Ternary relation: Difference between revisions

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In [[low-dimensional topology]], the '''trigenus''' of a [[closed manifold|closed]] [[3-manifold]] is an invariant consisting of an ordered triple <math>(g_1,g_2,g_3)</math>It is obtained by minimizing the genera of three ''[[orientable]]'' [[handlebody|handle bodies]] &mdash; with no intersection between their interiors&mdash; which decompose the manifold as far as the [[Heegaard splitting|Heegaard]] genus need only two.
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That is, a decomposition <math> M=V_1\cup V_2\cup V_3</math> with
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<math> {\rm int} V_i\cap {\rm int} V_j=\varnothing</math>
for <math>i,j=1,2,3</math> and being <math>g_i</math> the genus of <math>V_i</math>.


For orientable spaces, <math>{\rm trig}(M)=(0,0,h)</math>,
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where <math>h</math> is <math>M</math>'s [[Heegaard genus]].
 
For non-orientable spaces the  <math>{\rm trig}</math> has the form  <math>{\rm trig}(M)=(0,g_2,g_3)\quad \mbox{or}\quad (1,g_2,g_3)</math>
depending on the
image of the first [[Stiefel–Whitney class|Stiefel–Whitney characteristic class]] <math>w_1</math> under a [[Bockstein homomorphism]], respectively for
<math>\beta(w_1)=0\quad \mbox{or}\quad \neq 0.</math>
 
It has been proved that the number <math>g_2</math> has a relation with the concept of [[Stiefel–Whitney surface]], that is, an orientable surface <math>G</math> which is embedded in <math>M</math>, has minimal genus and represents the first Stiefel–Whitney class under the duality map <math>D\colon H^1(M;{\mathbb{Z}}_2)\to H_2(M;{\mathbb{Z}}_2), </math>, that is, <math>Dw_1(M)=[G]</math>. If <math> \beta(w_1)=0 \,</math> then <math> {\rm trig}(M)=(0,2g,g_3) \,</math>, and if <math> \beta(w_1)\neq 0. \,</math>
then <math> {\rm trig}(M)=(1,2g-1,g_3) \,</math>.
 
==Theorem==
A manifold ''S'' is a Stiefel–Whitney surface in ''M'', if and only if  ''S'' and ''M&minus;int(N(S))'' are orientable '''.
 
==References==
*J.C. Gómez Larrañaga, W. Heil, V.M. Núñez. ''Stiefel–Whitney surfaces and decompositions of 3-manifolds into handlebodies'', Topology Appl. 60 (1994), 267–280.
*J.C. Gómez Larrañaga, W. Heil, V.M. Núñez. ''Stiefel–Whitney surfaces and the trigenus of non-orientable 3-manifolds'', Manuscripta Math. 100 (1999), 405–422.
*"On the trigenus of surface bundles over <math>S^1</math>", 2005, Soc. Mat. Mex. [http://web.archive.org/web/20070316045651/http://www.smm.org.mx/SMMP/html/modules/Publicaciones/AM/Cm/35/artExp08.pdf | pdf]
 
[[Category:Geometric topology]]
[[Category:3-manifolds]]

Latest revision as of 05:43, 14 April 2014

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