Partial isometry: Difference between revisions

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In [[mathematics]], the '''Bell series''' is a [[formal power series]] used to study properties of arithmetical functions. Bell series were introduced and developed by [[Eric Temple Bell]].
. Leer http:felicitylightbody.articlealley.comFinancing Su resma Ruedas plancha de pelo ghd Todos nosotros deseamos un auto de nuestra propia alguna vez. Todos deseamos no tener que depender del transporte de la comunidad. A todos nos gustaría generar hacia el horizonte con el volante en las propias manos nuestra ghd straighener. Así, dedicamos veces en acabado soñando relativa al automóvil perfecto que probablemente será nuestro coche durante varios años para volver.


Given an [[arithmetic function]] <math>f</math> and a [[Prime number|prime]] <math>p</math>, define the formal power series <math>f_p(x)</math>, called the Bell series of <math>f</math> modulo <math>p</math>  as:
Entonces, ¿qué busca usted en el coche o usted necesita un excelente aspecto vehículo con interiores de lujo necesita que sea rojo, azul, negro, o blanco ¿Cómo rentable le gustaría que fuera ¿Está usted buscando en un diseño estándar o tal vez una de gama alta uno Independientemente de cómo le gustaría que su primer coche que aparece,<br><br>If you liked this report and you would like to acquire more details pertaining to [http://tinyurl.com/qhycvg3 http://tinyurl.com/qhycvg3] kindly stop by the webpage.
 
:<math>f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.</math>
 
Two multiplicative functions can be shown to be identical if all of their Bell series are equal; this is sometimes called the ''uniqueness theorem''. Given [[multiplicative function]]s <math>f</math> and <math>g</math>, one has <math>f=g</math> [[if and only if]]:
:<math>f_p(x)=g_p(x)</math> for all primes <math>p</math>.
 
Two series may be multiplied (sometimes called the ''multiplication theorem''): For any two [[arithmetic function]]s <math>f</math> and <math>g</math>, let <math>h=f*g</math> be their [[Dirichlet convolution]].  Then for every prime <math>p</math>, one has:
 
:<math>h_p(x)=f_p(x) g_p(x).\,</math>
 
In particular, this makes it trivial to find the Bell series of a [[Dirichlet convolution|Dirichlet inverse]].
 
If <math>f</math> is [[completely multiplicative]], then:
:<math>f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.</math>
 
==Examples==
 
The following is a table of the Bell series of well-known arithmetic functions.
 
* The [[Möbius function]] <math>\mu</math> has <math>\mu_p(x)=1-x.</math>
* [[Eulers phi function|Euler's Totient]] <math>\varphi</math> has <math>\varphi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.</math>
* The multiplicative identity of the [[Dirichlet convolution]] <math>\delta</math> has <math>\delta_p(x)=1.</math>
* The [[Liouville function]] <math>\lambda</math> has <math>\lambda_p(x)=\frac{1}{1+x}.</math>
* The power function Id<sub>k</sub> has <math>(\textrm{Id}_k)_p(x)=\frac{1}{1-p^kx}.</math>  Here, Id<sub>k</sub> is the completely multiplicative function  <math>\operatorname{Id}_k(n)=n^k</math>.
* The [[divisor function]] <math>\sigma_k</math> has <math>(\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k) x+p^kx^2}.</math>
 
==See also==
* [[Bell numbers]]
 
==References==
* {{Apostol IANT}}
 
[[Category:Arithmetic functions]]
[[Category:Mathematical series]]

Latest revision as of 15:44, 12 November 2014

. Leer http:felicitylightbody.articlealley.comFinancing Su resma Ruedas plancha de pelo ghd Todos nosotros deseamos un auto de nuestra propia alguna vez. Todos deseamos no tener que depender del transporte de la comunidad. A todos nos gustaría generar hacia el horizonte con el volante en las propias manos nuestra ghd straighener. Así, dedicamos veces en acabado soñando relativa al automóvil perfecto que probablemente será nuestro coche durante varios años para volver. 

Entonces, ¿qué busca usted en el coche o usted necesita un excelente aspecto vehículo con interiores de lujo necesita que sea rojo, azul, negro, o blanco ¿Cómo rentable le gustaría que fuera ¿Está usted buscando en un diseño estándar o tal vez una de gama alta uno Independientemente de cómo le gustaría que su primer coche que aparece,

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