Neutron transport: Difference between revisions

From formulasearchengine
Jump to navigation Jump to search
← Older editNewer edit →
→‎Neutron Transport Equation: incomplete edit from moments ago. \Sigma_s(initial to final state)
Line 1: Line 1:
In [[mathematics]], '''trigonometric interpolation''' is [[interpolation]] with [[trigonometric polynomial]]s. Interpolation is the process of finding a function which goes through some given data points. For trigonometric interpolation, this function has to be a trigonometric polynomial, that is, a sum of [[trigonometric function|sines and cosines]] of given periods. This form is especially suited for interpolation of [[periodic function]]s.
== Det finns ondska här Longchamp Väska ==


An important special case is when the given data points are equally spaced, in which case the solution is given by the [[discrete Fourier transform]].
Det finns ondska här, men det är ondska institutionen och vad den gör med en troende offer, inte ondska på den del av offret själv.. Tillbaka från klipporna När du tar med din rökare upp till temperatur, det finns ingen anledning att hålla dumpning i kol. <br><br>Istället för att svälja kapslar E-vitamin, bara peta dem med en nål och pressa ut oljan till badkaret tillsammans med vanlig havssalt och droppar av din favorit essensoljor för ett uppfriskande bad. Jag ser också fram emot för Champions League, och förhoppningsvis den indiska Premier League också.. <br><br>Hon verkade nästan inte en varelse av kött, men en av ren Kraft, skicka dom till dem som vågat föra krig till tornet självt. Regeringen i Gujarat s direktorat för sysselsättning Training, är en organisation med ett ISO 9001:2000-certifiering och ger sysselsättning och utbildning till ett stort antal ungdomar söker karriärmöjligheter inom staten. <br><br>Nitarna är exakt en halv tum stigning. Men min familj har väldigt mycket att besöka bloggen och titta på vilka vi har blivit under de senaste åren. Detta kan orsaka ett tryck på prostatakörteln. De inser inte att det inte är normalt för människor att börja få grått hår i 20-årsåldern och 30-talet. <br><br>Det finns ett brett spektrum av förberedelse för grönsak. Jag har hittat ett direkt samband mellan hur mycket stress / lite sömn jag får och vad som händer jag är livrädd; just ikväll (i morse?), efter att ha vistats upp för sent Det kändes som om jag var zonindelning ut och kom tillbaka till en mycket skarp, tydlig sinnesstämning av känslan av en överhoppad slag. <br><br>Det finns bokstavligen hundratals åtgärder till verb att välja mellan. Kinesiska nyårsfirandet är tysta angelägenheter hemma eftersom det finns bara tre av oss. Är det inte förvirrande att allt är så vackert, trots alla fasor som finns? På senare tid har jag lagt märke till något stort och mystiskt kikar in i min ren glädje i [http://www.folkedahlberg.org/upload/data.asp Longchamp Väska] allt som är härliga känslan av en Skapare som oskyldig skapelse tillber med sin skönhet. <br><br>Det är oklart vid denna tidpunkt vad lag är [http://www.hosark.se/db/database.asp Vibram Skor] villiga att erbjuda en sådan affär till Nolasco och vad storleken på avtalet faktiskt kommer att bli. Mental trauma eller en olycka som har stört en människas sinne kan vara en av de utlösande faktorer för migrän. <br><br>Nivå 1b: Dessa klasser har en hög fokus och är påverkan konditionsträning. De drivs av rykte, tillförlitlighet [http://www.ziongraphics.com/agnes/base.asp Hollister Stockholm] och kvalitet,' sade han. När min fästman och jag gör det missionär jag brukar känna som om [http://www.folkedahlberg.org/upload/data.asp Longchamp Le Pliage] jag på väg att komma och det gör mig gå helt vilda.<ul>
 
  <li>[http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2658387 http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2658387]</li>
 
  <li>[http://hindichurch.com/index.php?option=com_kunena&view=topic&catid=3&id=201010&Itemid=326#201828 http://hindichurch.com/index.php?option=com_kunena&view=topic&catid=3&id=201010&Itemid=326#201828]</li>
 
  <li>[http://222.243.160.155/forum.php?mod=viewthread&tid=7837927 http://222.243.160.155/forum.php?mod=viewthread&tid=7837927]</li>
 
  <li>[http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/ http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/]</li>
 
</ul>


==Formulation of the interpolation problem==
== korrekta och trovärdiga Hollister Gallerian ==


A trigonometric polynomial of degree ''K'' has the form
Senaste Burton nyhetsrubriker Presenteras av Burton Mail reportrar. De två som erbjuds starka kontraster i yrkesbakgrund, ålder och offentlig service. Och en av hans mest uppmärksammade projekt i Thiel Fellowship passar räkningen. Antagnings priserna har gått upp med tillägg av SciQuarium.. <br><br>Efter att ha haft tidigare otillfredsställande [http://www.ziongraphics.com/agnes/base.asp Hollister Gallerian] erfarenheter kan öka denna ångest så mycket, att den stress [http://www.bjorsta.se/demo/cache.asp Polo Ralph Lauren Rea] faktiskt kommer att orsaka erektionsproblem. Uppmärksamheten av plastikkirurg är avgörande i plastikkirurgi före och efter det att patienten har opererats. <br><br>De kommer tillbaka. Det problem vi har är att vi har en fraktion av det republikanska partiet i huset av re representanter i synnerhet, denna uppfattning 'kompromiss' som ett fult ord och något avlägset förknippas med mig att de känner sig tvungna att motsätta sig. <br><br>Det löser inte problemet helt och hållet. Tofu, vetebröd, aprikos, rågbröd, broccoli och keso gör innehåller bra mängd kalcium. Hemlösa skyddsrum och andra offentliga byggnader tog i människor som frysning utanför.. Sport repliker PC programvara krävs för att effektivt lära sig att utföra backup PS2 aktiviteter.. <br><br>Han tillägger att passionerade individer är välkomna ombord så länge 'de inte hysa någon sjuklig rädsla för att misslyckas, därför att det finns en rimlig chans att misslyckas i denna satsning.'. Gapet är inte så stor mellan de så kallade toppklubbarna och helgon som herr Lawrenson tycker!, Weekend en bra start Lawro har Saints ned som en förlust. <br><br>Det kommer att finnas på en stor skala, och företaget har lovat en spännande produktlansering. Jag hoppas att de börjar ta oss på allvar. Den imponerande Beverly Drive läge, som erbjuder kunderna ett ställe att ta lunch och haffa deras favorit Nespresso produkter, surr med män i kostym styra trottoaren [http://www.hosark.se/db/database.asp Vibram Fivefingers Kso] trafik utanför och passerar ut smårätter inne.. <br><br>Tänk på detta, david. Bad. Så nära Capitolium och invigningen, sade Boomer. 'Vi plockade upp telefonen, och du kommer och få det.' Den som ringer säger. För Smart Grid-systemet ska fungera på ett tillförlitligt sätt, måste PFE kalibreras så [http://www.hosark.se/filippa/backup.asp Nike Air Force Billigt] att deras uppgifter är konsekventa, korrekta och trovärdiga, och så att modeller från olika tillverkare är inter manövreras. <br><br>' Presidenten medgav att 'vi kanske inte har exakt samma nyhet under 2008,' eftersom det inte fanns något 'så dramatisk' om den processen. Alla högst upp på dagordningen. Mina recensioner är alltid förvaras i en professionell ton. Det är väldigt svårt att hålla spelare av att kvalitet i truppen om du inte kan erbjuda dem hink massor av pengar som stadens och Chelsea..<ul>
:<math> p(x) = a_0 + \sum_{k=1}^K a_k \cos(kx) + \sum_{k=1}^K b_k \sin(kx). \, </math>
 
This expression contains 2''K'' + 1 coefficients, ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, … ''a''<sub>''K''</sub>, ''b''<sub>1</sub>, …, ''b''<sub>''K''</sub>, and we wish to compute those coefficients so that the function passes through ''N'' points:
  <li>[http://bbs.edubing.com/forum.php?mod=viewthread&tid=160368&fromuid=12941 http://bbs.edubing.com/forum.php?mod=viewthread&tid=160368&fromuid=12941]</li>
:<math> p(x_n) = y_n, \quad n=0,\ldots ,N-1. \, </math>
 
Since the trigonometric polynomial is periodic with period 2π, the ''N'' points can be distributed and ordered in one period as
  <li>[http://lt.luckv.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1546836 http://lt.luckv.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1546836]</li>
:<math> 0 \leq x_0 < x_1 < x_2 < \ldots  < x_{N-1} < 2  \pi. \, </math>
 
(Note that we do ''not'' in general require these points to be equally spaced.) The interpolation problem is now to find coefficients such that the trigonometric polynomial ''p'' satisfies the interpolation conditions.
  <li>[http://colossuscorporation.net/appicker/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=15&id=320830&Itemid=534#320830 http://colossuscorporation.net/appicker/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=15&id=320830&Itemid=534#320830]</li>
 
 
==Solution of the problem==
  <li>[https://fratpoet.com/activity/p/30620/ https://fratpoet.com/activity/p/30620/]</li>
 
 
Under the above conditions, there exists a solution to the problem for ''any'' given set of data points {''x''<sub>''k''</sub>, ''y''<sub>''k''</sub>} as long as ''N'', the number of data points, is not larger than the number of coefficients in the polynomial, i.e., ''N''&nbsp;≤&nbsp;2''K''+1  (a solution may or may not exist if ''N''>2''K''+1 depending upon the particular set of data points). Moreover, the  interpolating polynomial is unique if and only if the number of adjustable coefficients is equal to the number of data points, i.e., ''N''&nbsp;=&nbsp;2''K''&nbsp;+&nbsp;1. In the remainder of this article, we will assume this condition to hold true.
</ul>
 
The solution can be written in a form similar to the [[Lagrange polynomial|Lagrange formula for polynomial interpolation]]:
:<math> p(x) = \sum_{k=0}^{2K} y_k \prod_{m=0,m\ne k}^{2K} \frac{\sin\frac12(x-x_m)}{\sin\frac12(x_k-x_m)}. \, </math>
This can be shown to be a trigonometric polynomial by employing the [[trigonometric identity#Multiple-angle formulae|multiple-angle formula]] and other identities for sin&nbsp;½(''x''&nbsp;−&nbsp;''x''<sub>''m''</sub>).
 
==Formulation in the complex plane==
 
The problem becomes more natural if we formulate it in the [[complex plane]]. We can rewrite the formula for a trigonometric polynomial as
:<math> p(x) = \sum_{k=-K}^K c_k e^{ikx}, \, </math>
where ''i'' is the [[imaginary unit]]. If we set ''z'' = ''e''<sup>''ix''</sup>, then this becomes
:<math> q(z) = \sum_{k=-K}^K c_k z^{k}, \, </math>
with
:<math> q(e^{ix}) \triangleq p(x). \, </math>
This reduces the problem of trigonometric interpolation to that of polynomial interpolation on the [[unit circle]]. Existence and uniqueness for trigonometric interpolation now follows immediately from the corresponding results for polynomial interpolation.
 
For more information on formulation of trigonometric interpolating polynomials in the complex plane see [http://www.physics.arizona.edu/~restrepo/475A/Notes/sourcea.pdf , p135  Interpolation using Fourier Polynomials].
 
==Equidistant nodes and the discrete Fourier transform==
 
The special case in which the points ''x''<sub>''n''</sub> are equally spaced is especially important. In this case, we have
:<math> x_n = 2 \pi \frac{n}{N}, \qquad 0 \leq n < N.</math>
 
The transformation that maps the data points ''y''<sub>''n''</sub> to the coefficients ''a''<sub>''k''</sub>, ''b''<sub>''k''</sub> is obtained from the [[discrete Fourier transform]] (DFT) of order&nbsp;N.
 
:<math> Y_k = \sum_{n=0}^{N-1} y_n \ e^{-i 2 \pi \frac{nk}{N}} \, </math>
 
:<math> y_n = p(x_n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y_k \ e^{i 2 \pi \frac{nk}{N}} \, </math>
 
 
 
(Because of the way the problem was formulated above, we have restricted ourselves to odd numbers of points. This is not strictly necessary; for even numbers of points, one includes another cosine term corresponding to the [[Nyquist frequency]].)
 
 
 
The case of the cosine-only interpolation for equally spaced points, corresponding to a trigonometric interpolation when the points have [[Even and odd functions|even symmetry]], was treated by [[Alexis  Clairaut]] in 1754.  In this case the solution is equivalent to a [[discrete cosine transform]].  The sine-only expansion for equally spaced points, corresponding to odd symmetry, was solved by [[Joseph Louis Lagrange]] in 1762, for which the solution is a [[discrete sine transform]].  The full cosine and sine interpolating polynomial, which gives rise to the DFT, was solved by [[Carl Friedrich Gauss]] in unpublished work around 1805, at which point he also derived a [[Cooley–Tukey FFT algorithm|fast Fourier transform]] algorithm to evaluate it rapidly. Clairaut, Lagrange, and Gauss were all concerned with studying the problem of inferring the [[orbit]] of [[planet]]s, [[asteroid]]s, etc., from a finite set of observation points; since the orbits are periodic, a trigonometric interpolation was a natural choice.  See also Heideman ''et al.'' (1984).
 
==References==
 
* Kendall E. Atkinson, ''An Introduction to Numerical Analysis'' (2nd edition), Section 3.8. John Wiley & Sons, New York, 1988. ISBN 0-471-50023-2.
* M. T. Heideman, D. H. Johnson, and C. S. Burrus, "[http://nctuocw.sjtu.edu.cn/new/course/fourier/supplement/heideman-johnson-etal1985.pdf Gauss and the history of the fast Fourier transform]," ''IEEE ASSP Magazine'' '''1''' (4), 14&ndash;21 (1984).
 
[[Category:Interpolation]]
[[Category:Trigonometry]]

Revision as of 06:42, 19 February 2014

Det finns ondska här Longchamp Väska

Det finns ondska här, men det är ondska institutionen och vad den gör med en troende offer, inte ondska på den del av offret själv.. Tillbaka från klipporna När du tar med din rökare upp till temperatur, det finns ingen anledning att hålla dumpning i kol.

Istället för att svälja kapslar E-vitamin, bara peta dem med en nål och pressa ut oljan till badkaret tillsammans med vanlig havssalt och droppar av din favorit essensoljor för ett uppfriskande bad. Jag ser också fram emot för Champions League, och förhoppningsvis den indiska Premier League också..

Hon verkade nästan inte en varelse av kött, men en av ren Kraft, skicka dom till dem som vågat föra krig till tornet självt. Regeringen i Gujarat s direktorat för sysselsättning Training, är en organisation med ett ISO 9001:2000-certifiering och ger sysselsättning och utbildning till ett stort antal ungdomar söker karriärmöjligheter inom staten.

Nitarna är exakt en halv tum stigning. Men min familj har väldigt mycket att besöka bloggen och titta på vilka vi har blivit under de senaste åren. Detta kan orsaka ett tryck på prostatakörteln. De inser inte att det inte är normalt för människor att börja få grått hår i 20-årsåldern och 30-talet.

Det finns ett brett spektrum av förberedelse för grönsak. Jag har hittat ett direkt samband mellan hur mycket stress / lite sömn jag får och vad som händer jag är livrädd; just ikväll (i morse?), efter att ha vistats upp för sent Det kändes som om jag var zonindelning ut och kom tillbaka till en mycket skarp, tydlig sinnesstämning av känslan av en överhoppad slag.

Det finns bokstavligen hundratals åtgärder till verb att välja mellan. Kinesiska nyårsfirandet är tysta angelägenheter hemma eftersom det finns bara tre av oss. Är det inte förvirrande att allt är så vackert, trots alla fasor som finns? På senare tid har jag lagt märke till något stort och mystiskt kikar in i min ren glädje i Longchamp Väska allt som är härliga känslan av en Skapare som oskyldig skapelse tillber med sin skönhet.

Det är oklart vid denna tidpunkt vad lag är Vibram Skor villiga att erbjuda en sådan affär till Nolasco och vad storleken på avtalet faktiskt kommer att bli. Mental trauma eller en olycka som har stört en människas sinne kan vara en av de utlösande faktorer för migrän.

Nivå 1b: Dessa klasser har en hög fokus och är påverkan konditionsträning. De drivs av rykte, tillförlitlighet Hollister Stockholm och kvalitet,' sade han. När min fästman och jag gör det missionär jag brukar känna som om Longchamp Le Pliage jag på väg att komma och det gör mig gå helt vilda.

korrekta och trovärdiga Hollister Gallerian

Senaste Burton nyhetsrubriker Presenteras av Burton Mail reportrar. De två som erbjuds starka kontraster i yrkesbakgrund, ålder och offentlig service. Och en av hans mest uppmärksammade projekt i Thiel Fellowship passar räkningen. Antagnings priserna har gått upp med tillägg av SciQuarium..

Efter att ha haft tidigare otillfredsställande Hollister Gallerian erfarenheter kan öka denna ångest så mycket, att den stress Polo Ralph Lauren Rea faktiskt kommer att orsaka erektionsproblem. Uppmärksamheten av plastikkirurg är avgörande i plastikkirurgi före och efter det att patienten har opererats.

De kommer tillbaka. Det problem vi har är att vi har en fraktion av det republikanska partiet i huset av re representanter i synnerhet, denna uppfattning 'kompromiss' som ett fult ord och något avlägset förknippas med mig att de känner sig tvungna att motsätta sig.

Det löser inte problemet helt och hållet. Tofu, vetebröd, aprikos, rågbröd, broccoli och keso gör innehåller bra mängd kalcium. Hemlösa skyddsrum och andra offentliga byggnader tog i människor som frysning utanför.. Sport repliker PC programvara krävs för att effektivt lära sig att utföra backup PS2 aktiviteter..

Han tillägger att passionerade individer är välkomna ombord så länge 'de inte hysa någon sjuklig rädsla för att misslyckas, därför att det finns en rimlig chans att misslyckas i denna satsning.'. Gapet är inte så stor mellan de så kallade toppklubbarna och helgon som herr Lawrenson tycker!, Weekend en bra start Lawro har Saints ned som en förlust.

Det kommer att finnas på en stor skala, och företaget har lovat en spännande produktlansering. Jag hoppas att de börjar ta oss på allvar. Den imponerande Beverly Drive läge, som erbjuder kunderna ett ställe att ta lunch och haffa deras favorit Nespresso produkter, surr med män i kostym styra trottoaren Vibram Fivefingers Kso trafik utanför och passerar ut smårätter inne..

Tänk på detta, david. Bad. Så nära Capitolium och invigningen, sade Boomer. 'Vi plockade upp telefonen, och du kommer och få det.' Den som ringer säger. För Smart Grid-systemet ska fungera på ett tillförlitligt sätt, måste PFE kalibreras så Nike Air Force Billigt att deras uppgifter är konsekventa, korrekta och trovärdiga, och så att modeller från olika tillverkare är inter manövreras.

' Presidenten medgav att 'vi kanske inte har exakt samma nyhet under 2008,' eftersom det inte fanns något 'så dramatisk' om den processen. Alla högst upp på dagordningen. Mina recensioner är alltid förvaras i en professionell ton. Det är väldigt svårt att hålla spelare av att kvalitet i truppen om du inte kan erbjuda dem hink massor av pengar som stadens och Chelsea..

Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/index.php?title=Neutron_transport&oldid=234831"