

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			The proof here is a standard one (cf. {{harvnb\|EGA II\|loc=5.6.1}}).

			It is easy to reduce to the case when ''X'' is irreducible. ''X'' is noetherian since it is of finite type over a noetherian base. Thus, we can find a finite open affine cover <math>X = \bigcup_{i=1}^n U_i</math>. <math>U_i</math> are quasi-projective over ''S''; there are open immersions over ''S'' <math>\phi_i: U_i \to P_i</math> into some projective ''S''-schemes <math>P_i</math>. Put <math>U = \cap U_i</math>. ''U'' is nonempty since ''X'' is irreducible. Let
			:<math>\phi: U \to P = P_1 \times_S \cdots \times_S P_n.</math>
			be given by <math>\phi_i</math>'s restricted to <math>U</math> over ''S''.
			Let
			:<math>\psi: U \to X \times_S P.</math>
			be given by <math>U \hookrightarrow X</math> and <math>\phi</math> over ''S''. <math>\psi</math> is then an immersion; thus, it factors as an open immersion followed by a closed immersion <math>X' \to X \times_S P</math>. Let <math>f: X' \to X</math> be the immersion followed by the projection. We claim ''f'' induces <math>f^{-1}(U) \simeq U</math>; for that, it is enough to show <math>f^{-1}(U) = \psi(U)</math>. But this means that <math>\psi(U)</math> is closed in <math>U \times_S P</math>. <math>\psi</math> factorizes as <math>U \overset{\Gamma_\phi}\to U \times_S P \to X \times_S P</math>. <math>P</math> is separated over ''S'' and so the graph morphism <math>\Gamma_\phi</math> is a closed immersion. This proves our contention.

			It remains to show <math>X'</math> is projective over ''S''. Let <math>g: X' \to P</math> be the closed immersion followed by the projection. Showing that ''g'' is a [[closed immersion]] shows <math>X'</math> is projective over ''S''. This can be checked locally. Identifying <math>U_i</math> with its image in <math>P_i</math> we suppress <math>\phi_i</math> from our notation.

			Let <math>V_i = p_i^{-1}(U_i)</math> where <math>p_i: P \to P_i</math>. We claim <math>g^{-1}(V_i)</math> are an open cover of <math>X'</math>. This would follow from <math>f^{-1}(U_i) \subset g^{-1}(V_i)</math> as sets. This in turn follows from <math>f = p_i \circ g</math> on <math>U_i</math> as functions on the underlying topological space. Since ''X'' is separated over ''S'' and <math>U_i</math> is dense, this is clear from looking at the relevant commutative diagram. Now, <math>X \times_S P \to P</math> is closed since it is a base extension of the proper morphism <math>X \to S</math>. Thus, <math>g(X')</math> is a closed subscheme covered by <math>V_i</math> and so it is enough to show for each ''i'' <math>g: g^{-1}(V_i) \to V_i</math>, denoted by <math>h</math>, is a closed immersion.

			Fix ''i''. Let <math>Z</math> be the graph of <math>u: V_i \overset{p_i}\to U_i \hookrightarrow X</math>. It is a closed subscheme of <math>X \times_S V_i</math> since <math>X</math> is separated over ''S''. Let <math>q_1: X \times_S P \to X, q_2: X \times_S P \to P</math> be the projections. We claim <math>h</math> factors through <math>Z</math>, which would imply <math>h</math> is a closed immersion. But for <math>w: U' \to V_i</math> we have:
			:<math>v = \Gamma_u \circ w \Leftrightarrow q_1 \circ v = u \circ q_2 \circ v \Leftrightarrow q_1 \circ \psi = u \circ q_2 \circ \psi \Leftrightarrow q_1 \circ \psi = u \circ \phi.</math>
			The last equality holds and thus there is ''w'' that satisfies the first equality. This proves our claim. <math>\square</math>

			== References ==
			{{reflist}}
			*{{EGA\|book=II}}
			*{{Hartshorne AG}}



			[[Category:Algebraic geometry]]

49.50.236.216 at 04:58, 27 May 2012

2012-05-27T04:58:21Z

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Parabolic induction - Revision history

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