Gall–Peters projection: Difference between revisions

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{{mergefrom|Row echelon form|date=March 2013}}
== Timberland Homme Les deux hôtes de co sont les béat Le Gia ==
In [[linear algebra]], '''Gaussian elimination''' (also known as '''row reduction''') is an [[algorithm]] for solving [[system of linear equations|systems of linear equations]]. It is usually understood as a sequence of operations performed on the associated [[matrix (mathematics)|matrix]] of coefficients. This method can also be used to find the [[Rank (linear algebra)|rank]] of a matrix, to calculate the [[determinant]] of a matrix, and to calculate the inverse of an [[invertible matrix|invertible square matrix]]. The method is named after [[Carl Friedrich Gauss]], although it was known to Chinese mathematicians as early as 179 AD (see [[#History|History section]]).


To perform row reduction on a matrix, one uses a sequence of [[elementary row operations]] to modify the matrix until the lower left-hand corner of the matrix is filled with zeros, as much as is possible. There are three types of elementary row operations: 1) Swapping two rows, 2) Multiplying a row by a non-zero number, 3) Adding a multiple of one row to another row. Using these operations, a matrix can always be transformed into an [[Triangular matrix|upper triangular matrix]], and in fact one that is in [[row echelon form]]. Once all of the leading coefficients (the left-most non-zero entry in each row) are 1, and in every column containing a leading coefficient has zeros elsewhere, the matrix is said to be in [[reduced row echelon form]]. This final form is unique; in other words, it is independent of the sequence of row operations used. For example, in the following sequence of row operations (where multiple elementary operations might be done at each step), the third and fourth matrices are the ones in row echelon form, and the final matrix is the unique reduced row echelon form.
Certains haltérophiles peuvent mettre sur £ 20. Ce format est également un bien meilleur indicateur de maîtrise de l'anglais parlé, les candidats MBA de quelque chose peuvent masquer dans les essais .. Nous avons fait beaucoup de recherches et je me souviens, la question des carottes de nitrates (dont on entend beaucoup sur) c'est quelque chose d'un mythe [http://www.lebleu.be/SpryAssets/content.asp?h=17-Timberland-Homme Timberland Homme] que je <br><br>(Voir les références 1) Bien que les LFC ont besoin d'un sursaut d'énergie pour les éclairer, selon le DOE, ces ampoules consomment 75 pour cent moins d'énergie que les ampoules à incandescence traditionnelles, une fois le courant électrique commence à s'écouler (voir les références 1). (Ashley Judd) les troubles de Vivi comprennent: rencontrer le racisme de la famille comme un enfant;, une mère jalouse amère qui l'accuse à tort d'inceste avec son père, et la perte de son amour vrai, le frère aîné de minuscule Jack (Matthew Settle) qui est tué dans <br><br>Ces facteurs sont l'environnement et le comportement. Les fameuses «mesures Exorcist" utilisés dans le film d'horreur 1973 "L'Exorciste" sont situés juste en dessous de Georgetown campus .. Elissa a trouvé que les visions spirituelles sont tellement monnaie courante dans les soins palliatifs qu'elle a écrit un roman décrivant ces expériences, Moments [http://www.glasscoating.be/contact/custing.asp?t=36-Magasin-Barbour-Bruxelles Magasin Barbour Bruxelles] miraculeux intitulé: True <br><br>Je prends la vie un jour à la fois, la manipulation car ils se posent inévitablement. Les choux de Bruxelles ont 3 grammes de fibres par tasse quand ils sont crus, et ils sont riches en vitamine K et la vitamine C ne sont pas chauds et floue mais ils ne méritent pas d'être une expérience scientifique, ont-ils? <br><br>Emory est divisé en neuf écoles et collèges, dont quatre servent les étudiants et les diplômés. Deux des trois hommes d'origine ont été marqués et relâchés dans leurs zones humides indigènes Gila .. Mais la complexité réelle a été équilibrant les aléas d'une charge de travail à temps plein avec le maternage ses [http://www.lebleu.be/SpryAssets/content.asp?h=85-Timberland-Shoes Timberland Shoes] trois enfants et toujours trouver du temps pour ébats créatif de la photographie, la peinture, [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=77-Nike-Air-Max-Thea-Belgique Nike Air Max Thea Belgique] <br><br>Les deux hôtes de co sont les béat Le Gia, et tante comme Mlle Huang à la mode, les psychologues un peu plus âgés qui siègent au côté de la scène, intervenez avec désinvolture les observations inutiles mais poignants, en particulier Mlle Huang "Pour la première fois que nous entendons J'aime juste <br><br>Pour faire quoi que ce soit de toute valeur pratique, vous avez besoin d'imprimer tous les composants individuels puis de les assembler à la main, en ajoutant dans les choses qui ne peuvent pas être imprimées vis, ressorts, élastiques, des joints, des circuits imprimés et ainsi de suite. Cette activité brise-glace crée un environnement amusant et classe productive, et aide les élèves à apprendre sur la publicité et writing.Warm convaincant Jusqu'à Activité: Émotion OrchestraAn excellente activité d'échauffement qui reçoit des artistes de vocaliser, le genre tragique, et payer Breakers attention.Ice: Cercle GamesThese improvisation activités sont conçues pour se réchauffer acteurs et étudiants en art dramatique.<ul>
 
  <li>[http://xiaocheng.me/home.php?mod=space&uid=25385 http://xiaocheng.me/home.php?mod=space&uid=25385]</li>
 
  <li>[http://www.rich580.com/forum.php?mod=viewthread&tid=9601 http://www.rich580.com/forum.php?mod=viewthread&tid=9601]</li>
 
  <li>[http://www.21dm.org/21dmnet/forum.php?mod=viewthread&tid=27871&fromuid=9978 http://www.21dm.org/21dmnet/forum.php?mod=viewthread&tid=27871&fromuid=9978]</li>
 
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</ul>


:<math>\left[\begin{array}{rrr|r}
== Beats By Dr Dre Bruxelles  qui est logé à l'ICU. ==
1 & 3 & 1 & 9 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
3 & 11 & 5 & 35
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & 1 & 9 \\
0 & -2 & -2 & -8 \\
0 & 2 & 2 & 8
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & 1 & 9 \\
0 & -2 & -2 & -8 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & -2 & -3 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] </math>


Using row operations to convert a matrix into reduced row echelon form is sometimes called '''Gauss–Jordan elimination'''. Some authors use the term Gaussian elimination to refer to the process until it has reached its upper triangular, or (non-reduced) row echelon form. For computational reasons, when solving systems of linear equations, it is sometimes preferable to stop row operations before the matrix is completely reduced.
Je suis sur le point d'annoncer est révolutionnaire [http://www.creamark.eu/includes/contact.asp?b=47-Beats-By-Dr-Dre-Bruxelles Beats By Dr Dre Bruxelles] recherche scientifique originale qui va changer le cours de l'histoire de la nourriture. Ou je vais lui acheter le dîner et puis la prochaine fois que nous sortons d'une date, il prend le contrôle. Kent Redding, président de l'Afrique aventure Consultants, dit offres dans toute l'industrie restent très répandues.<br><br>Salut Leola Votre article m'a inspiré, je suis si heureux pour vous que vous récupéré et a eu une chance dans la vie Mon père est décédé il ya 1 an avec ce anévrisme. Offrant de l'aide et d'être un joueur d'équipe vous mènera loin. La photothérapie consiste à utiliser le rayonnement ultraviolet pour apaiser un état de la peau.<br><br>"Un brillant nue dans une formule brillante et chatoyante fonctionne pour refléter la blancheur de vos dents contre grisonnants émail, créant l'illusion que les dents sont plus brillants que ce qu'ils sont réellement," dit LeAura Luciano, un artiste de maquillage de célébrité qui a travaillé avec des actrices Zoe Saldana <br><br>Ou, si quelqu'un d'autre que l'hôte vous invite, vous pouvez [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=81-Isabel-Marant-Chaussures-Prix Isabel Marant Chaussures Prix] parler des personnes que vous connaissez et pourquoi on vous a demandé de [http://www.spellenclubs.be/extern/functions.asp?l=49-Abercrombie-Fitch-Polémique Abercrombie Fitch Polémique] venir à cet événement .. Au cours de cette période de sa vie radicalement changé, comme ne la flambée de la consommation à la fois de la coca et de l'alcool, <br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Le dernier bilan est de 85 morts et plus de 140 blessés, mais ces deux numéros ont été à la hausse comme la recherche des sauveteurs dans les décombres .. Il condamne le terrorisme et les attaques 911, mais d'autres disent que c'est une organisation terroriste ayant des liens avec Al-Qaida ..<br><br>Il ya aussi quelques conseils ici à Parentsplace qui traitent avec le sommeil: je suis d'accord avec l'autre affiche de pleurer dehors n'est pas la voie à suivre. La fondation de la richesse est la elemination de la dette. Les infections à levures sont alimentés par de la farine blanche et le sucre. <br><br>"Maintenant, il y avait certaines choses que clairement qu'il méritait critique pour,» dit-il. Dans ces moments, la réponse la plus utile est de simplement tenir et aimer nos bébés. Becker a demandé les dossiers de l'ICU au début de Mars 2013 dans un effort pour creuser plus profondément dans les circonstances très particulières entourant la publication de la CNSS par la revue Social Science Research, qui est logé à l'ICU.<br><br>Les clients désireux de trouver un prix pas cher sur leur prochain sac à main de l'entraîneur se tournent souvent vers les magasins Outlet. Un peu de maquillage Quand une femme porte à [http://www.lebleu.be/SpryAssets/content.asp?h=45-Chaussures-Timberland-Bruxelles Chaussures Timberland Bruxelles] beaucoup de maquillage normalement gars n'aime pas ça. "Mais pour une telle personne, la meilleure stratégie est susceptible d'être à attendre 70 à recueillir." Aussi, si votre dernière année de bénéfice se révèle être l'un de vos 35 meilleures années de rémunération dans la population active, votre prestation sera recalculée à vous payer pour vos gains plus élevés ..<ul>
 
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</ul>


== Definitions and example of algorithm ==
== Ray Ban Belgium ==
The process of row reduction makes use of [[elementary row operations]], and can be divided into two parts. The first part (sometimes called Forward Elimination) reduces a given system to ''row echelon form'', from which one can tell whether there are no solutions, a unique solution, or infinitely many solutions. The second part (sometimes called [[Triangular matrix#Forward and back substitution|back substitution]]) continues to use row operations until the solution is found; in other words, it puts the matrix into ''reduced'' row echelon form.


Another point of view, which turns out to be very useful to analyze the algorithm, is that row reduction produces a [[matrix decomposition]] of the original matrix. The elementary row operations may be viewed as the multiplication on the left of the original matrix by [[elementary matrix|elementary matrices]]. Alternatively, a sequence of elementary operations that reduces a single row may be viewed as multiplication by a [[Frobenius matrix]]. Then the first part of the algorithm computes an [[LU decomposition]], while the second part writes the original matrix as the product of a uniquely determined invertible matrix and a uniquely determined reduced row echelon matrix.
Honnêtement, je ne vois pas ce qui est si grande sur Ender de toute façon. Mais ce n'était pas le cas pour Gliese 667C, qui est plus frais et plus faible que [http://www.bandenerwin.be/includes/download.asp?id=2-Ray-Ban-Belgium Ray Ban Belgium] le soleil, ce qui permet [http://www.andersmetklank.be/ontwikkeling/favicon.asp?l=15-Vibram-Five-Fingers-Paris Vibram Five Fingers Paris] à certaines planètes de rester habitable .. Vous pouvez ranger autant d'argent chaque année, mais le compromis est que, avec un Roth IRA <br><br>Au lieu d'espérer pour le mieux, faire ce que vous pouvez préparer la voie pour aider à assurer une issue heureuse .. l'équité humaine. Ce brûle plus de graisse corporelle et émousse la faim pour vous aider à manger moins de calories tout au long de la journée. Ensuite, le reste de l'eau est désinfectée. <br><br>Commencez à gagner jusqu'à 375 $ par jour d'écriture pour les grandes entreprises .. Liens: Photos récupération, de photos récupération Pro est un outil spécialisé de récupération de photos qui pourraient récupérer des photos supprimées à partir de n'importe quel type de support de stockage et de toute sorte de situation de perte de données.<br><br>Ce qui rend cette astuce se démarquer des autres tours de magie de cartes facile est que la manipulation de la part du magicien est minime, et le spectateur trouve pratiquement de la carte lui-même .. Ce ne sera [http://www.bierhandeldetroetsel.be/pics/contact.asp?g=51-Lacoste-Polo-Flag Lacoste Polo Flag] pas facile. Steinberg: "Nous allons être en mesure de trouver des choses sur notre public que personne ne sait.".<br><br>Quatre ans plus tard, les responsables Neil M. Fed devront donc pédaler plus en plus difficile pour les effets de la baisse des taux d'intérêt à court terme par le biais non conventionnelles options de politique monétaire, et l'achat de titres d'État à long terme est l'un des plus classique de ces options non conventionnelles ..<br><br>Nous vous conseillons d'imbéciles à la recherche, utilisez les forums de discussion (en particulier le conseil Drip Basics), obtenir d'autres avis, et puis finalement à prendre leurs propres décisions. Mais, dans la maîtrise dans une industrie trop téméraire et [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=74-New-Balance-Femme-U410 New Balance Femme U410] puissant, il portait l'influence d'une tradition de mesures de réforme, de la Loi sur le commerce interétatique, avait requis des entreprises qui jouent un rôle dans la gestion des réseaux essentiels de l'économie de s'en tenir à une ligne de l'entreprise et offrir un service encore remis à tous ..<br><br>Mais quand j'ai vu un lien Facebook à ce poste, il a écrit mardi après avoir appris que son père était mort, je savais que c'était quelque chose qui devrait être plus largement partagées. Je suis malade d'être un SLP. Ce n'est pas la première population de lions de survivre que dans les zoos. Rappelez-vous que émission de télévision préférée de votre enfance?<ul>
 
  <li>[http://bbs.711g.com/home.php?mod=space&uid=158302 http://bbs.711g.com/home.php?mod=space&uid=158302]</li>
 
  <li>[http://www.k8383.com/news/html/?686706.html http://www.k8383.com/news/html/?686706.html]</li>
 
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</ul>


===Row operations===
== Adidas Wings Homme  qui ==
{{see also|Elementary matrix}}


There are three types of '''elementary row operations''' which may be performed on the rows of a matrix:
Une nouvelle édition de ce livre a été publié en 2012 par HarperCollins. Nicole bonadies Baker du ministère de l'Education a dit s'attendre à davantage de personnes à se réfugier là où ils recevraient des conseils .. Cependant, Matthias était [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=75-Adidas-Wings-Homme Adidas Wings Homme] un musicien populaire enthousiaste, qui, durant la période compagnon de sa carrière lui avait appris à jouer de la harpe.<br><br>Ce n'est pas quelque chose que nous sommes heureux, bien sûr. Plus tôt ce mois-ci, la sortie de nouvelles a annoncé qu'il mettra ancrage populaire Megyn Kelly en prime time, avec un nouveau calendrier qui sera dévoilé à une date ultérieure. Si vous êtes âgé de 45 ans, vous devriez vérifier si vous serez admissible à la retraite à prestations définies.<br><br>Miles a fait de nombreuses présentations pour les médecins et la communauté à travers l'Amérique du Nord. Bien que la plupart des spectacles sont en italien, les enfants de toutes les nationalités jouissent les pitreries des marionnettes, qui transcendent les barrières linguistiques. Programmes d'études supérieures Emory comprennent le bien classés Goizueta Business School, école de droit, école de médecine, Nell Hodgson Woodruff École des sciences infirmières et Rollins School of Public Health.<br><br>Le film terminé est de 30 minutes. J'ai toujours sors de [http://www.thelord.be/scripts/menukaart.asp?j=74-Nike-Air-Jordan-Pas-Cher Nike Air Jordan Pas Cher] la classe avec un sourire sur mon visage .. Rallye Sud-Soudan rassemble plus de troupes pour lutter contre les rebelles appel urgent des Nations Unies pour le Sud-Soudan et de la RCA SBS Sport (il ya 3 jours) jouer pause arrêter la répétition de répétition de volume max Muet envoi L' <br><br>Il est mon fils, et ce que je ressens quand je le vois est profonde .. C'est peut-être stupide, il peut être banal, mais il 90 minutes de plaisir pur pop-corn. Cette technique simple stimule le sang et la lymphe flux, élimine les cellules mortes de la peau et favorise la croissance de nouvelles cellules.<br><br>C'est une donnée que votre pointage de crédit va grandement bénéficier d'une ligne commerciale positive [http://www.creamark.eu/includes/contact.asp?b=39-Beats-By-Dre-Fnac-Belgique Beats By Dre Fnac Belgique] et historique de paiement [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=39-Louis-Vuitton-Ceinture-Homme-Pas-Cher Louis Vuitton Ceinture Homme Pas Cher] positif, mais vous recevrez un avantage pratique beaucoup plus de service que le paiement d'un prêt de voiture fait pour votre historique de crédit. Faire tremper dans l'ambiance de South Beach, et profiter ..<br><br>Autant il peut essayer de vous faire penser le contraire, vous devriez vous en tenir à vos armes et ne changera pas votre décision. Mais Disney a également fait du storytelling créatif de son propre. Le soutien philanthropique de cette couverture a contribué national favoriser géographique une large discussion sur les moteurs de la croissance de la population ou le déclin et les limites de la planète nous share.The Walton Family Foundation s'engage à corriger K 12 réforme de l'éducation, de la conservation marine sensible et milieux d'eau douce,<ul>
:'''Type 1''': Swap the positions of two rows.
 
:'''Type 2''': Multiply a row by a nonzero [[scalar (mathematics)|scalar]].
  <li>[http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3 http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3]</li>
:'''Type 3''': Add to one row a scalar multiple of another.
 
  <li>[http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/ http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/]</li>
 
  <li>[http://75shu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=52526&fromuid=12612 http://75shu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=52526&fromuid=12612]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17462299 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17462299]</li>
 
  <li>[http://yingshi.vivis.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=99869&extra= http://yingshi.vivis.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=99869&extra=]</li>
 
</ul>


If the matrix is associated to a system of linear equations, then these operations do not change the solution set. Therefore, if one's goal is to solve a system of linear equations, then using these row operations could make the problem easier.
== Nike Blazer Vintage Pas Cher  la pensée va ==


===Echelon form===
Ne vous [http://www.slagerij-vasseur.be/backoffice/class/ligging.asp?id=28-Nike-Blazer-Vintage-Pas-Cher Nike Blazer Vintage Pas Cher] méprenez pas. Mon père est venu me chercher à la gare de bus quand je rendais visite à New York. LTC Gibson est l'armée le lieutenant-colonel Greg Hicks qui a dit a été dit de se retirer avec ses 3 autres forces spéciales quand ils voulaient aller [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=28-Chaussures-Mbt-Amazon Chaussures Mbt Amazon] à Benghazi le matin de Sept 12.<br><br>Une différence entre les petits et les grands magasins est que les petits magasins vous connaissent personnellement et en grands magasins vous êtes un certain nombre. Encouragez vos beaux-enfants pour prendre soin de l'enfant. Mais il ya une chance que les nouvelles connexion Schiano à un travail collégial pourrait être un signe que les proches de l'entraîneur croient ses jours à Tampa Bay sont numérotés ..<br><br>Ils sont généralement fabriqués à la main et à l'aide de l'art traditionnel de la fabrication de bijoux. La question de l'équité est conçu pour plaire à sa base penchée à gauche, et convaincre les cols bleus Reagan démocrates qui l'ont soutenu en 2008, mais sont maintenant désenchanté de rester avec lui plutôt que de passer à un homme riche insensible qui a fait fortune à Bain Capital vidange trésorerie <br><br>Je me suis sevré d'un couple de semaines il ya encore ne pas connaître les symptômes de sevrage sévères. Processus de sélection plus sévères ont été introduites pour tous les achats d'armes à feu, y compris l'évaluation des risques, la vérification des antécédents et de l'enregistrement des [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=69-Nike-Cortez Nike Cortez] armes à feu. <br><br>Il existe toujours. Il n'ya tout simplement aucun moyen de voir vos manuscrits objectivement après avoir passé des centaines d'heures immergés en eux. Cette obtiendrez votre [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=35-Magasin-Nike-Belgique Magasin Nike Belgique] enfant utilisé pour le caractère unique de contact d'un père .. Anthony Leeuwenhoek est devenu plus impliqué dans la science et avec son nouveau microscope perfectionné a pu voir des choses que personne n'avait jamais vu avant.<br><br>Ainsi, la pensée va, les gens modernes sont les descendants de quelque chose qui ressemble au chimpanzé hybrides humains. "Nous avons trouvé à peu près exactement les mêmes matériaux ont été utilisés à la fois.». Taylor Ewing, originaire de Virginia Beach, en Virginie, a remporté la division des hommes ouverts dans les Nationals de wakeboard. "Un de mes sponsors m'ont acheté un billet et j'ai été assez chanceux pour obtenir de congé de mon travail régulier», a déclaré Ewing.Dominic <br><br>Les allergènes eczéma producteurs les plus courants sont les savons, les détergents, les tissus (en particulier la laine), les assouplissants, les tapis et les aliments tels que les œufs, les produits laitiers ou de blé. Le livre est lié à attirer un large éventail de lecteurs de mamans timides comme moi qui ont besoin constant à une assurance de regard qu'ils font les bons gestes et les professionnels du fitness qui cherchent à diversifier leurs programmes d'entraînement, les illustrations en couleurs détaillées sont utiles à la fois les novices et<ul>
{{main|Row echelon form}}
 
For each row in a matrix, if the row does not consist of only zeros, then the left-most non-zero entry is called the ''[[leading coefficient]]'' (or ''pivot'') of that row. So if two leading coefficients are in the same column, then a row operation of type 3 (see [[#Row operations|above]]) could be used to make one of those coefficients zero. Then by using the row swapping operation, one can always order the rows so that for every non-zero row, the leading coefficient is to the right of the leading coefficient of the row above. If this is the case, then matrix is said to be in '''row echelon form'''. So the lower left part of the matrix contains only zeros, and all of the zero rows are below the non-zero rows. The word "echelon" is used here because one can roughly think of the rows being ranked by their size, with the largest being at the top and the smallest being at the bottom.
  <li>[http://www.baimusic.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=112216&fromuid=31407 http://www.baimusic.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=112216&fromuid=31407]</li>
 
  <li>[http://www.jthwba.com/news/html/?261654.html http://www.jthwba.com/news/html/?261654.html]</li>
 
  <li>[http://www.zhuangxiumao.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2330&fromuid=1550 http://www.zhuangxiumao.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2330&fromuid=1550]</li>
 
  <li>[http://www.wfyw.cn/news/html/?30831.html http://www.wfyw.cn/news/html/?30831.html]</li>
 
  <li>[http://222.173.43.176:901/bbs/boke.asp?tpjiphmc.showtopic.92032.html http://222.173.43.176:901/bbs/boke.asp?tpjiphmc.showtopic.92032.html]</li>
 
</ul>


For example, the following matrix is in row echelon form, and its leading coefficients are shown in red.
== Nike Roshe Run Camo  Sloan Kettering et a souligné que le ==


:<math>\left[ \begin{array}{cccc} 0&\color{red}{\mathbf{2}}&1&-1 \\ 0&0&\color{red}{\mathbf{3}}&1 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right]</math>
Ce bébé n'est pas faire [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=60-Nike-Roshe-Run-Camo Nike Roshe Run Camo] un désordre ce trop est irréaliste. Verser les perles finis sur une plaque de cuisson recouverte de papier parchemin ou ciré, et répéter jusqu'à ce que toutes les perles sont recouvertes et brillant, [http://www.slagerij-vasseur.be/backoffice/class/ligging.asp?id=66-Nike-Blazer-Vintage-Homme Nike Blazer Vintage Homme] en ajoutant plus de poussière et de liquide que nécessaire .. Le gouvernement a porté presque entièrement sur l'aide apportée aux familles pour compenser <br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">En quelques jours, les travailleurs de la santé des malades ont commencé à apparaître dans les salles d'urgence, la signalisation le virus a été continue de se propager dans les hôpitaux de la ville .. la peau de Mntyranta a progressivement rougi parce que son corps produit une surabondance de globules rouges.<br><br>Peu importe si vous avez besoin de perdre du poids réels, la clé d'un corps plus tonique développe la masse musculaire maigre tout en réduisant la graisse corporelle. Il s'est très bien passé et il a fini dans son livre et est devenu un moment célèbre dans le monde entier. Lors de l'examen des sources potentielles, qu'elles soient sur [http://www.lineair.be/content/includes/paypal.asp?f=8-Revendeur-Oakley-Belgique Revendeur Oakley Belgique] le Web ou ailleurs, nous devons vraiment utiliser nos caboches! Une des meilleures sources que je rencontre ces derniers temps pour aider à développer la pensée critique doit être Austhink dépositaire d'une grande variété de ressources de la pensée critique.<br><br>Et puis une fois que repose pendant un certain temps, nous allons aller de l'avant et coupé la finale Baklava avec un couteau dans les formes de diamant finales. Rédigez une liste de toutes les personnes qui sont les plus susceptibles de vous aider. Continuez à apprendre à leur sujet .. Si vous avez investi dans une bonne cave, ne risque pas de stockage et le vieillissement vos cigares mal en s'appuyant sur un hygromètre pas cher ou défectueux ..<br><br>Mieux encore, plusieurs sont gratuits (en supposant que vous êtes prêt à acheter un livre ou une vidéo et de passer du temps de qualité avec votre enfant!) .. Si vous avez un nom qui est particulièrement fréquente, alors la recherche sur le Web d'un gestionnaire d'embauche pour vous pourrait aboutir à l' <br><br>Gouvernement sous certaines conditions. Quand nous vivons de cette manière, nous n'avons pas besoin de tout l'homme fait tout système / tout le monde a déjà été pris en charge par notre amour pour la vie .. Au [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=126-Nike-Tn-Foot-Locker Nike Tn Foot Locker] Août 8 1945, annonce au sujet de l'institut de recherche, Sloan Kettering et a souligné que le <br><br>Souvent ce que vous dites n'est pas aussi important que la façon dont vous le dites. Utilisez les informations de votre plan d'affaires à développer un plan d'opérations. Quoi de neuf! > Famille formes pour Ada, Boise, Valley, comté d'Elmore connexes. Peu de temps après, je suis connecté avec Lynn et nous sommes venus avec l'idée que ce serait merveilleux si nous pouvions obtenir les garçons ensemble de l'Ontario.<ul>
 
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</ul>


It is in echelon form because the zero row is at the bottom, and the leading coefficient of the second row (in the third column), is to the right of the leading coefficient of the first row (in the second column).
== Uggs Boots Belgique  alimentation à faible index glycémiqu ==


A matrix is said to be in '''reduced row echelon form''' if furthermore all of the leading coefficients are equal to 1 (which can be achieved by using the elementary row operation of type 2), and in every column containing a leading coefficient, all of the other entries in that column are zero (which can be achieved by using elementary row operations of type 3).
Ancien président de la FDIC William Issac a dit la Securities and Exchange Commission que chaque banque centrale de l'argent dans les années 1980 aurait fait faillite, ils ont été forcés d'écrire fortement la dette la valeur de l'Amérique latine: «Si nous avions suivi l'approche actuelle au cours des années 1980, nous <br><br>  Réglage des idées pour l'improvisation et Sketch Comédie. Capturées articles gratuits pour votre site Web et des bulletins d'information. J'ai encore une chance pour qu'il ne se produise ici .. Lorsqu'on lui a rappelé que Gonzaga entraîneur Mark Peu passe deux semaines chaque été à Maui surf avec sa famille, Dykes a répondu: «Mais Archie lui tomber son conseil d'administration si c'est ce qu'il prend pour gagner. "Où est Dayton? Ma servante d'hôtel à l'hôtel Hyatt Regency a fait un excellent travail de nettoyage et d'entretien de ma chambre cette semaine, même si elle était un peu méfiant de [http://www.r2b.be/verstraete/design/disclaimer.asp?k=95-Uggs-Boots-Belgique Uggs Boots Belgique] la grande quantité de matériel électronique situé dans la pièce.<br><br>Après environ 20 minutes d'essayer de comprendre ce qui était près de lui, je suis sûr que c'était le droit de Castor et Pollux. Il a servi pendant quatre ans avant d'être libéré .. Selon la dernière Enquête [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=59-Doudoune-Moncler-Prix Doudoune Moncler Prix] sur l'emploi du temps américaine, les femmes américaines dépensent trois fois plus de temps aux tâches domestiques que les hommes, et les femmes font plus de la préparation des aliments deux fois plus et le nettoyage.<br><br>Elle a dit que si la fièvre ne va pas disparaître le mardi pour le faire revenir po. C'est la norme pour être sur n'importe quel type de médicaments il. C'est plus lié à des objets qui sont capables de se déplacer, ou donnent l'apparence de mouvement ou de la pensée sensible. <br><br>D'autres encore pourraient faire valoir que ces premiers chercheurs comme Helmholtz et Fechner le mérite comme les fondateurs de la psychologie .. Merci. Avant cette nomination, Peter a occupé le rôle de direction du Groupe, des opérations produit à partir de Juillet 2008. Comment faites-vous lui faire comprendre ses erreurs? <br><br>La faute et la responsabilité est la leur. Et aujourd'hui, nous allons trouver le moyen le plus rapide de jambes musclées utilisant la danse [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=67-Nike-Chaussure-Personnalisée Nike Chaussure Personnalisée] et de l'exercice. Les procédures analytiques sont fondées sur les méthodes d'essais croisés décrits par Senn.19 Pour chaque résultat, nous avons aménagé mesures répétées modèle à effets mixtes avec période de mesure comme variable indépendante (de base, régime faible en gras, alimentation à faible index glycémique, très faible en glucides), ajustement pour le sexe, l'âge, du poids après la course en phase, séquence de régimes, le poids moyen au cours de la période de mesure, afin de période de mesure (de référence toujours en premier; [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=34-Adidas-Jeremy-Scott-Wings-2.0-Femme Adidas Jeremy Scott Wings 2.0 Femme] régimes de phase de test deuxième, troisième ou quatrième), dans participant covariance entre périodes de mesure, et<ul>
 
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</ul>


===Example of the algorithm===
== Nike Blazer Low Premium Vintage Suede de la naissance ==
Suppose the goal is to find and describe the set of solutions to the following [[system of linear equations]]:
:<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y            &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 8 & \qquad (L_1) \\
-3x &&\; - \;&& y            &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 & \qquad (L_2) \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 &  \qquad (L_3)
\end{alignat}</math>


The table below is the row reduction process applied simultaneously to the system of equations, and its associated [[augmented matrix]]. In practice, one does not usually deal with the systems in terms of equations but instead makes use of the augmented matrix, which is more suitable for computer manipulations. The row reduction procedure may be summarized as follows: eliminate ''x'' from all equations below <math>L_1</math>, and then eliminate ''y'' from all equations below <math>L_2</math>. This will put the system into [[triangular form]]. Then, using back-substitution, each unknown can be solved for.
Toujours suivi avec le recruteur, peut-être même variant entre votre téléphone de contact et adresse e-mail, vous saurez est la seule façon pour vous ce qui se passe .. Selon la garde d'enfants Conscient de l'Amérique, le coût de la prise en charge précoce et de l'éducation, de la naissance <br><br>Un millier d'années à partir de maintenant il peut nous ou nos enfants dont les tombes Ils souillent et profanent être. Bieber a une capacité impressionnante à créer de la musique de manière extemporanée Quand il dans le studio avec les producteurs, mais quand il s'assoit pour des entretiens avec le directeur pour savoir s'il l'a jamais été dans l'amour ou ce [http://www.slagerij-vasseur.be/backoffice/class/ligging.asp?id=42-Nike-Blazer-Low-Premium-Vintage-Suede Nike Blazer Low Premium Vintage Suede] que ça fait d'être sous les projecteurs, il peut ensemencer entièrement articulé <br><br>4 Plus de deux n'est pas nécessaire est algorithmes basés résolveur .. Henry Kissinger à la Maison Blanche, et en 1984 Mme Poèmes sur Honorer fournisseurs; Activités Thèmes pour honorer les Premières Dames de l'Eglise eHow, Activités Thèmes pour honorer Premières Dames De La churchThe Dame Eglise de Wikipedia, l'encyclopédie libre, La Dame Eglise était un personnage récurrent dans une série de sketches sur l'émission de télévision américaine samedi soir.<br><br>Heureusement pour moi, mes plus proches des gens sont du feng shui Orient dans mon groupe, aussi, qu'il est facile de m'adapter à mon environnement de travail de la meilleure façon .. Lorsque les élèves développent de travail, il ya beaucoup à faire sur le campus de l'école principale de l'Université de Philadelphie ville. <br><br>Il ya des tonnes de sites là-bas pour aider les enfants avec Academica. Je vis, respirer, dormir, manger [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=89-Nike-Air-Max-2013-Prix Nike Air Max 2013 Prix] et parfois malheureusement cheveux. L'histoire naturelle de notre [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=117-Longchamp-Sac-Pliage Longchamp Sac Pliage] planète a été scrupuleusement étudié et analyses par les scientifiques, c'est à dire Comment un tout nouveau type de vie, même si elle est microbienne, n'ont pas été respectées? <br><br>C'est une sorte d'échec que les coupes plus profondes que d'essayer de concevoir un enfant naturellement, parce que vous allez à Great Lengths pour obtenir telle enceinte et vous mettre par [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=41-Mbt-Schoenen-In-Belgium Mbt Schoenen In Belgium] des traitements peu invasifs. Votre professeur va commencer le bal en appelant le, dire, et de poser une question comme un lapin ne manger? <br><br>Pour une activité toute la famille peut profiter, aller à la Secret Garden and Dolphin Habitat au Mirage Resort. Ce n'est pas aussi mauvais que la plupart des cas, mais il ya toujours des choses derrière mon dos. Cette page sera mise à jour avec de nouvelles questions et réponses RÉGULIÈREMENT lecteurs .. Rebecca Skloot<ul>
 
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</ul>


{| style="width: 700px" style="background-color:white;" class="wikitable"
== Sac A Main Longchamp Roseau qui sera examiné ci-dessous ==
|-
!System of equations !! Row operations !! Augmented matrix
|- align="center"
| <math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y            &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8 & \\
-3x &&\; - \;&& y            &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 & \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 &
\end{alignat}</math> || || <math>
\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & -1 & 8 \\
-3 & -1 & 2 & -11 \\
-2 & 1 & 2 & -3
\end{array} \right]
</math>
|- align="center"
| <math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 8 &  \\
&& && \frac{1}{2}y &&\; + &&\; \frac{1}{2}z &&\; = \;&& 1 & \\
&& && 2y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 5 &
\end{alignat}</math> || <math>L_2 + \frac{3}{2}L_1 \rightarrow L_2</math> <br> <math>L_3 + L_1 \rightarrow L_3</math>  ||
<math>\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & -1 & 8 \\
0 & 1/2 & 1/2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5
\end{array} \right]</math>
|- align="center"
| <math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y \;&& - &&\; z \;&& = \;&& 8 &  \\
&& && \frac{1}{2}y \;&& + &&\; \frac{1}{2}z \;&& = \;&& 1 & \\
&& && && &&\; -z \;&&\; = \;&& 1 &
\end{alignat}</math> || <math>L_3 + -4L_2 \rightarrow L_3</math> || <math>\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & -1 & 8 \\
0 & 1/2 & 1/2 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{array} \right] </math>
|-
| colspan=3; align="center"| The matrix is now in echelon form (also called triangular form)
|- align="center"
| <math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y \;&& &&\; \;&& = \;&& 7 &  \\
&& && \frac{1}{2}y \;&&  &&\; \;&& = \;&& 3/2 & \\
&& && && &&\; -z \;&&\; = \;&& 1 &
\end{alignat}</math> || <math>L_2+\frac{1}{2}L_3 \rightarrow L_2</math> <br> <math>L_1 - L_3 \rightarrow L_1 </math> || <math>\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 0 & 7 \\
0 & 1/2 & 0 & 3/2 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{array} \right] </math>
|- align="center"
| <math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y \;&& &&\; \;&& = \;&& 7 &  \\
&& && y \;&&  &&\; \;&& = \;&& 3 & \\
&& && && &&\; z \;&&\; = \;&& -1 &
\end{alignat}</math> || <math>2L_2 \rightarrow L_2</math> <br> <math>-L_3 \rightarrow L_3 </math> || <math>\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 0 & 7 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array} \right] </math>
|- align="center"
| <math>\begin{alignat}{7}
x &&\;  &&  \;&& &&\; \;&& = \;&& 2 &  \\
&& && y \;&&  &&\; \;&& = \;&& 3 & \\
&& && && &&\; z \;&&\; = \;&& -1 &
\end{alignat}</math> || <math>L_1 - L_2 \rightarrow L_1</math> <br> <math>\frac{1}{2}L_1 \rightarrow L_1 </math> || <math>\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array} \right] </math>
|}


The second column describes which row operations have just been performed. So for the first step, the ''x'' is eliminated from <math>L_2</math> by adding <math>\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix} L_1</math> to <math>L_2</math>. Next ''x'' is eliminated from <math>L_3</math> by adding <math>L_1</math> to <math>L_3</math>. These row operations are labelled in the table as
"Momentum irréfutable [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=99-Sac-A-Main-Longchamp-Roseau Sac A Main Longchamp Roseau] qui confirme la stratégie que nous avons suivie est la Stratégie nationale qui apportera les États-Unis à la victoire Nationwide, et la victoire est à portée de main, que complète dans années, des décennies», a déclaré Wolfson. Cela aplatir les feuilles et plus uniforme et les rendre plus faciles à travailler with.3.<br><br>Leur mimétisme de sortir du cercle impitoyable de l'évolution. Qui apporte chance et d'espoir pour une longue pays pauvre, mais aussi une pression croissante de la tradition dans l'un des pays les plus ethniquement diversifiée, qui abrite plus de 140 groupes et de nombreux sous groupes, de porc itinérance «gitans» dans le Sud à une tribu <br><br>Dans le même temps, le duc est un cadre intime, avec un supplément de 6800 étudiants de premier cycle et 6000 étudiants diplômés et professionnels .. Le lien entre les chiens et les humains est l'antique et immuable. Le sort de l'épicurisme dans le monde antique a finalement été lié à la réaction religieuse contre la philosophie [http://www.bierhandeldetroetsel.be/pics/contact.asp?g=60-Ralph-Lauren-Bruxelles-Soldes Ralph Lauren Bruxelles Soldes] grecque (qui sera examiné ci-dessous), mais dans sa première de cinq cents ans après la mort de succès il s'était acquitté comme l'un des plus grands et mieux <br><br>Comme Dan brut de la Campagne Brady [http://www.lineair.be/content/includes/paypal.asp?f=42-Oakley-Airwave Oakley Airwave] met: Sense n'est pas une émotion intense .. Kirkpatrick, le choix au total 17 dans la NFL Draft 2012, ne voyait que le domaine dans une poignée de jeux de sa recrue Pendant la saison, et la plupart d'C'était tout simplement 's des équipes spéciales. Il est assez facile d'apprendre à débiter les numéros "Eins, zwei, drei». <br><br>Ne soyez pas frustrés. Vert foncé, comme les épinards, phytos ont plus en eux que iceberg, ou ce que j'appelle «voir à travers», [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=25-Louboutin-Homme-Soldes Louboutin Homme Soldes] laitue .. les femmes sexuellement actives qui sont assez la responsabilité de rechercher les moyens de prévenir la grossesse qui impliquent des visites au bureau d'un professionnel des soins de santé <br><br>Les ventes de champagne en France ont chuté de plus de 4% cette année, tandis que dans l'Union européenne, ils ont fléchi de plus de 10%. BUYandHOLD, avec son objectif à long terme, vous permet de coût moyen du dollar et acheter des fractions d'actions et les dividendes réinvestir gratuitement. Intéressé à comparer races de chien? <br><br>Les étudiants auront du mal à imaginer ces températures extrêmes, mais ils vont comprendre qu'ils sont extrêmes .. Nous avons la physiologie différente et différentes raisons émotionnelles pour manger (ou ne pas manger), les graisses et autres aliments. Anciens notables incluent Carmen Wong Ulrich, animateur de l'émission de la finance, de CNN, On the Money, et l'acteur Paul Marcarelli, célèbre pour demander, tu m'entends maintenant?<ul>
 
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</ul>


:<math>L_2 + \frac{3}{2}L_1 \rightarrow L_2</math>
== Nike Free Run 2 Avis  3 ==
:<math>L_3 + L_1 \rightarrow L_3.</math>


Once ''y'' is also eliminated from the third row, the result is a system of linear equations in triangular form, and so the first part of the algorithm is complete. From a computational point of view, it is faster to solve the variables in reverse order, a process known as back-substitution. One sees the solution is {{nowrap|z {{=}} -1}}, {{nowrap|y {{=}} 3}}, and {{nowrap|x {{=}} 2}}. So there is a unique solution to the original system of equations.
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Instead of stopping once the matrix is in echelon form, one could continue until the matrix is in ''reduced'' row echelon form, as it is done in the table. The process of row reducing until the matrix is reduced is sometimes referred to as '''Gauss-Jordan elimination''', to distinguish it from stopping after reaching echelon form.
  <li>[http://ausslife.com/mediawiki/index.php?title=User:Rpudzvic#Nike_Free_Powerlines_vous_devez_maintenir_un_joint http://ausslife.com/mediawiki/index.php?title=User:Rpudzvic#Nike_Free_Powerlines_vous_devez_maintenir_un_joint]</li>
 
 
== History ==
  <li>[http://radoslawsobik.pl/rybnik360/spip.php?article1&archives=2013-05-01/ http://radoslawsobik.pl/rybnik360/spip.php?article1&archives=2013-05-01/]</li>
The method of Gaussian elimination appears in the important Chinese mathematical text[[Rod calculus#System of linear equations| Chapter Eight ''Rectangular Arrays'']] of ''[[The Nine Chapters on the Mathematical Art]]''. Its use is illustrated in eighteen problems, with two to five equations. The first reference to the book by this title is dated to 179 CE, but parts of it were written as early as approximately 150 BCE.<ref>{{harvtxt|Calinger|1999}}, pp. 234–236</ref><ref name="princeton">{{cite book|author1=Timothy Gowers|author2=June Barrow-Green|author3=Imre Leader|title=The Princeton Companion to Mathematics|accessdate=28 September 2012|date=8 September 2008|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2|page=607}}</ref> It was commented on by [[Liu Hui]] in the 3rd century.
 
 
  <li>[http://site.wisceo.com/news/html/?59041.html http://site.wisceo.com/news/html/?59041.html]</li>
The method in Europe stems from the notes of [[Isaac Newton]].<ref>{{harvtxt|Grcar|2011a}}, pp. 169-172</ref><ref>{{harvtxt|Grcar|2011b}}, pp. 783-785</ref> In 1670, he wrote that all the algebra books known to him lacked a lesson for solving simultaneous equations, which Newton then supplied.  Cambridge University eventually published the notes as ''Arithmetica Universalis'' in 1707 long after Newton left academic life.  The notes were widely imitated, which made (what is now called) Gaussian elimination a standard lesson in algebra textbooks by the end of the 18th century. [[Carl Friedrich Gauss]] in 1810 devised a notation{{which?|date=January 2014}} for symmetric elimination that was adopted in the 19th century by professional [[Human computer|hand computers]] to solve the normal equations of least-squares problems.  The algorithm that is taught in high school was named for Gauss only in the 1950s as a result of confusion over the history of the subject.<ref>{{harvtxt|Grcar|2011b}}, p.&nbsp;789</ref>
 
 
  <li>[http://gwxd.vicp.net:8085/forum.php?mod=viewthread&tid=294257 http://gwxd.vicp.net:8085/forum.php?mod=viewthread&tid=294257]</li>
Some authors use the term ''Gaussian elimination'' to refer only to the procedure until the matrix is in echelon form, and use the term '''Gauss-Jordan elimination''' to refer to the procedure which ends in reduced echelon form. The name is used because it is a variation of Gaussian elimination as described by [[Wilhelm Jordan (geodesist)|Wilhelm Jordan]] in 1887. However, the method also appears in an article by Clasen published in the same year. Jordan and Clasen probably discovered Gauss–Jordan elimination independently.<ref>{{Citation | last1=Althoen | first1=Steven C. | last2=McLaughlin | first2=Renate | title=Gauss–Jordan reduction: a brief history | doi=10.2307/2322413 | year=1987 | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] | issn=0002-9890 | volume=94 | issue=2 | pages=130–142 | jstor=2322413 | publisher=Mathematical Association of America}}</ref>
 
 
  <li>[http://www.slowlife-japan.jp/modules/mailmagazine/details.php?blog_id=207/ http://www.slowlife-japan.jp/modules/mailmagazine/details.php?blog_id=207/]</li>
== Applications ==
 
The historically first application of the row reduction method is for solving [[systems of linear equations]]. Here are some other important applications of the algorithm.
</ul>
 
=== Computing determinants ===
To explain how Gaussian elimination allows to compute the determinant of a square matrix, we have to recall how the elementary row operations change the determinant:
* Swapping two rows multiplies the determinant by -1
* Multiplying a row by a nonzero scalar multiplies the determinant by the same scalar
* Adding to one row a scalar multiple of another does not change the determinant.
 
If the Gaussian elimination applied to a square matrix ''A'' produces a row echelon matrix ''B'', let ''d'' be the product of the scalars by which the determinant has been multiplied, using above rules.
Then the determinant of ''A'' is the quotient by ''d'' of the product of the elements of the diagonal of ''B''.
 
It should be emphasized that, for a ''n''×''n'' matrix, this method needs only [[O notation|''O''(''n''<sup>3</sup>)]] arithmetic operations, while the elementary methods, usually taught in elementary courses, need ''O''(2<sup>''n''</sup>)) or ''O''(''n''!) operations. Even on the fastest computers, the elementary methods are impracticable for ''n'' ≥ 21.
 
=== Finding the inverse of a matrix ===
{{see also|Invertible matrix}}
A variant of Gaussian elimination called Gauss–Jordan elimination can be used for finding the inverse of a matrix, if it exists.  If ''A'' is a ''n'' by ''n'' square matrix, then one can use row reduction to compute its [[invertible matrix|inverse matrix]], if it exists. First, the ''n'' by ''n'' [[identity matrix]] is augmented to the right of ''A'', forming a ''n'' by 2''n''  [[block matrix]] [''A'' | ''I'']. Now through application of elementary row operations, find the reduced echelon form of this ''n'' by ''2n'' matrix. The matrix ''A'' is invertible if and only if the left block can be reduced to the identity matrix ''I''; in this case the right block of the final matrix is ''A''<sup>−1</sup>. If the algorithm is unable to reduce the left block to ''I'', then ''A'' is not invertible.
 
For example, consider the following matrix
 
:<math> A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}.
</math>
 
To find the inverse of this matrix, one takes the following matrix augmented by the identity, and row reduces it as a 3 by 6 matrix:
:<math> [ A | I ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right].
</math>
 
By performing row operations, one can check that the reduced row echelon form of the this augmented matrix is:
 
:<math> [ I | B ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt]
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\[3pt]
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{array} \right].
</math>
 
The matrix on the left is the identity, which shows ''A'' is invertible. The 3 by 3 matrix on the right, ''B'', is the inverse of ''A''. This procedure for finding the inverse works for square matrices of any size.
 
=== Computing ranks and bases ===
The Gaussian elimination algorithm can be applied to any <math>m \times n</math> matrix <math>A</math>. In this way, for example, some <math>6 \times 9</math> matrices can be transformed to a matrix that has a row echelon form like
:<math> T=
\begin{bmatrix}
a & * & * & *& * & * & * & * & * \\
0 & 0 & b & * & * & * & * & * & * \\
0 & 0 & 0 & c & * & * & * & * & * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d & * & * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>
 
where the *s are arbitrary entries and ''a, b, c, d, e'' are nonzero entries. This echelon matrix <math>T</math> contains a wealth of information about <math>A</math>: the [[rank of a matrix|rank]] of <math>A</math> is 5 since there are 5 non-zero rows in <math>T</math>; the [[vector space]] spanned by the columns of <math>A</math> has a basis consisting of the first, third, fourth, seventh and ninth column of <math>A</math> (the columns of  ''a, b, c, d, e'' in <math>T</math>), and the *s tell you how the other columns of <math>A</math> can be written as linear combinations of the basis columns. This is a consequence of the distributivity of the [[dot product]] in the expression of a linear map [[Linear map#Matrices|as a matrix]].
 
All of this applies also to the reduced row echelon form, which is a particular row echelon form.
 
== Computational efficiency ==
The number of arithmetic operations required to perform row reduction is one way of measuring the algorithm's computational efficiency. For example, to solve a system of ''n'' equations for ''n'' unknowns by performing row operations on the matrix until it is in echelon form, and then solving for each unknown in reverse order, requires ''n''(''n''-1) / 2 divisions, (2''n''<sup>3</sup> + 3''n''<sup>2</sup> − 5''n'')/6 multiplications, and (2''n''<sup>3</sup> + 3''n''<sup>2</sup> − 5''n'')/6 subtractions,<ref>{{harvtxt|Farebrother|1988}}, p. 12</ref> for a total of approximately 2''n''<sup>3</sup> / 3 operations. Thus it has [[Arithmetic#Arithmetic_operations|arithmetic]] complexity of O(''n''<sup>3</sup>); see [[Big O notation]]. This arithmetic complexity is a good measure of the time needed for the whole computation when the time for each arithmetic operation is approximatively constant. This is the case when the coefficients are represented by [[floating point number]]s or when they belong to a [[finite field]]. If the coefficients are [[integer]]s or [[rational number]]s exactly represented, the intermediate entries can grow exponentially large, so the [[bit complexity]] is exponential.<ref>{{Cite conference
  | first1 = Xin Gui
  | last1 = Fang
  | first2 = George
  | last2 = Havas
  | title = On the worst-case complexity of integer Gaussian elimination
  | booktitle = Proceedings of the 1997 international symposium on Symbolic and algebraic computation
  | conference = ISSAC '97
  | pages = 28–31
  | publisher = ACM
  | year = 1997
  | location = Kihei, Maui, Hawaii, United States
  | url = http://itee.uq.edu.au/~havas/fh97.pdf
  | doi = 10.1145/258726.258740
  | isbn = 0-89791-875-4}}</ref>
However, there is a variant of Gaussian elimination, called [[Bareiss algorithm]] that avoids this exponential growth of the intermediate entries, and, with the same arithmetic complexity of O(''n''<sup>3</sup>), has a bit complexity of O(''n''<sup>5</sup>).
 
This algorithm can be used on a computer for systems with thousands of equations and unknowns. However, the cost becomes prohibitive for systems with millions of equations. These large systems are generally solved using [[iterative method]]s. Specific methods exist for systems whose coefficients follow a regular pattern (see [[system of linear equations]]).
 
To put an ''n'' by ''n'' matrix into reduced echelon form by row operations, one needs <math>n^3</math> arithmetic operations; which is approximately 50% more computation steps.<ref>J. B. Fraleigh and R. A. Beauregard, Linear Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1995, Chapter 10</ref>
 
One possible problem is [[numerical stability|numerical instability]], caused by the possibility of dividing by very small numbers. If, for example, the leading coefficient of one of the rows is very close to zero, then to row reduce the matrix one would need to divide by that number so the leading coefficient is 1. This means any error that existed for the number which was close to zero would be amplified. Gaussian elimination is numerically stable for [[diagonally dominant]] or [[Positive-definite matrix|positive-definite]]  matrices. For general matrices, Gaussian elimination is usually considered to be stable, when using [[Pivot element#Partial and complete pivoting|partial pivoting]], even though there are examples of stable matrices for which it is unstable.<ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996}}, §3.4.6</ref>
 
=== Generalizations ===
 
The Gaussian elimination can be performed over any [[field (mathematics)|field]], not just the real numbers.
 
Gaussian elimination does not generalize in any simple way to higher order [[tensors]] (matrices are [[Array data structure|array]] representations of order 2 tensors); even computing the rank of a tensor of order greater than 2 is a difficult problem.
 
== Pseudocode ==
As explained above, Gaussian elimination writes a given ''m'' &times; ''n'' matrix ''A'' uniquely as a product of an invertible ''m'' &times; ''m'' matrix ''S'' and a row-echelon matrix ''T''. Here, ''S'' is the product of the matrices corresponding to the row operations performed.
 
The formal algorithm to compute <math>T</math> from <math>A</math> follows. We write <math>A[i,j]</math> for the entry in row <math>i</math>, column <math>j</math> in matrix <math>A</math> with 1 being the first index. The transformation is performed ''in place'', meaning that the original matrix <math>A</math> is lost and successively replaced by <math>T</math>.
 
<code>
  '''for''' k = 1 ... m:
    ''Find pivot for column k:''
    i_max  := [[argmax]] (i = k ... m, abs(A[i, k]))
    '''if''' A[i_max, k] = 0
      '''error''' "Matrix is singular!"
    '''swap rows'''(k, i_max)
    ''Do for all rows below pivot:''
    '''for''' i = k + 1 ... m:
      ''Do for all remaining elements in current row:''
      '''for''' j = k ... n:
        A[i, j]  := A[i, j] - A[k, j] * (A[i, k] / A[k, k])
      ''Fill lower triangular matrix with zeros:''
      A[i, k]  := 0
</code>
 
This algorithm differs slightly from the one discussed earlier, because before eliminating a variable, it first exchanges rows to move the entry with the largest [[absolute value]] to the [[pivot element|pivot]] position. Such ''partial pivoting'' improves the [[numerical stability]] of the algorithm; some other variants are used.
 
Upon completion of this procedure the augmented matrix will be in [[row-echelon form]] and may be solved by back-substitution.
 
With the modern computers, Gaussian elimination is not always the fastest algorithm to compute the row echelon form of matrix. There are [[library (computing)|computer libraries]], like [[BLAS]], that exploit the specificities of the [[computer hardware]] and of the structure of the matrix to automatically choose the best algorithm.
 
== Notes ==
<references/>
 
== References ==
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall A. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Bolch | first1=Gunter | last2=Greiner | first2=Stefan | last3=de Meer | first3=Hermann | last4=Trivedi | first4=Kishor S. | title=Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications | publisher=[[Wiley-Interscience]] | edition=2nd | isbn=978-0-471-79156-0 | year=2006}}.
* {{Citation | last1=Calinger | first1=Ronald | title=A Contextual History of Mathematics | publisher=[[Prentice Hall]] | isbn=978-0-02-318285-3 | year=1999}}.
* {{Citation | last1=Farebrother | first1=R.W. | title=Linear Least Squares Computations | publisher=Marcel Dekker | series=STATISTICS: Textbooks and Monographs | isbn=978-0-8247-7661-9 | year=1988}}.
* {{Citation | last1=Golub | first1=Gene H. | author1-link=Gene H. Golub | last2=Van Loan | first2=Charles F. | author2-link=Charles F. Van Loan | title=Matrix Computations | publisher=Johns Hopkins | edition=3rd | isbn=978-0-8018-5414-9 | year=1996}}.
* {{Citation
  | last = Grcar
  | first = Joseph F.
  | title = How ordinary elimination became Gaussian elimination
  | journal = Historia Mathematica
  | year = 2011a
  | pages = 163–218
  | doi = 10.1016/j.hm.2010.06.003
  | arxiv = 0907.2397
  | volume = 38
  | issue = 2 }}
* {{Citation
  | last = Grcar
  | first = Joseph F.
  | title = Mathematicians of Gaussian elimination
  | journal = Notices of the American Mathematical Society
  | year = 2011b
  | pages = 782–792
  | url = http://www.ams.org/notices/201106/rtx110600782p.pdf
  | volume = 58
  | issue = 6 }}
* {{Citation | last1=Higham | first1=Nicholas | author1-link=Nicholas Higham | title=Accuracy and Stability of Numerical Algorithms | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] | edition=2nd | isbn=978-0-89871-521-7 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Katz | first1=Victor J. | title=A History of Mathematics, Brief Version | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-321-16193-2 | year=2004}}.
* {{Cite web | last1=Kaw | first1=Autar | last2=Kalu | first2=Egwu | year=2010 | title=Numerical Methods with Applications | edition=1st | publisher=[http://www.autarkaw.com] }}, Chapter 5 deals with Gaussian elimination.
* {{Citation | last1=Lipson | first1=Marc | last2=Lipschutz | first2=Seymour | title=Schaum's outline of theory and problems of linear algebra | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | isbn=978-0-07-136200-9 | year=2001 | pages=69–80}}.
*{{Citation|last1=Press|first1=WH|last2=Teukolsky|first2=SA|last3=Vetterling|first3=WT|last4=Flannery|first4=BP|year=2007|title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press| publication-place=New York|isbn=978-0-521-88068-8|chapter=Section 2.2|chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=46}}
 
==External links==
{{wikibooks
|1= Linear Algebra
|2= Gauss' Method
|3= Gaussian elimination}}
*[http://sole.ooz.ie WebApp descriptively solving systems of linear equations with Gaussian Elimination]
*[http://marekrychlik.com/cgi-bin/gauss.cgi A program that performs Gaussian elimination similarly to a human working on paper] Exact solutions to systems with rational coefficients.
*[http://www.math-linux.com/spip.php?article53 Gaussian elimination] www.math-linux.com.
*[http://www25.brinkster.com/denshade/GaussElimination.html Gaussian elimination as java applet] at some local site. Only takes natural coefficients.
*[http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/RREF.html#RREF Gaussian elimination calculator] with Linear Algebra tutorial.
*[http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/gaussian_elimination.html Gaussian elimination] at [http://numericalmethods.eng.usf.edu Holistic Numerical Methods Institute]
*[http://www.hlevkin.com/default.html#numalg LinearEquations.c] Gaussian elimination implemented using C language
*[http://www.math.iupui.edu/~momran/m118/chapter6.htm Gauss–Jordan elimination] Step by step solution of 3 equations with 3 unknowns using the All-Integer Echelon Method
*[http://www.idomaths.com/gauss_jordan.php Gauss-Jordan Elimination calculator for ''n'' by ''m'' matrices, giving intermediate steps]
* {{YouTube|id=u-AhI4gNB_E|title=WildLinAlg13: Solving a system of linear equations}} provides a very clear, elementary presentation of the method of row reduction.
 
{{linear algebra}}
 
{{DEFAULTSORT:Gaussian Elimination}}
[[Category:Numerical linear algebra]]
[[Category:Articles with example pseudocode]]
[[Category:Exchange algorithms]]
[[Category:German inventions]]
 
{{Link GA|de}}

Latest revision as of 17:39, 6 January 2015

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