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[[image:Great Britain Hausdorff.svg|thumb|450px|Estimating the Hausdorff dimension of the [[How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension|coast of Great Britain]]]]
== Nike Air Jordan Damen 'Nach meiner Lieferung ==
In [[mathematics]], the '''Hausdorff dimension''' (also known as the '''Hausdorff–Besicovitch dimension''') is an [[Extended real number line|extended]] non-negative [[real number]] associated with any [[metric space]]. The Hausdorff dimension generalizes the notion of the dimension of a real [[vector space]]. That is, the Hausdorff dimension of an ''n''-dimensional [[inner product space]] equals ''n''. This means, for example, the Hausdorff dimension of a point is zero, the Hausdorff dimension of a line is one, and the Hausdorff dimension of the plane is two. There are, however, many [[fractal|irregular sets]] that have noninteger Hausdorff dimension. The concept was introduced in 1918 by the [[mathematician]] [[Felix Hausdorff]]. Many of the technical developments used to compute the Hausdorff dimension for highly irregular sets were obtained by [[Abram Samoilovitch Besicovitch]].


[[Image:Sierpinski deep.svg|thumb|300px|[[Sierpinski triangle]]. A space with fractal dimension log(3)/log(2), which is approximately 1.5849625]]
Können Sie sich vorstellen, wenn einer Ihrer Töchter hatte der Gleichheit und der andere nicht? Das ist die Realität für jede Familie mit einem Kind Homosexuell. Gamchha maine bhi Pehna tha, Tanz nahi kiya tha, haath hila Diya tha bas ', sagt er .. Er ist derzeit damit [http://www.direct-courier-duesseldorf.de/Pictures/Solicitations/cache.asp Nike Air Jordan Damen] beschäftigt Dreharbeiten für Farah [http://www.tuckerstsd.com/header/banner.html Gucci Gürtel] Khans Tees Maar Khan. Seine Argumente zerren an deinem Herzen, aber nicht zu schüren den Geist. <br><br>Sie sind berechtigt, für maximal eine Minute zwischen exercises.Total Trainingszeit für 1 Woche (pro Tag) zu stoppen: 45 Minuten. 'Ich habe gelernt, dass davon, dass mit dem BEP wir haben großen Shows wie dem Superbowl, wo wir hätten gehen sehen die Anfangsphase oder die Weltmeisterschaft, so kann ich [http://www.raymondkarate.com/photogallery/include/router.php Hollister Sale] zu jedem einzelnen persönlich zu gehen und danken ihnen für die Herstellung der Bühne und macht meine Leistung viel besser ', sagt er ... <br><br>Forensic Nurse Prüfer, die für die Verwaltung alle erwachsenen Rape Kits und viele jugendliche diejenigen verantwortlich ist. Wir haben auch nicht bekommen ein Foto mit unserem Artikel in Text verknüpft verbunden bilden nur auf sonderbare Nachrichten (oben) und die Bücher Abschnitt (in der Mitte) ... <br><br>Aber die Debatte über die PED-Nutzer, die zwar gelegentlich unerträglich, ist keine schlechte Sache für die Halle oder für [http://www.akfathens.com/photogallery/galleries/database.php Hollister Köln] Baseball. Das, warum ich schrieb meine e Buch .. Aber ich hier aufhören, weil ich nicht ein Buch zu schreiben. Lass dich richtig behandelt, so schnell wie möglich, denn je länger Sie warten, desto mehr Symptome auftreten. <br><br>Make-up entfernen, immer aus dem Gesicht, bevor Sie schlafen und halten Sie Ihre Haare sauber zu gehen, um die Menge an Öl, die auf Ihrem Gesicht bekommt beseitigen. Erstellen Sie diese Routine und richten Sie Ihren Platz für eine Hausaufgabenzeit, die lohnende und lehr. <br><br>Check für fehlerhafte Verdrahtung oder tot Switches. Indien, hatte selbst dann reichte starken diplomatischen Protesten, aber China war weiterhin Hubschrauberlandeplätze und andere dauerhafte Strukturen in der Region zu bauen, um seine troops.With nachhaltig die damalige chinesische Führer Deng Xiaoping droht sogar nach Indien im Jahr 1962 eine Lektion erteilen, verwandt mit dem ein , Armeechef Gen K Sundarji hatte Klima hob eine Infanteriebrigade unter Operation Falcon zu Zimithang der Nähe Sumdorong Chu.India hatte auch durchgeführt, eine große Armee IAF Übung im Nordosten Anfang 1987, so wie die beiden Seiten verstärkte Truppenstärke in der Region.. <br><br>'Nach meiner Lieferung, wenn mein Mann war im Zimmer wollte ich auf die Toilette zu gehen und um Hilfe gerufen. Erwachsene 25 und älter hatten mindestens einen Bachelor-Abschluss.' Für Rahmen, erst 1998 war diese Zahl unter 25 Prozent .. Seine Eltern wurden getrennt, wechselte er Städte, nicht bei Freunden und musste Richtung im Leben zu finden. Ich benutze Mint, den Überblick über meine persönlichen Finanzen zu halten.<ul>
 
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  <li>[http://yijiansong.u092.iiddcc.com/news/html/?53905.html http://yijiansong.u092.iiddcc.com/news/html/?53905.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17099403 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17099403]</li>
 
  <li>[http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10 http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/]</li>
 
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==Intuition==
== Louis Vuitton Taschen Midlife markiert den Punkt ==
The intuitive concept of dimension of a geometric object is the number of independent parameters one needs to pick out a unique point inside. However, any point specified by two parameters can be instead specified by one, because the [[cardinality]] of the real plane is equal to the cardinality of the [[real line]] (this can be seen by an argument involving interweaving the digits of two numbers to yield a single number encoding the same information.) The example of a [[space-filling curve]] shows that one can even take one real number into two both surjectively (so all pairs of numbers are covered) and ''continuously'', so that a one-dimensional object completely fills up a higher dimensional object.


Every space filling curve hits some points multiple times, and does not have a continuous inverse. It is impossible to map two dimensions onto one in a way that is continuous and continuously invertible. The [[Lebesgue covering dimension|topological dimension]] explains why. The Lebesgue covering dimension is defined as the minimum number of overlaps that small open balls need to have in order to completely cover the object. When one tries to cover a line by dropping open intervals on it, one always ends up covering some points twice. Covering a plane with disks, one ends up covering some points three times, etc. The topological dimension indicates how many different little balls connect a given point to other points in the space, generically. It indicates how difficult it is to break a geometric object apart into pieces by removing slices.
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But the topological dimension doesn't determine volumes. A curve that is almost space-filling can still have topological dimension one, even if it fills up most of the area of a region. A [[fractal]] has an integer topological dimension, but in terms of the amount of space it takes up, it behaves as a higher dimensional space. The Hausdorff dimension defines the size notion of dimension, which requires a notion of radius, or ''metric''.
== Ralph Lauren Pullover  und die Bösen ==


Consider the number N(''r'') of [[ball (mathematics)|balls]] of radius at most ''r'' required to cover ''X'' completely. When ''r'' is small, N(''r'') is large. For a "well-behaved" set ''X'', the Hausdorff dimension is the unique number ''d'' such that N(''r'') grows as 1/''r<sup>d</sup>'' as ''r'' approaches zero. The precise definition requires that the dimension "d" so defined is a critical boundary between growth rates that are insufficient to cover the space, and growth rates that are overabundant.
Es war ein großer Baseball-Wochenende hier bei CactusFish Hauptquartier. Beide Kinder sind in der Mitte der jeweiligen [http://www.martialartsconvention.com/count-down/js/misc/router.asp Ralph Lauren Pullover] Jahreszeiten, die beide Spiele für Samstag geplant. Corey stellt fest: "Machen Sie es einfach für Arbeitgeber, die Sie auf LinkedIn und r in Datenbanken zu finden, indem Sie durchsuchbare Schlüsselwörter und Phrasen auf Ihrem r die Begriffe Ihre Arbeitgeber sind am ehesten zu suchen, zum Beispiel, Corey schlägt vor:." Use 'MBA' statt 'Master of Business Administration "oder" PMP "anstelle von (oder zusätzlich zu)" Project Management Professional "." Forschung die besten Bedingungen, indem Sie eine Reihe von Stellenbeschreibungen und durch Lesen von Online-Publikationen sorgfältig auf Ihre Branche und Zielgesellschaften. InPerson Forschung können auch große Einblicke in die wichtigsten Fragen, mit denen Ihre Branche und die Schlüsselwörter Arbeitgeber verwenden, um diese Bedenken zu beschreiben.. <br><br>Der 2013 Volvo S60 hat geringfügig höher als die Sicherheits Partituren CC, aber die CC hat eine etwas bessere Zuverlässigkeit Rating. Bei vergleichbaren Kraftstoffverbrauch Schätzungen und Antriebsvarianten erhält der S60 auch Lob von Testfahrer für seine leistungsstarken Turbo-Motor, sowie die gehobene Innenausstattung. <br><br>Auf der Webseite werden die meisten SEO-Experten sagen, dass der Inhalt ist König. Kostenlose ArticlesHowever, ist der eigentliche Schlüssel frischen Inhalt. Whooooaarrrr! Mit dem Klopfen, und den Dreharbeiten, und der Brechstange, und die fliegenden Summen Dinge, und die Bösen, und die Monster, und die Kisten, und Wasser und der Klage, und die Taschenlampe, andallofit! Ich habe es ein paar gute Stunden die andere Nacht, dauerte eine Weile zu installieren, da sie erzählte mir, auf neuere Grafiktreiber herunterladen und dann dauerte es etwa 25 Minuten, um sich selbst zu entschlüsseln. Ich hatte keine Ahnung, was am Anfang zu tun. <br><br>Hier [http://www.utahtaekwondo.com/photogallery/include/content.php Beats Wireless] erhalten umfassende Informationen zu den unzähligen Spa Lebensstile mit Ayurveda, der indischen [http://www.mcm-milano.ch/images/people/Claudia/user.php Nike Air Jordan Schweiz] magischen Schnuller. Diese Seite kapselt alle die neueste Mode in der Praxis im Herzen der indischen Unterhaltungsprogramm. Box gewidmet sein wird, bleiben Sie auf immer aber. Ich begann Programmierung Bitcoin API in Sachen E-Commerce-Anwendung, und interessierte sich für die Neuheit an dieser Stelle. <br><br>Tablet PCs haben, ändern sich die Lebensstil Tabs haben eine größere Rolle in den Schwellen die Wendung in der aktuellen Szenario. PC-Tabletten haben ihre [http://www.usksmartialarts.com/header/backup.php Nike Roshe] Anwendung in unserem täglichen Leben bekommen haben und ihre Position in der Elektronik-Markt gehalten.<ul>
 
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  <li>[http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13 http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13]</li>
 
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
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For shapes that are smooth, or shapes with a small number of corners, the shapes of traditional geometry and science, the Hausdorff dimension is an integer. But [[Benoît Mandelbrot]] observed that [[fractal]]s, sets with noninteger Hausdorff dimensions, are found everywhere in nature. He observed that the proper idealization of most rough shapes you see around you is not in terms of smooth idealized shapes, but in terms of fractal idealized shapes:
== Nike Free Schweiz Eine Menge Spaß ==


<blockquote>''clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.'' <ref name="mandelbrot">{{cite book   | last = Mandelbrot  | first = Benoît  | authorlink = Benoît Mandelbrot   | title = The Fractal Geometry of Nature   | publisher = W. H. Freeman   | series = Lecture notes in mathematics 1358  | year = 1982  | doi =  | isbn = 0-7167-1186-9}}</ref></blockquote>
Nationen träumte von der Weltraumforschung in den 1940er Jahren, und wenn das Traum wurde wahr mit V2-Rakete [http://www.forumlebensfreude.ch/images/carousel/text.asp Nike Free Schweiz] in Deutschland, träumte davon, ein Spaziergang auf dem Mond Menschen. Alt, aber ich habe bereits auf die Festplatte zu ersetzen. Beachten Sie, dass, wenn Sie während eines Fluges Insulin injizieren müssen, achten Sie darauf, um Luft in die Flasche Insulin injizieren. Wussten Sie, dass viele Prominente sind douchebags? Natürlich taten. <br><br>Ich habe die meisten die gleichen Tests durchgeführt (eine Menge Blutwerte), dass alle kommt negativen hatte. Zum Beispiel, wenn Sie normalerweise tun, Besorgungen Alltag nicht zu weit von zu Hause aus, die Umstellung auf ein Fahrrad statt das Auto zu benützen, um von Ort zu Ort zu bekommen.. <br><br>Nein, ich würde dieses Unternehmen einem Freund empfehlen [http://www.akfathens.com/photogallery/galleries/database.php Hollister Köln] Pros Die Leute, die ich mit waren immer in der Lage, Projekte zu erledigen, egal wie lächerlich oder unbedeutend, dass Projekt war. Mit ihm kam der Linksys Smart Wi Fi USB Wireless Adapter, die ich bin auch mit, weil meine alten Adapter scheint nicht zu 5GHz-Kompatibilität haben.. <br><br>Warum würden Sie zuzufügen, dass auf niemanden träumen?. Die zentrale Lage, von der Fragezeichen in der Mitte der Karte angezeigt wurde später als die Perle identifiziert. Sie sollten in der Lage, Ihnen Garantien anbieten zu können. FVck alle anderen bin ich mr wichtig. <br><br>Ich sollte hinzufügen, dass ich trinke viel Kaffee und haben einen sehr unregelmäßigen [http://www.sc08-schiefbahn.de/Pictures/newsletter/database.asp Jeremy Scott Wings] Schlafrhythmus; seit einiger Zeit dachte ich, das war die Ursache für meine Symptome. Da alle diese Gebiete in der Nähe zu einem anderen sind, besteht die Gefahr von E. <br><br>To 'Hass' muss 'sorgfältig beigebracht ', um Jugendliche, oder sehen, dass es zu Hause oder in der Schule. Food Network doesn wirklich, wenn Sie kochen können. Eine professionelle Stuntfahrer. Zum Kochen bringen bei starker Hitze, dann Hitze reduzieren, um mittel gering, Deckel, und köcheln lassen, bis die Kartoffeln weich sind und die Kabeljau Flocken leicht mit einer Gabel, ca. <br><br>Und das ist gut .. Heck, Nick Fury Änderung von einem weißen Mann zu einem schwarzen Mann zum [http://www.blackbeltkaratecenter.com/header/backup.html Louis Vuitton Tasche] gefeierten bewegen, wenn die Menschen aufgehört, darüber zu klagen.. Laufe der Zeit, IBD oder Morbus Crohn zu entwickeln. Keene sprach ein paar Tage nach sitzen in auf dem Biden Task Force. <br><br>Eine Menge Spaß, mit allen, die Sozial ein Basketball-Fan, der uns liebt, zu sehen, zu spielen und liebt mich spielen zu sehen ist. In Indien die meisten Menschen wie Bestickte Kleidung. Er ist das Hauptthema von verschiedenen Filmen, TV-Shows, Biographien und Werke der Fiktion. Necklacing in Afrika seit den 80er Jahren verwendet worden, um ein Beispiel zu geben ..<ul>
    
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The Hausdorff dimension is a successor to the less sophisticated but in practice very similar [[box-counting dimension]] or [[Minkowski–Bouligand dimension]]. This counts the squares of [[graph paper]] in which a point of ''X'' can be found as the size of the squares is made smaller and smaller. For fractals that occur in  nature, the two notions coincide. The [[packing dimension]] is yet another similar notion. These notions (packing dimension, Hausdorff dimension, Minkowski–Bouligand dimension) all give the same value for many shapes, but there are well documented exceptions.
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==Formal definitions==
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  <li>[http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/ http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/]</li>
 
  <li>[http://pandprealtors.com/index.php?page=item&id=591425 http://pandprealtors.com/index.php?page=item&id=591425]</li>
 
  <li>[http://hbancai.com/forum/forum.php?mod=viewthread&tid=37742&fromuid=4078 http://hbancai.com/forum/forum.php?mod=viewthread&tid=37742&fromuid=4078]</li>
 
  <li>[http://www.sygjzx.com/blog/user1/rwqnhvor/archives/2014/13825.html http://www.sygjzx.com/blog/user1/rwqnhvor/archives/2014/13825.html]</li>
 
  <li>[http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article13211/ http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article13211/]</li>
 
</ul>


===Hausdorff content===
== Abercrombie Frankfurt  so ist es etwas zu beachten ==
Let ''X'' be a [[metric space]]. If ''S'' ⊂ ''X'' and ''d'' ∈ [0, ∞), the ''d''-dimensional '''Hausdorff content''' of ''S'' is defined by
:<math>C_H^d(S):=\inf\Bigl\{\sum_i r_i^d:\text{ there is a cover of } S\text{ by balls with radii }r_i>0\Bigr\}.</math>
In other words, <math>C_H^d(S)</math> is the [[infimum]] of the set of numbers δ ≥ 0 such that there is some (indexed) collection of [[metric space|balls]] <math>\{B(x_i,r_i):i\in I\}</math> covering ''S'' with ''r<sub>i</sub>'' > 0 for each ''i'' ∈ ''I'' that satisfies <math>\sum_{i\in I} r_i^d<\delta </math>. (Here, we use the standard convention that [[infimum|inf Ø =∞]].)


===Hausdorff dimension===
August, 1987. Die Buchstaben, Papiere und Fotografien, die Schuppen neues Licht auf Mahatma [http://www.raymondkarate.com/header/define.html Abercrombie Frankfurt] Gandhi und seine Zeit in Südafrika sind auf dem Display in den [http://www.bombsquadmma.com/photogallery/include/achieve.php Hogan Stiefel] National Archives in New Delhi, nachdem sie in London versteigert wurden ... Rickrolling begann im Jahr 2007 als eine in Witz auf den Seiten alles geht von 4chan und wurde ein Internet-Phänomen. Als typisch für Mozilla ist, wird das Team ganz so verteilt, zusammenkommen, von Angesicht zu Angesicht, ist erfrischend. <br><br>Ich dachte, sie könnte über gegangen, aber ich wusste, dass ich immer noch entweder couldn. Ich habe auch einen nicht kompatibel Tages Schutz-Treiber, Express Gate und ein Programm namens Treiber sweeper.I befasste sich auch mit der Box meine Gigabyte Chasis Fall kam und es sagt, 550W, obwohl auf der Rückseite des Gehäuses Netzteil gibt es eine kleine rote Box deinstalliert 230W sagen, ich weiß nicht, was man zu believe.I ist versucht, die Dateien, die Sie angefordert machen, aber es sagt [http://www.kt-net.at/links/search.html Nike Air Max 1] immer 'Warten auf System-Info' am Ende des Prozesses und nicht sich selbst zu schließen, so kann ich es nicht :/.. <br><br>Ich habe in der Vergangenheit habe ich musste mein Herz so stark ansteigen, dass ich ständig müde gefunden, und ich am Ende betrügt meine Ernährung, so dass ich mehr tun, Cardio, dafür zu machen, also muss ich mehr Kalorien zu essen und zu der Teufelskreis geht weiter .. Auch nordkoreanische Kriegsdrohungen, nachdem ein Team von internationalen Ermittlern schob es für den Schiffbruch Cheonan wenig tat, um junge Erwachsene hier kümmern.. <br><br>Als Nebeneffekt, produzieren Sie Code, das funktioniert (und wenn Sie gut darin, läuft auch effizient). Auf die Gefahr von Fuß eine sehr feine Linie hier, wie so viele Aspekte der Mantle diese sind nicht Fragen, die wir haben die Antwort heute. In der neuesten Staffel der Show, beteiligt ganze Episoden Verkauf Ihrer Marke, [http://www.haendundherz.ch/lightbox/images/error.asp Michael Kors Outlet Schweiz] Handwerk einen Artikel in den Tank-Stil Führungskräfte aufschlagen, und selbst die Versteigerung selbst und Ihr Gericht zu einem Raum voller Menschen. Wenn Sie noch nie Artikel-Marketing (auch als BUM-Marketing genannt) verwendet haben, um Ihre Websites zu fördern, empfehle ich Sie mit dieser Methode einfach zu verwenden, ab heute starten ... <br><br>Gespräch mit einem professionellen Berater können Sie sparen eine Menge Zeit, Geld und Stress in die Renovierung eines neuen oder aktuellen Büroflächen, so ist es etwas zu beachten, wenn die Zeit kommt, um den Planungsprozess zu starten .. Ich weiß, dass der Glaube ein Funktion des Gehirns, die von jedem Glaubenssystem oder Religion, die jeder einzelne fühlt sich persönlich wohl mit tief in sich selbst motiviert werden ...<ul>
The '''Hausdorff dimension''' of ''X'' is defined by
 
:<math>\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.</math>
  <li>[http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/ http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/]</li>
 
  <li>[http://slapfish.co.uk/forum/viewtopic.php?f=1&t=266338 http://slapfish.co.uk/forum/viewtopic.php?f=1&t=266338]</li>
 
  <li>[http://hemanjosko.in/activity/p/157574/ http://hemanjosko.in/activity/p/157574/]</li>
 
  <li>[http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/ http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/]</li>
 
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/]</li>
 
</ul>


Equivalently, dim<sub>H</sub>(''X'') may be defined as the [[infimum]] of the set of ''d'' ∈ [0, ∞) such that the ''d''-dimensional [[Hausdorff measure]] of ''X'' is zero. This is the same as the supremum of the set of ''d'' ∈ [0, ∞) such that the ''d''-dimensional Hausdorff measure of ''X'' is infinite (except that when this latter set of numbers ''d'' is empty the Hausdorff dimension is zero).
== Nike Air Max 90 Hyperfuse Der Musik-Spiegel ==


==Examples==
Si les ont chiffres rcemment t Revus la hausse, l'IUCN estime qu'il ne reste pas de zuzüglich 2.500 Pandas gants dans le sud et l'est de la Chine. Une bien trop Bevölkerung restreinte et en perptuelle Verminderung en raison de l'Urbanisierung du pays et du braconnage. <br><br>Der Musik-Spiegel (die ich mehr als glücklich zu laufen) nimmt ein bisschen viel von meiner Bandbreite, um mit der aktuellen Einrichtung bleiben. Ich liebte Host-Rakete, als ich sie zuletzt, so dass ich denke, dass ich mit ihnen gehen. 10. Machen Sie Ihre eigene Altersvorsorge. <br><br>Diese Analyse wurde dann mit einer Energieministerium Datenbank mit großen Schieferregionen wie dem Marcellus Formation erstreckt sich von Ohio in den Norden New York und der Bildung Barnett in Texas überlagert. Die Forscher betrachteten Bereiche bereits bekannt, reich an Schiefergas zu sein, zusätzlich zu den Regionen, die zukünftige Produktion zu erhalten. <br><br>Später in der Kostüme Schnitt dieser Star Wars Geburtstag Party-Ideen, schlage ich immer ein Elternteil einen Auftritt als Darth Vader verkleidet, nachdem die Kinder gegessen haben, den Kampf mit den Kindern im Rahmen ihrer Jedi-Ausbildung zu tun. Wenn Sie sich entscheiden, mit dieser Option gehen, können Sie Geld, indem Sie die Maske, Umhang und Lichtschwert aus der erwachsenen Kostüm als Buffet / Dessert Tabellenmittel speichern. <br><br>Schneller Vorlauf bis drei Wochen nach der ComicCon. Ich war überrascht, eine E-Mail von Mary Franklin erhalten, Sr. Autoimmunerkrankungen sind diejenigen, durch die körpereigenen Immunsystems, die normalerweise [http://www.pla-text.de/header/active.html Nike Air Max 90 Hyperfuse] Ziele und fremde Stoffe auf den Körper, wie Bakterien zerstört, fälschlicherweise attackiert normalen Geweben. Aber keine Angst, besteht darauf, True North President und CEO Jim Ludlow. <br><br>Ich habe meine Ideen für die Herstellung einer [http://www.utahtaekwondo.com/photogallery/include/content.php Beats Solo] durchsuchbaren Datenbank-Datei gelöscht. Ich werde meinen Code freizugeben, um eine Index-Datei zu machen (es ist schrecklich spät in die Nacht zusammen gehackt, wenn ich wollte nur etwas getan, aber vielleicht ist es genug, um jemanden Frage auf, wie man in den nächsten Tagen zusammen einen Index zu beantworten. <br><br>Sie begann ihre Medikamente, die von den beiden Injektionen und Medikamente bestand. Früher litt sie unter bruccelar aber nicht ihre Medikamente machen die Krankheit [http://www.kabinenroller.de/Pictures/Customer/client.asp Nike Air Yeezy 2] wieder auftreten zu beenden. , $ 100 jetzt bezahlt oder 105 $ bezahlt [http://www.forumlebensfreude.ch/download/termine/pear.asp Longchamp Taschen] genau einem Jahr von jetzt beide den gleichen Wert für den Empfänger, die 5% Zinsen an; mit Zeitwerts des Geldes Terminologie, $ 100 investiert für ein Jahr bei 5% Zinsen eine Zukunft hat Wert von 105 $. Beware Frische JuiceFresh gepressten Saft in Restaurants, Saftbars oder Bauernhof steht nicht pasteurisiert werden, um vor schädlichen Bakterien zu schützen, einschließlich Salmonellen und E..<ul>
* The [[Euclidean space]] '''R'''<sup>''n''</sup> has Hausdorff dimension ''n''.
 
* The circle '''S'''<sup>1</sup> has Hausdorff dimension 1.
  <li>[http://www.aiyingfang.cn/bbs/showtopic-873456.aspx http://www.aiyingfang.cn/bbs/showtopic-873456.aspx]</li>
* [[Countable set]]s have Hausdorff dimension 0.
 
* [[Fractal]]s often are spaces whose Hausdorff dimension strictly exceeds the [[topological dimension]]. For example, the [[Cantor set]] (a zero-dimensional topological space) is a union of two copies of itself, each copy shrunk by a factor 1/3; this fact can be used to prove that its Hausdorff dimension is ln(2)/ln(3) ≈ 0.63. The [[Sierpinski triangle]] is a union of three copies of itself, each copy shrunk by a factor of 1/2; this yields a Hausdorff dimension of ln(3)/ln(2) ≈ 1.58.
  <li>[http://www.seabear.com.hk/forum/read.php?tid=17134 http://www.seabear.com.hk/forum/read.php?tid=17134]</li>
* [[Space-filling curve]]s like the [[Peano curve|Peano]] and the [[Sierpiński curve]] have the same Hausdorff dimension as the space they fill.
 
* The trajectory of [[Brownian motion]] in dimension 2 and above has Hausdorff dimension 2 [[almost surely]].
  <li>[http://www.emil86.fr/spip.php?article1/ http://www.emil86.fr/spip.php?article1/]</li>
* An early paper by [[Benoit Mandelbrot]] entitled ''[[How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension]]'' and subsequent work by other authors have claimed that the Hausdorff dimension of many coastlines can be estimated. Their results have varied from 1.02 for the coastline of [[South Africa]] to 1.25 for the west coast of [[Great Britain]]. However, 'fractal dimensions' of coastlines and many other natural phenomena are largely heuristic and cannot be regarded rigorously as a Hausdorff dimension. It is based on scaling properties of coastlines at a large range of scales; however, it does not include all arbitrarily small scales, where measurements would depend on atomic and sub-atomic structures, and are not well defined.
 
* The bond system of an [[amorphous solid]] changes its Hausdorff dimension from Euclidean 3 below [[glass transition temperature]] ''T''<sub>g</sub> (where the amorphous material is solid), to fractal 2.55±0.05 above ''T''<sub>g</sub>, where the amorphous material is liquid.<ref>{{cite journal |author=M.I. Ojovan, W.E. Lee. |title= Topologically disordered systems at the glass transition|journal=J. Phys.: Condensed Matter |volume=18 |issue= 50|pages=11507–20 |year=2006 |url=http://eprints.whiterose.ac.uk/1958/ |doi=10.1088/0953-8984/18/50/007 |bibcode=2006JPCM...1811507O}}</ref>
  <li>[http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2439304 http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2439304]</li>
 
  <li>[http://115.28.106.0/forum.php?mod=viewthread&tid=2648&fromuid=773 http://115.28.106.0/forum.php?mod=viewthread&tid=2648&fromuid=773]</li>
 
</ul>


==Properties of Hausdorff dimension==
== Nike Shoes  wenn Sie bereit sind ==


=== Hausdorff dimension and inductive dimension ===
[.] Ich bin gerne kreativ und [http://www.iso-coaching.ch/download/termine/base.asp Nike Shoes] lasse meine Gedanken schweifen um nach Worten es will, und nicht, was Algorithmen wie. Ich mag die Freiheit, zu wissen, ich kann Worte für meine Leser, ohne gezwungen zu verwenden, bis meine Charaktere auf Wörtern für Roboter bestimmt holen. <br><br>Menschen haben sogar Themen, die Wordpress-Seiten aussehen und funktionieren eher wie Standard-Webseiten zu machen, und wenn die Absicht ist, durch Anzeigen oder Spenden Geld verdienen gibt es Möglichkeiten, den Verkehr aufrecht zu erhalten, die keine ständige Updates, wenn Sie bereit sind, viel zu veröffentlichen sind Inhalte innerhalb der ersten sechs bis zwölf Monate nach Ihrer Website geht live. Es braucht eine Menge Arbeit, um diesen Punkt zu erreichen, aber es erfordert viel weniger Aufwand, sie zu erhalten, wenn man ein Repertoire von mindestens 25 beliebtesten Artikeln mit wellplaced Keywords und viele Backlinks zu bauen. <br><br>Die Robustheit eines solchen Tool und seine Einmalpreis-Ticket sind die primäre Erklärung, warum sie so attraktiv sind. Informationen für Stück zu schreiben, Werbung auf meinem Blog extra und bekommen die aktuell Schaufel in Bezug auf die oberen paar Stück Einreichung Software auf dem Markt.. <br><br>Sie hat begonnen, viele overtimeA klassisches Zeichen der Untreue ist, wenn deine Freundin zu arbeiten beginnt morea vieles mehr. Dr. Mahlers Nichte Alma Ros ein Auschwitz-Häftling, die im Lager starben, führte der Frauen-Orchester für eine Zeit, und Berichten zufolge eingeflößt Disziplin in ihre Musiker, indem sie ihnen ". Wenn wir nicht gut spielen, werden wir in die Gas gehen" . <br><br>V6powered Tacomas erhalten eine Sechsgang-Handbuchs oder eines optionalen fivespeed automatisch. Testfahrer einig, dass die automatische fivespeed Angebote schnelle, nahtlose Schichten, und dass die Sechsgang-Hand schaltet sanft. Dies ist nicht nur Tamiflu Tamiflu. Nun, die Folter zu verwenden als eine Chance für das Eintauchen der medizinischen Forschung auf Tamiflu nach einem der Erwägung, das Buch jähzornig von Civitas auf Limousine, von der ich am Montag [http://www.okiedokie.de/gallerie/future/class.php Barbour Deutschland] im New Malerei Sherry lesen, können nicht helfen, aber machen Sie sich gekrümmt. <br><br>9, 2013 2. April 2013 weibliche Exhibitionist Geschichten. Gollum. Hier, allein mit Gollum am Ufer eines unterirdischen Sees, der bescheidene Bilbo Beutlin nicht nur entdeckt Tiefen der List und Mut, die selbst ihn überraschen, gewinnt er auch den Besitz von Gollums "kostbaren" Ring, der unerwartete und nützliche Eigenschaften besitzt. <br><br>Sie können alle Ihre Dokumente aus der My Docs Bereich der Website anzuzeigen. Verkehrs [http://www.usksmartialarts.com/header/backup.php Nike Roshe Run Sale] Analytics können Sie den Überblick über die Ansichten jedes Dokument bekommt. Engrossing und unterhaltsam. " Weekend Australian'A wirklich hervorragende Roman. Wer auf der Suche nach einem kompakten SUV im Mai sollte auf dem 2013 Ford Escape-Besuche die Leasing-Deal. Käufer können die Escape für $ 179 [http://www.kabinenroller.de/Images/banner.html Montblanc Starwalker] bis $ 239 pro Monat für zwei Jahre mit 2718 $ bis 4273 $ fällig bei Unterzeichnung, je nachdem, wo Sie leben, zu verpachten.<ul>
Let ''X'' be an arbitrary [[Separable space|separable]] metric space. There is a [[topology|topological]] notion of [[inductive dimension]] for ''X'' which is defined recursively. It is always an integer (or +∞) and is denoted dim<sub>ind</sub>(''X'').
 
  <li>[http://www.9combo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=116525 http://www.9combo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=116525]</li>
 
  <li>[http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/ http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/]</li>
 
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  <li>[http://ideovert.com/spip.php?article135 http://ideovert.com/spip.php?article135]</li>
 
</ul>


'''Theorem'''. Suppose ''X'' is non-empty. Then
== Hollister Köln  Film und Digital Imaging-Bereich ==
:<math> \operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(X) \geq \operatorname{dim}_{\mathrm{ind}}(X). </math>
Moreover,
:<math> \inf_Y \operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(Y) =\operatorname{dim}_{\mathrm{ind}}(X), </math>
where ''Y'' ranges over metric spaces [[homeomorphic]] to ''X''. In other words, ''X'' and ''Y'' have the same underlying set of points and the metric ''d''<sub>''Y''</sub> of ''Y'' is topologically equivalent to ''d''<sub>''X''</sub>.


These results were originally established by [[Edward Szpilrajn]] (1907–1976). The treatment in Chapter VII of the Hurewicz and Wallman reference is particularly recommended.
Martin Luther King Jr. Hat uns gelehrt, dass der Erfolg einer sozialen Bewegung hängt von seiner Fähigkeit, eine Welt, wo Menschen gehen wollen darzustellen. Dieser Papagei ist definitiv gestorben. Es ist nicht mehr. Aber es funktioniert super. Ich habe diese [http://www.akfathens.com/photogallery/galleries/database.php Hollister Köln] aus getestet und tatsächlich bekommen hohe Platzierungen nur zu tun, Artikel-Marketing auf diese Weise und nicht anders Linkaufbau. <br><br>Vielen Dank allen für [http://www.markusexner.de/Pictures/Discography/serach.asp Mbt Hamburg] Ihre Unterstützung. Ich bin aufgeregt und erleichtert, dass diese ganze bookthing schließlich zur Vollendung kommt. UPDATE: Während vielleicht einkaufen Murton, haben die Cubs bedeutende Gespräche über Baltimore Jay Payton hatte. Die Jungen würden sich über zwei midlevel Aussichten zu senden; Murton ist, dass die Kriterien passen? Payton wird $ 5MM machen im nächsten Jahr seinen Vertrag zu beenden. <br><br>Doch die junge Krüge, die auch in den Majors der letzten Saison waren, können an der Stelle, wo sie über die Mauer klettern und konkurrieren in ihrer regulären wiederum im September, wenn es sein muss kann. GM Alex Anthopoulos hat bereits bewiesen, dass er lieber auf der Seite der Vorsicht als mit seiner Entscheidung, Jesse Litsch auf der 60 Tage deaktiviert Liste gesetzt, so dass er die vollen 12 Monate des Wiederherstellungschirurgie postTommy John hätte irren. <br><br>Eine gute Anzahl von seinen Säulen waren um nichts viel an allen, aber dennoch fabelhaft liest, sagte Archie McDonald, ein weiteres Mitglied der einstigen The Sun Sportabteilung. Bergbaustadt [http://www.markusexner.de/Images/banner.html Nike Cortez] genannt Anyox. Ein weiterer Teil geht durch alle populären Diäten auf dem Markt und erklärt, jede mit Experten erklären, jeder, so dass Sie informiert werden kann. Sie können auch Fitness und Bewegung hier Informationen zu. <br><br>9 Nikon hat eine völlig neue Art von Website ins Leben gerufen, entworfen, um Gemeinschaft zu schaffen, bieten Bildung und bieten Inspiration für die Nutzer rund um den Globus Mikroskop. Es hat auch Bildergalerien, eine Wissensdatenbank von veröffentlichten und unveröffentlichten Papier, Film und Digital Imaging-Bereich, featured Mikroskopikern, Bildung auf optische Systeme, ein Verfahren zur Eingabe von Nikon renommierten Internationalen Small World Mikrofotografie-Wettbewerb, ein Mikroskop Museum, Informationsaustausch, Chat und mehr.. <br><br>Eine Frage? The Creators Network ist unsere Kunden-Community, und es ist voll von interessanten Tipps, Ideen und Menschen, die tun genau das, was Sie tun, etwas zu bauen, kreativ auf Ning. Alle Netzwerk-Creators und Admins sind willkommen. In der Regel Jungs neigen dazu, sehr viel mehr Arbeit auf Muskeln [http://www.okiedokie.de/biergarten/footer.html Nike München] wie Brust, als zurück zu tun. Ich kann nicht anfangen, die Nachteile dieser Mentalität zu beschreiben.<ul>
 
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  <li>[http://rhymerockrecords.net/bulletin//read.php?2,665455 http://rhymerockrecords.net/bulletin//read.php?2,665455]</li>
 
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  <li>[http://down.66rt.com/viewthread.php?tid=11550&extra= http://down.66rt.com/viewthread.php?tid=11550&extra=]</li>
 
  <li>[http://metransparent.nfrance.com/~k1001/spip.php?article8359&lang=ar&id_forum=8701/ http://metransparent.nfrance.com/~k1001/spip.php?article8359&lang=ar&id_forum=8701/]</li>
 
</ul>


=== Hausdorff dimension and Minkowski dimension ===
== Beats By Dre Schweiz AP Photo / Hussein Malla ==
The [[Minkowski dimension]] is similar to the Hausdorff dimension, except that it is not associated with a measure. The Minkowski dimension of a set is at least as large as the Hausdorff dimension. In many situations, they are equal. However, the set of [[rational number|rational]] points in [0, 1] has Hausdorff dimension zero and Minkowski dimension one. There are also compact sets for which the Minkowski dimension is strictly larger than the Hausdorff dimension.


=== Hausdorff dimensions and Frostman measures ===
Leider gibt es Menschen, die schlecht informiert, um dergleichen von Oprah hören und die sie Blödsinn als Wahrheit hausieren gehen .. Ich weiß nicht, wie man das öffnen Tür auf! Hat jemand aus dem Zimmer in Escalation Anruf der Toten zu bekommen? [http://www.voegeli-beck.ch/images/content/event.asp Beats By Dre Schweiz] Bitte ... <br><br>Sie hielten buchstäblich mich die ganze Nacht letzte Nacht, auch nachdem ich das Fenster geschlossen. Scoring wurde möglicherweise angepasst werden, um Einfluss auf die HMP würde Führung in der Penquis Bereich zu werden.. Beziehung ist wie ein Kelch. Generalinspektor der Polizei Ajmer-Bereich, sagte Anil Paliwal India Today, dass er einen Bericht der Betriebsleiter der Polizei erwartet.. <br><br>Darüber hinaus sollten Menschen haben, um sicherzustellen, gute Zuhörer und vertrauenswürdige Anwälte für den Umgang mit ihrem Fall zu mieten. Mit MVP gibt es mehr PVCs und PACs, als es wahrscheinlich sonst bei vielen Patienten sein. Kris Doolan nahm einen Ball auf Höhe der Mittellinie und tanzte letzten Herausforderungen von Hanlon und Jordon Foster vor Clipping den Ball über die fort Williams .. (AP Photo / Hussein Malla, File). <br><br>Ich über die Antalya und Eve Hotel reden, was sind die Gerüchte, Mythen und Fakten über dieses fabelhafte Hotel? Nun, eines der Gerüchte, die ich gehört habe, war, dass VIP-Kunden bei der Ankunft, neben ihrer eigenen Zimmerschlüssel, würde ein anderes Zimmer gegeben werden Taste. Sharad Gadhia, der Queen Elizabeth Schule besucht, die bis Montag, zwei Wochen nach Klassen begann, Schüler in seiner Klasse war gezwungen worden, Schreibtische mit dem Lehrer und miteinander zu teilen, und sitzen auf Hockern.. <br><br>Für meine weitere Standard-Verbrauchsmaterialien niemand schlägt Winco die Mitarbeiter durch die Art und Weise (gee, faire Löhne und die Möglichkeit für harte Arbeit, was für ein Konzept) im Besitz so im Gegensatz zu einem Walmart Super Center ich nicht das Wohlergehen der Konzerne Einkaufsmöglichkeiten gibt zu unterstützen. Ein alter Soldat [http://www.markusexner.de/Images/banner.html Nike Cortez Damen] schließt sich dem Unabhängigkeitskrieg nach seinem ältesten Sohn wirbt mit der kontinentalen Armee gegen seinen Willen und sein jüngster Sohn wird in einem [http://www.bostontkd.net/photogallery/include/filter.php Louis Vuitton Schuhe Herren] Akt der Brutalität von einem englischen General getötet.. <br><br>Eine Sache weniger, um mit in den Morgen zu [http://www.anvertex.de/Pictures/drfooke/header.html Pandora Armband] tun:). Ist er Kenia, Nigeria, Französisch, Algerien, Araber, Madagaskar, Polnisch, Scottish oder vielleicht von den Orkney-Inseln herab? Es wird alles klar werden .. Bringt die Kanten des Papiers zusammen, falten sie fest, um eine Dichtung zu bilden, und Backen für 10 bis 15 Minuten bei 450 Grad. Leider habe ich keine coole Dinge zu Werbegeschenk, aber vielleicht werde ich etwas einfallen nächste Woche! Bleiben Sie dran.<ul>
If there is a [[measure (mathematics)|measure]] μ defined on [[Borel measure|Borel]] subsets of a metric space ''X'' such that μ(''X'') > 0 and μ(''B''(''x'', ''r'')) ≤ ''r<sup>s</sup>'' holds for some constant ''s'' > 0 and for every ball ''B''(''x'', ''r'') in ''X'', then dim<sub>Haus</sub>(''X'') ≥ ''s''. A partial converse is provided by [[Frostman's lemma]]. [[Frostman's lemma|That article]] also discusses another useful characterization of the Hausdorff dimension.
 
 
  <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/ http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/]</li>
=== Behaviour under unions and products ===
 
If <math>X=\bigcup_{i\in I}X_i</math> is a finite or countable union, then
  <li>[http://www.juzibuy.com/lt/forum.php?mod=viewthread&tid=440115&extra= http://www.juzibuy.com/lt/forum.php?mod=viewthread&tid=440115&extra=]</li>
:<math> \operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(X) =\sup_{i\in I}  \operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(X_i).</math>
 
This can be verified directly from the definition.
  <li>[http://www.clasife.com.ar/index.php?page=item&id=62866 http://www.clasife.com.ar/index.php?page=item&id=62866]</li>
 
 
If ''X'' and ''Y'' are metric spaces, then the Hausdorff dimension of their product satisfies<ref>{{cite journal |author=Marstrand, J. M. |title=The dimension of Cartesian product sets |journal=Proc. Cambridge Philos. Soc. |volume=50 |issue=3 |pages=198–202 |year=1954 |doi=10.1017/S0305004100029236 |bibcode = 1954PCPS...50..198M }}</ref>
  <li>[http://matchsouls.com/tweet/?module=bnaawhbs http://matchsouls.com/tweet/?module=bnaawhbs]</li>
:<math> \operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(X\times Y)\ge \operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(X)+ \operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(Y).</math>
 
This inequality can be strict. It is possible to find two sets of dimension 0 whose product has dimension 1.<ref>{{cite book  | last = Falconer  | first = Kenneth J. | title = Fractal geometry. Mathematical foundations and applications  | publisher = John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey  | year = 2003  | doi =  | isbn = }}</ref> In the opposite direction, it is known that when ''X'' and ''Y'' are Borel subsets of '''R'''<sup>''n''</sup>, the Hausdorff dimension of ''X'' × ''Y'' is bounded from above by the Hausdorff dimension of ''X'' plus the [[packing dimension|upper packing dimension]] of ''Y''. These facts are discussed in Mattila (1995).
  <li>[http://alnoornews.tv/watch_video.php?v=8NYO71AGR1K7 http://alnoornews.tv/watch_video.php?v=8NYO71AGR1K7]</li>
 
 
==Self-similar sets==
</ul>
Many sets defined by a self-similarity condition have dimensions which can be determined explicitly. Roughly, a set ''E'' is self-similar if it is the fixed point of a set-valued transformation ψ, that is ψ(''E'') = ''E'', although the exact definition is given below.  
 
<blockquote>'''Theorem'''. Suppose
 
:<math> \psi_i: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n, \quad i=1, \ldots , m </math>
 
are [[Contraction mapping|contractive]] mappings on '''R'''<sup>''n''</sup> with contraction constant ''r<sub>j</sub>'' < 1. Then there is a unique ''non-empty'' compact set ''A'' such that
 
:<math> A = \bigcup_{i=1}^m \psi_i (A). </math>
</blockquote>
 
The theorem follows from [[Stefan Banach]]'s [[Contractive mapping theorem|contractive mapping fixed point theorem]] applied to the complete metric space of non-empty compact subsets of '''R'''<sup>''n''</sup> with the [[Hausdorff distance]].<ref>{{cite book |author=Falconer, K. J. |title=The Geometry of Fractal Sets |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=1985 |isbn=0-521-25694-1 |chapter=Theorem 8.3}}</ref>
 
===The open set condition===
To determine the dimension of the self-similar set ''A'' (in certain cases), we need a technical condition called the ''open set condition'' (OSC) on the sequence of contractions ψ<sub>''i''</sub>.
 
There is a relatively compact open set ''V'' such that
 
:<math> \bigcup_{i=1}^m\psi_i (V) \subseteq V, </math>
 
where the sets in union on the left are pairwise [[disjoint sets|disjoint]].  
 
The open set condition is a separation condition that ensures the images ψ<sub>''i''</sub>(''V'') do not overlap "too much".
 
'''Theorem'''. Suppose the open set condition holds and each ψ<sub>''i''</sub> is a similitude, that is a composition of an [[isometry]] and a [[dilation (metric space)|dilation]] around some point. Then the unique fixed point of ψ is a set whose Hausdorff dimension is ''s'' where ''s'' is the unique solution of<ref>{{cite journal |author=Tsang, K. Y. |title=Dimensionality of Strange Attractors Determined Analytically |journal=Phys. Rev. Lett. |volume=57|pages=1390–1393 |year=1986 |pmid=10033437 |issue=12 |url=http://prl.aps.org/abstract/PRL/v57/i12/p1390_1 |doi=10.1103/PhysRevLett.57.1390|bibcode = 1986PhRvL..57.1390T }}</ref>
 
:<math> \sum_{i=1}^m r_i^s = 1. </math>
 
The contraction coefficient of a similitude is the magnitude of the dilation.
 
We can use this theorem to compute the Hausdorff dimension of the Sierpinski triangle (or sometimes called Sierpinski gasket). Consider three [[non-collinear points]] ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub> in the plane '''R'''<sup>2</sup> and let ψ<sub>''i''</sub> be the dilation of ratio 1/2 around ''a<sub>i</sub>''. The unique non-empty fixed point of the corresponding mapping ψ is a Sierpinski gasket and the dimension ''s'' is the unique solution of
 
:<math> \left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^s =1. </math>
 
Taking [[natural logarithm]]s of both sides of the above equation, we can solve for ''s'', that is: ''s'' = ln(3)/ln(2). The Sierpinski gasket is self-similar and satisfies the OSC. In general a set ''E'' which is a fixed point of a mapping
 
: <math> A \mapsto \psi(A) = \bigcup_{i=1}^m \psi_i(A) </math>
 
is self-similar if and only if the intersections
 
:<math> H^s\left(\psi_i(E) \cap \psi_j(E)\right) =0, </math>
 
where ''s'' is the Hausdorff dimension of ''E'' and ''H<sup>s</sup>'' denotes [[Hausdorff measure]]. This is clear in the case of the Sierpinski gasket (the intersections are just points), but is also true more generally:
 
'''Theorem'''. Under the same conditions as the previous theorem, the unique fixed point of ψ is self-similar.
 
==Existence of Sets with Prescribed Hausdorff Dimension==
By generalizing the construction of the [[Cantor Set]], it is easy to construct subsets of Euclidean spaces with arbitrary Hausdorff dimension (see, for example, [http://classes.yale.edu/fractals/FracAndDim/cantorDims/CantorDims.html this discussion] for dimension 0 < ''r'' < 1, and [http://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2006/vol7-n1/paper9/v7n1-9pd.pdf this paper]<ref>Soltanifar, M.(2006) ''On A Sequence of Cantor Fractals'', Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9.</ref> for a discussion of lifting the construction to higher dimension).  
 
It is also easy to see that if <math> A \subset \mathbb{R}^n</math> has Hausdorff dimension ''r'', then any translation, rotation, or dilation of ''A'' has the same Hausdorff dimension ''r''. So from a single bounded set of dimension ''r'', we immediately generate continuum-many sets of dimension ''r'' by any of these operations (since the only translation or dilation fixing a bounded set ''A'' is the identity).
 
But it is also possible to show, for any given ''r'' ≥ 0, and integer ''n '' ≥ ''r'', that there are ''at least'' continuum-many subsets of <math> A \subset \mathbb{R}^n</math> of Hausdorff dimension ''r'' which ''cannot'' be obtained from one another by translations, rotations, and dilations. For example, this should be true of the above-cited constructions using generalized Cantor sets, although the cited sources do not verify this.
 
==See also==
* [[List of fractals by Hausdorff dimension]] Examples of deterministic fractals, random and natural fractals.
* [[Intrinsic dimension]]
* [[Packing dimension]]
 
==Notes==
{{reflist}}
 
==References==
* {{cite journal |last1=Dodson |first1=M. Maurice |last2=Kristensen |first2=Simon |title=Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation |date=June 12, 2003 |volume=1 |issue=305 |journal=Fractal geometry and applications: a jubilee of Beno\^it  Mandelbrot. Part, --347, Proc. Sympos. Pure Math., 72, Part , Amer.  Math. Soc., Providence, RI, . |arxiv=math/0305399 |bibcode = 2003math......5399D }}
* {{cite book |last1=Hurewicz |first1=Witold |authorlink1=Witold Hurewicz |last2=Wallman |first2=Henry |authorlink2=Henry Wallman |title=Dimension Theory |publisher=Princeton University Press |year=1948 }}
* {{cite journal |author=E. Szpilrajn |authorlink=Edward Marczewski |title=La dimension et la mesure |journal=Fundamenta Mathematica |volume=28 |pages=81–9 |year=1937 }}
* {{cite journal
| last1=Marstrand
| first1=J. M. | title=The dimension of cartesian product sets | year=1954 | journal=Proc. Cambridge Philos. Soc.
| volume=50
| issue=3
| pages=198–202
| doi=10.1017/S0305004100029236|bibcode = 1954PCPS...50..198M }}
* {{Cite book
| last1=Mattila
| first1=Pertti | title=Geometry of sets and measures in Euclidean spaces | publisher=[[Cambridge University Press]]
| isbn=978-0-521-65595-8 | year=1995}}
 
===Historical===
* {{cite journal |author=A. S. Besicovitch |authorlink=A. S. Besicovitch |title=On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=101 |year=1929 | doi=10.1007/BF01454831| issue=1 |pages= 161–193}}
* {{cite journal |author1=A. S. Besicovitch |authorlink1=A. S. Besicovitch |author2=H. D. Ursell |authorlink2=H. D. Ursell |title=Sets of Fractional Dimensions |journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=12 |year=1937 | issue=1 | doi=10.1112/jlms/s1-12.45.18  | pages=18–25 }}<br/>Several selections from this volume are reprinted in {{cite book |author=Edgar, Gerald A. |title=Classics on fractals |publisher=Addison-Wesley |location=Boston |year=1993 |isbn=0-201-58701-7}} See chapters 9,10,11
* {{cite journal |author=F. Hausdorff |authorlink=F. Hausdorff |title=Dimension und äußeres Maß |journal=Mathematische Annalen |volume=79 |issue=1–2 |pages=157–179 |date=March 1919 |doi=10.1007/BF01457179}}
 
==External links==
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hausdorff_dimension Hausdorff dimension] at [http://www.encyclopediaofmath.org/ Encyclopedia of Mathematics]
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hausdorff_measure Hausdorff measure] at [http://www.encyclopediaofmath.org/ Encyclopedia of Mathematics]
 
{{DEFAULTSORT:Hausdorff Dimension}}
[[Category:Fractals]]
[[Category:Metric geometry]]
[[Category:Dimension theory]]

Revision as of 05:23, 1 March 2014

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