Spectrum analyzer: Difference between revisions

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{{Technical|date=October 2011}}
However, there are no such snakes in Lapta today isabel marant. If the causes of blood stagnation is caused by qi stagnation, then by smoothing the qi flow, it will eliminate the blood stagnation.  <a href=http://guccibagreplica.tripod.com/>replica gucci bags outlet</a> Guided educational tours of Big Cat Rescue are available isabel marant isabel marant.  <a href=http://guccibagreplica.tripod.com/>replica gucci bags outlet</a>  Related Articles The Particulars of Paper The decorative artificial flower An Artificial Wedding Flower Mulberry bags have been traced again to the 14th Century The completed piece of mulberry paper is a piece of work all its own and the flowers that can be made with the paper are absolutely gorgeous Mulberry paper is easy to work with and still allows the crafter to create not only paper flowers but any paper craft they choose.
{{Quantum mechanics}}
[[File:Quantum Chaos.jpg|right|thumb|Quantum chaos is the field of physics attempting to bridge the theories of [[quantum mechanics]] and [[classical mechanics]]. The figure shows the main ideas running in each direction.]]
'''Quantum chaos''' is a branch of [[physics]] which studies how [[chaos theory|chaotic]] [[classical mechanics|classical]] [[dynamical systems]] can be described in terms of [[quantum mechanics|quantum theory]]. The primary question that quantum chaos seeks to answer is: "What is the relationship between quantum mechanics and [[classical chaos]]?" The [[correspondence principle]] states that classical mechanics is the [[classical limit]] of quantum mechanics.  If this is true, then there must be quantum mechanisms underlying classical chaos; although this may not be a fruitful way of examining classical chaos.  If [[quantum mechanics]] does not demonstrate an exponential sensitivity to initial conditions, how can exponential sensitivity to initial conditions arise in classical chaos, which must be the [[correspondence principle]] limit of quantum mechanics? <ref name="fn_(104)">''Quantum Signatures of Chaos'', Fritz Haake, Edition: 2, Springer, 2001, ISBN 3-540-67723-2, ISBN 978-3-540-67723-9.</ref><ref name="fn_(105)">[[Michael Berry (physicist)|Michael Berry]], "Quantum Chaology", pp 104-5 of ''Quantum: a guide for the perplexed'' by [[Jim Al-Khalili]] ([[Weidenfeld and Nicolson]] 2003), http://www.physics.bristol.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry358.pdf.</ref>  In seeking to address the basic question of quantum chaos, several approaches have been employed:
# Development of methods for solving quantum problems where the perturbation cannot be considered small in [[perturbation theory (quantum mechanics)|perturbation theory]] and where quantum numbers are large.
# Correlating statistical descriptions of eigenvalues (energy levels) with the classical behavior of the same [[Hamiltonian (quantum mechanics)|Hamiltonian]] (system).
# Semiclassical methods such as periodic-orbit theory connecting the classical trajectories of the [[dynamical system]] with quantum features.
# Direct application of the [[correspondence principle]].


==History==
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[[File:3dbifmap.jpg|300px|left|thumb|Experimental recurrence [[Spectrum (disambiguation)|spectra]]{{disambiguation needed|date=May 2012}} of lithium in an electric field showing birth of quantum recurrences corresponding to [[Bifurcation theory|bifurcations]] of classical orbits.<ref>Closed Orbit Bifurcations in Continuum Stark Spectra, M Courtney, H Jiao, N Spellmeyer, D Kleppner, J Gao, JB Delos, ''[[Phys. Rev. Lett.]]'' 27, 1538 (1995).</ref>]]


During the first half of the twentieth century, chaotic behavior in mechanics was recognized (as in the [[three-body problem]] in [[celestial mechanics]]), but not well-understood. The foundations of modern quantum mechanics were laid in that period, essentially leaving aside the issue of the [[correspondence principle|quantum-classical correspondence]] in systems whose classical limit exhibit chaos.
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==Approaches==
[[File:Eps3kekq.jpg|300px|right|thumb|Comparison of experimental and theoretical recurrence [[Spectrum (disambiguation)|spectra]]{{disambiguation needed|date=May 2012}} of lithium in an electric field at a scaled energy of <math>\epsilon = -3.0</math>.<ref name="courtney95a">Classical, semiclassical, and quantum dynamics of lithium in an electric field, M Courtney, N Spellmeyer, H Jiao, D Kleppner, Phys Rev A 51, 3604 (1995).</ref>]]


Questions related to the [[correspondence principle]] arise in many different branches of physics, ranging from [[nuclear physics|nuclear]] to [[atomic physics|atomic]], [[molecular physics|molecular]] and [[condensed matter physics|solid-state physics]], and even to [[acoustics]], [[microwave]]s and [[optics]]. Important observations often associated with classically chaotic quantum systems are spectral [[level repulsion]], dynamical localization in time evolution (e.g. ionization rates of atoms), and enhanced stationary wave intensities in regions of space where classical dynamics exhibits only unstable trajectories (as in [[scattering]]).
Related Articles:


In the semiclassical approach of quantum chaos, phenomena are identified in [[spectroscopy]] by analyzing the statistical distribution of spectral lines and by connecting spectral periodicities with classical orbits. Other phenomena show up in the [[time evolution]] of a quantum system, or in its response to various types of external forces. In some contexts, such as acoustics or microwaves, wave patterns are directly observable and exhibit irregular [[amplitude]] distributions.
== Abercrombie Zürich Konradstrasse  in der heutigen Telegraph ==


Quantum chaos typically deals with systems whose properties need to be calculated using either numerical techniques or approximation schemes (see e.g. [[Dyson series]]). Simple and exact solutions are precluded by the fact that the system's constituents either influence each other in a complex way, or depend on temporally varying external forces.
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==Quantum mechanics in non-perturbative regimes==
== Timberland Shops Bern bekommen wir aren Hilfe von der Sache ==
[[File:hfspec1.jpg|300px|left|thumb|Computed regular (non-chaotic) [[Rydberg atom]] energy level spectra of hydrogen in an electric field near n=15. Note that energy levels can cross due to underlying symmetries of dynamical motion.<ref name="courtney95a" />]]
[[File:lfspec1.jpg|300px|left|thumb|Computed chaotic [[Rydberg atom]] energy level spectra of lithium in an electric field near n=15.  Note that energy levels cannot cross due to the ionic core (and resulting quantum defect) breaking symmetries of dynamical motion.<ref name="courtney95a" />]]
For conservative systems, the goal of quantum mechanics in non-perturbative regimes is to find
the eigenvalues and eigenvectors of a Hamiltonian of the form


:<math> H = H_{s} + \epsilon H_{ns},</math>
Aber es nicht nur um die materiellen Dinge. Erst mit dem Beginn der Boomjahre nach dem Zweiten Weltkrieg, dass die Dinge begannen schief .. Setzen Sie sich in der prallen Sonne mit einem klaren Glas mit einer Licht aromatisierte Bier und Sie können die skunkiness erkennen, bevor Sie das Ende der Flasche zu erreichen. <br><br>Er hatte zuvor nicht gehört, die Nachrichten über die "Goldrausch" in Belutschistan. Also der iPod nano der 5. Die Nigella: Sind Sie immer der Gastgeber der Dinner-Partys, oder haben Sie einfach nur genießen deine Freunde rund um Ihr neues Zuhause Verbesserungen sehen? Wenn ja, dann [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=10-Timberland-Shops-Bern Timberland Shops Bern] sind Sie [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=174-Air-Force-1-Mid Air Force 1 Mid] der Nigella .. <br><br>Wenn wir nicht sagen uns, was wir wollen, bekommen wir aren Hilfe von der Sache, die uns am besten kennt und hat enorme Macht; . Bei der weiteren Forschung, haben wir gelernt, dass die Magnete könnten leicht entfernt werden, um uns mit der Ausbildung zu helfen. <br><br>Wir verlieren viel von der reichen Weisheit und das Wissen unserer Vorfahren; es ist nur, wie wir so tun, als weiter fortgeschritten als unsere Vorfahren! . Für Beispiel, wenn Sie sich daran erinnern, wenn yahoo eingeführt Sprach-Chat, es war ein Schrei jeden . <br><br>Sie wurden mit einer Explosion und wurden dafür bezahlt ", sagt er .. Ich habe immer noch sehr viele klare Erinnerungen an meinen Dad mir beizubringen, wie zu bedienen, dass AE 1 und mich schaut durch den Sucher fragen, wie erstaunlich es war es, auf der Welt zu / 1,4 konzentrieren.. <br><br>Die informelle Bildung, die geschieht, bevor Sie Ihrem Kind die Schritte eins niedlichen, kleinen Fuß in die Schule ist entscheidend auf die Entwicklung eines gesunden und glücklichen Kind .. Lehrer fühlen sich oft die Notwendigkeit, auf alle in Studentenarbeit vorliegenden Fragen Stellung, während die Schüler überfordert mit der Rückmeldung zu fühlen, nicht zu wissen, wie man die notwendigen Verbesserungen anzugehen.. <br><br>Meine Sorge war Ihr Beitrag von Hilfe brauchen, und Apathie. Er denkt anders: "Der Kern meines Lebens war es, einen Unterschied machen, wenn geboren und in einem hohen [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=66-Ugg-Slippers Ugg Slippers] reichen Familien gebracht, einige sind diese Trends, wie entkommt, die Familien der Mittelklasse Träume zu hoch, um hier angeben sind... <br><br>Sie waren viel klarer als das, was Sie in einer lebenden Person sehen konnte, auch weil wir gescannt ihn so lange. Hier sind die sieben Dinge, die Sie sollten immer in it.With so viel los in den Ferien, ist es wichtig, sich Zeit nehmen, um sich selbst zu bleiben über die Feiertage organisiert geben break.When es kommt, statt realistisch halten Sie sich einige fiktive Standard geht ein langer Weg zu bleiben gesund während December.Quick und stressfreien Urlaub shoppingQuick und stressfreien Urlaub shoppingCan erhalten Sie alle Ihre Weihnachtseinkäufe in einem Tag gemacht? Klar, wenn man ein paar wichtige folgen steps.Can erhalten Sie alle Ihre Weihnachtseinkäufe in einem Tag gemacht? Klar, wenn Sie folgen ein paar wichtige steps.Updating das kleine schwarze Kleid für die holidaysUpdating das kleine Schwarze für die holidaysYou liebe die [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=72-Polo-Ralph-Lauren-Jacke-Herren Polo Ralph Lauren Jacke Herren] LBD, weil es klassisch, Schlankheits-und wird nie aus der Mode, aber das bedeutet nicht, sollten Sie nicht fügen Sie neue Wendung, wenn Sie tragen it.You liebe die LBD, weil es klassisch, Schlankheits-und wird nie aus der Mode, aber das bedeutet nicht, sollten Sie nicht neue Variante hinzufügen, wenn Sie it.Your 4 Tage Vorbereitungsplan für ein Stress tragen kostenlos ThanksgivingYour 4 Tage Vorbereitungsplan für eine stressfreie ThanksgivingTo den Stress aus der Thanksgiving Day senken, die Ihre Mahlzeit planning.To schneiden den Stress aus der Thanksgiving Day, optimieren Sie Ihre Mahlzeit planning.Here sind drei Ferien Lieblings-Lebensmittel, die einen unverdienten schlechten Ruf bekommen .<ul>
 
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</ul>


where <math>H_{s}</math> is separable in some coordinate system, <math>H_{ns}</math> is non-separable in the coordinate system in which <math>H_{s}</math> is separated, and <math>\epsilon</math> is a parameter which cannot be considered small. Physicists have historically approached problems of this nature by trying to find the coordinate system in which the non-separable Hamiltonian is smallest and then treating the non-separable Hamiltonian as a perturbation.
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Finding constants of motion so that this separation can be performed can be a difficult (sometimes impossible) analytical task. Solving the classical problem can give valuable insight into solving the quantum problem. If there are regular classical solutions of
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the same Hamiltonian, then there are (at least) approximate constants of motion, and by solving the classical problem, we gain clues how to find them.
 
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Other approaches have been developed in recent years.  One is to express the Hamiltonian in
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different coordinate systems in different regions of space, minimizing the non-separable part of the Hamiltonian in each region.  Wavefunctions are obtained in these regions, and eigenvalues are obtained by matching boundary conditions.


Another approach is numerical matrix diagonalization. If the Hamiltonian matrix is computed in any complete basis, eigenvalues and eigenvectors are obtained by diagonalizing
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the matrix. However, all complete basis sets are infinite, and we need to truncate the basis and still obtain accurate results. These techniques boil down to choosing a truncated basis from which accurate wavefunctions can be constructed. The computational time required to diagonalize a matrix scales as <math>N^3</math>, where <math>N</math> is the dimension of the matrix, so it is important to choose the smallest basis possible from which the relevant wavefunctions can be constructed. It is also convenient to choose a basis in which the matrix
 
is sparse and/or the matrix elements are given by simple algebraic expressions because computing matrix elements can also be a computational burden.
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</ul>


A given Hamiltonian shares the same constants of motion for both classical and quantum
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dynamics. Quantum systems can also have additional quantum numbers corresponding to discrete symmetries (such as parity conservation from reflection symmetry). However, if we merely find quantum solutions of a Hamiltonian which is not approachable by perturbation theory, we may learn a great deal about quantum solutions, but we have learned little about quantum chaos. Nevertheless, learning how to solve such quantum problems is an important part of answering the question of quantum chaos.


==Correlating statistical descriptions of quantum mechanics with classical behavior==
Dazu gehören Mehr Getreide, Mais, Reis oder Weißbrot, Kleie, Reis und Haferflocken Getreide, Reis Kuchen, Brezeln und ungewürzt Graham Crackers. Was jedoch bekannt ist, dass drei weitere kleine Knötchen wurden entdeckt, die noch nicht behandelt worden sind. <br><br>Diese Teams sind in der Regel ein wenig snarly bekommen, wenn Sie es erwähnen, wenn sie in der Stadt, aber ernsthaft, warum die Mühe? Bewegen Sie sie bereits. Eine schöne Analogie für die Pflege der Glaube ist, wie die Natur arbeitet für das Wachstum einer Blume. <br><br>Ich biete meine Entschuldigung, Sie im Namen der RCMP für die Behandlung, die Sie fühlen Sie sich Nanaimo Detachment erhalten.'. 'Schauen Sie auf die Zutatenliste: Wenn Sie das Wort sehen' gehärtet ', dann das Essen hat Trans-Fettsäuren, und Sie sollten es überspringen.'. <br><br>Es ist normal, Kinder [http://www.baeren-ersigen.ch/butler/include/i_Navigation.asp?c=73-Longchamp-Kaufen-Mannheim Longchamp Kaufen Mannheim] zu haben, wenn sie Zeiträume Sorgen viel, aber wenn die Konstante besorgniserregend bleibt für länger als 6 Monate, dann lohnt es sich, die Hilfe suchen. Er versteht den Fall tief und macht seine Kunden sich ihrer positiven und negativen Aspekten. <br><br>Nord-West-Bataillon, 6. Vielleicht die Beteiligung an einem Fitness-Studio oder den Kauf eines neuen Paar Turnschuhe oder auch zu einem Mitglied der Fit Körper Academy. Was jeder dieser Personen gemeinsam haben: Erstens, entwickelt sich eine 18-jährige plötzlich Atemnot und Kurzatmigkeit beim [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=82-Abercrombie-Fitch-Zürich Abercrombie Fitch Zürich] Besuch seiner Großmutter, die eine Katze passiert. <br><br>Wenn Sie interessiert sind, kontaktieren Sie spenden diese Artikel Cheryl bei 609 994 3317.. Wurde König im Jahr 1154. Bill selbst wurde viel in einem Oxford-Gruppe-Team Ende 1935 und Anfang 1936 beteiligt. Es ist ein Sucker Punch in die Magengrube, die den Wind für Tag klopft aus Ihnen heraus. <br><br>Haben sie daran zu bereuen wollen? Und würden ihre Reue führen die Amerikaner die Wiedererlangung der Krankenversicherung? Das wäre ein großer Sieg sein.. Rufen Sie mich sentimental. Es ist typisch, dass [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=60-Abercrombie-Outlet-Fort-Myers Abercrombie Outlet Fort Myers] bei dem Versuch, zu analysieren und zu beschreiben, die Aspekte des Lebens in unser Herz, unseren Geist hat prognostiziert, dass 'Ort' aus über unseren Köpfen und als etwas von uns getrennt. <br><br>Während ich unterwegs bin und Geschäftskonferenzen Ich lerne oft viele wertvolle Lebens-und Wirtschaftsunterricht von denen, die ich treffen auf dem Weg und die, die ich sehen, sprechen bei diesen Veranstaltungen. Für die nicht teilnehmen, können Spenden durch den Aufruf der Stadt und fragt nach dem Disaster Relief Committee vorgenommen werden, Mr. [http://www.pulpo.biz/alt/css/style.asp?language=33-Tiffany-Armband-München Tiffany Armband München] <br><br>Es verbessert das Wachstum des Kindes und unterstützt die Mutter bei der Aufrechterhaltung einer gesunden Körper vor und während der Geburt auch.. Ich bin jetzt in der Lage, Lebensmittel zu kaufen und Groß laden, bis auf große Werte, wenn ich sie sehe.' Sie legte eine Magnetklemmbrett auf der Außenseite der Tiefkühltruhe und hält Inventar von dem, was geht und aus..<ul>
[[File:Qdfels.jpg|400px|right|thumb|Nearest neighbor distribution for [[Rydberg atom]] energy level spectra in an electric field as quantum defect is increased from 0.04 (a) to 0.32 (h). The system becomes more chaotic as dynamical symmetries are broken by increasing the quantum defect; consequently, the distribution evolves from nearly a Poisson distribution (a) to a [[Wigner distribution]] (h).]]
 
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</ul>


Statistical measures of quantum chaos were born out of a desire to quantify spectral features of complex systems. [[Random matrix]] theory was developed in an attempt to characterize spectra of complex nuclei.  The remarkable result is that the statistical properties of many systems with unknown Hamiltonians can be predicted using random matrices of the proper
== Pandora Schmuck Zürich Conformance Class 1 ==
symmetry class. Furthermore, random matrix theory also correctly predicts statistical properties
of the eigenvalues of many chaotic systems with known Hamiltonians. This makes it useful as a tool for characterizing spectra which require large numerical efforts to compute.


A number of statistical measures are available for quantifying spectral features in a simple way. It is of great interest whether or not there are universal statistical behaviors of classically chaotic systems.  The statistical tests mentioned here are universal, at least to systems with few degrees of freedom (Berry and Tabor <ref>M.V. Berry and M. Tabor, ''[[Proceedings of the Royal Society|Proc. Roy. Soc. London A]]'' 356, 375, 1977</ref> have put forward strong arguments for a Poisson distribution in the case of regular motion and Heusler et al.<ref>Heusler, S., S. Müller, A. Altland, P. Braun, and F. Haake, 2007, ''[[Phys. Rev. Lett.]]'' 98, 044103</ref> present a semiclassical explanation of the so-called Bohigas–Giannoni–Schmit conjecture which asserts universality of spectral fluctuations in chaotic dynamics).  The nearest-neighbor distribution (NND) of energy levels is relatively simple to interpret and it has been widely used to describe quantum chaos.
Soll um Mashboxx LLC, ein neues Unternehmen mit der Absicht der Schaffung eines Rechts Peer-to-Peer-Musikunternehmen erworben werden gebildet, Quellen mit der Angelegenheit said.A Sprecher Mashboxx, die vom ehemaligen Grokster-Präsident Wayne Rosso und anderen Partnern gebildet, vertraut gesunken comment.Michael Seite, ein Anwalt für Grokster, die Software, die weit verbreitet ist, um illegal Musik tauschen über das Internet macht, ging [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=27-Pandora-Schmuck-Zürich Pandora Schmuck Zürich] auch zu comment.Both Grokster und Morpheus, von Streamcast Network Inc. Verteilt, waren auf der Verliererseite der Supreme Court ruling.SHOTGUN Hochzeiten in der MAKINGThe Rosso-Sprecher wollte sich zu den Gesprächen [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=31-Abercrombie-London Abercrombie London] mit Grokster kommentieren, aber sagte, er erwartet, dass der Service Mashboxx in den nächsten [http://www.baeren-ersigen.ch/butler/include/i_Navigation.asp?c=54-Longchamp-Taschen Longchamp Taschen] Monaten starten. <br><br>Wachhunde (Fang, Slasher und Fluffy). Sein Herz war in der Geschichte, und es ist wirklich zeigte. Ich werde Ihnen sagen, dass es mir vor, auf immer es will ich nicht und ich bin nicht dabei, es für meine DD entweder erhalten werden. Meine Tochter und ich hatten beide H1N1 letzte Woche, und obwohl es wirklich saugt Ich denke, ich werde meine Chancen zu nehmen. <br><br>Wenn Sie eine statische Website ausführen, kann es sich lohnen, die Erkundung der Möglichkeit der Zugabe ein Blog, Backlinks auf Ihre Website. Achten Sie darauf, Ihre Seiten enthalten die wichtigsten Stichworte, die Sie abzielen, auch im Titel der Seite (wenn möglich), in der Seitenbeschreibung und die Meta-Keywords. <br><br>April 2004 Sanjay Puri, der Exekutivdirektor des USINPAC, verkündete stolz die Bildung einer parteiübergreifenden Senatsversion des Indien Caucus genannt die "Friends of India". Nach Puri der Senat Caucus wurde auf Geheiß der USINPAC erstellt. Er oben, und Pague wieder wird nach dem rechten Arm zu gehen. Wir sind ständig für neue Artikel für den Newsletter suchen, so würden wir keine Artikel geschrieben haben, können Sie begrüßen zu dürfen. <br><br>Wenn es nicht funktioniert, wenden Sie sich bitte an Ihre Botschaft wieder zu verlassen. Eine gemeinsame Anstrengung zwischen Boeing und dem National Institute of Standards and Technology (NIST) wurde für die Validierung und Bewertung von STEP AP238 (STEP NC) Conformance Class 1 (KK1) für 5 Achsen-Bearbeitung vorgenommen. <br><br>Ein VR China erlebt verfeinert erweiterte Techniken frühestens in der Sowjetunion eingesetzt, um für die Show vorzubereiten gefangen Studien, und es nacheinander erlebt enorm entweder von einer Inquisition gelernt. In einem chinesischen Kontext erlebt [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=104-Polo-Ralph-Lauren-Outlet Polo Ralph Lauren Outlet] diese Techniken mehrere Ziele, die weit über die elementaren Steuer der Fälle in den Gefangenenlagern in Nordkorea ging..<ul>
 
 
Qualitative observations of level repulsions can be quantified and related to the classical dynamics
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using the NND, which is believed to be an important signature of classical dynamics in quantum systems.  It is thought that regular classical dynamics is manifested by a [[Poisson distribution]] of energy levels:
 
:<math>P(s) = e^{-s}.\ </math>
  <li>[http://emr4u.net/index.php?option=com_blog&view=blog http://emr4u.net/index.php?option=com_blog&view=blog]</li>
 
In addition, systems which display chaotic classical motion are expected to be characterized by the statistics of random matrix eigenvalue ensembles. For systems invariant under time reversal, the energy-level statistics of a number of chaotic systems have been shown to be in good agreement with the predictions of the Gaussian orthogonal ensemble (GOE) of random matrices, and it has been suggested that this phenomenon is generic for all chaotic systems with this symmetry. If the normalized spacing between two energy levels is <math>s</math>, the normalized distribution of spacings is well approximated by
  <li>[http://www.imodium.es/node/431830 http://www.imodium.es/node/431830]</li>
:<math>P(s) = \frac{\pi}{2}se^{-\pi s^2/4},</math>
 
which is the [[Wigner distribution]].
  <li>[http://perestrojka.me/glasnost/viewtopic.php?f=3&t=241023 http://perestrojka.me/glasnost/viewtopic.php?f=3&t=241023]</li>
 
 
Many Hamiltonian systems which are classically integrable (non-chaotic) have been found to have quantum solutions that yield nearest neighbor distributions which follow the Poisson distributions. Similarly, many systems which exhibit classical chaos have been found with quantum solutions yielding a [[Wigner distribution]], thus supporting the ideas above.  One notable exception is diamagnetic lithium which, though exhibiting classical chaos, demonstrates Wigner (chaotic) statistics for the even-parity energy levels and nearly Poisson (regular) statistics for the odd-parity energy level distribution.<ref>Courtney, M and Kleppner, D [http://pra.aps.org/abstract/PRA/v53/i1/p178_1], Core-induced chaos in diamagnetic lithium, PRA 53, 178, 1996</ref>
  <li>[http://www.sajahamad.eb2a.com/vb/showthread.php?p=6845#post6845 http://www.sajahamad.eb2a.com/vb/showthread.php?p=6845#post6845]</li>
 
 
==Semiclassical methods==
</ul>
 
===Periodic orbit theory===
[[File:Bhevendk1.jpg|right|thumb|Even parity recurrence spectrum ([[Fourier transform]] of the [[density of states]]) of diamagnetic hydrogen showing peaks corresponding to periodic orbits of the classical system. Spectrum is at a scaled energy of &minus;0.6.  Peaks labeled R and V are repetitions of the closed orbit perpendicular and parallel to the field, respectively. Peaks labeled O correspond to the near circular periodic orbit that goes around the nucleus.]]
[[File:Bhevendk2.jpg|350px|right|thumb|Relative recurrence amplitudes of even and odd recurrences of the near circular orbit. Diamonds and plus signs are for odd and even quarter periods, respectively. Solid line is A/cosh(nX/8). Dashed line is A/sinh(nX/8) where A = 14.75 and X = 1.18.]]
 
Periodic-orbit theory gives a recipe for computing spectra from the periodic orbits of a system.  In contrast to the [[Einstein–Brillouin–Keller method]] of action quantization, which applies only to integrable or near-integrable systems and computes individual eigenvalues from each trajectory, periodic-orbit theory is applicable to both integrable and non-integrable systems and asserts that each periodic orbit produces a sinusoidal fluctuation in the density of states.
 
The principal result of this development is an expression for the density of states which is the trace of the semiclassical Green's function and is given by the Gutzwiller trace formula:
 
: <math>g_c(E) = \sum_k T_k \sum_{n=1}^\infty
\frac{1}{2\sinh{(\chi_{nk}/2)}}\,
e^{i(nS_k - \alpha_{nk} \pi/2)}.</math>
 
The index <math>k</math> distinguishes the primitive [[periodic orbit]]s: the shortest period orbits of a given set of initial conditions. <math>T_k</math> is the period of the primitive periodic orbit and <math>S_k</math> is its classical action. Each primitive orbit retraces itself, leading to a new orbit with action <math>nS_k</math> and a period which is an integral multiple <math>n</math> of the primitive period.  Hence, every repetition of a periodic orbit is another periodic orbit. These repetitions are separately classified by the intermediate sum over the indices <math>n</math>. <math>\alpha_{nk}</math> is the orbit's [[Maslov index]].
The amplitude factor, <math>1/\sinh{(\chi_{nk}/2)}</math>, represents the square root of the density of neighboring orbits. Neighboring trajectories of an unstable periodic orbit diverge exponentially in time from the periodic orbit. The quantity <math>\chi_{nk}</math> characterizes the instability of the orbit. A stable orbit moves on a [[torus]] in phase space, and neighboring trajectories wind around it. For stable orbits, <math>\sinh{(\chi_{nk}/2)}</math> becomes <math>\sin{(\chi_{nk}/2)}</math>, where <math>\chi_{nk}</math> is the winding
number of the periodic orbit.  <math>\chi_{nk} = 2\pi m</math>, where <math>m</math> is the number of times that neighboring orbits intersect the periodic orbit in one period.  This presents a difficulty because <math>\sin{(\chi_{nk}/2)} = 0</math> at a classical [[Bifurcation theory|bifurcation]]. This causes that orbit's contribution to the energy density to diverge. This also occurs in the context of photo-[[absorption spectrum]].
 
Using the trace formula to compute a spectrum requires summing over all of the periodic orbits of a system. This presents several difficulties for chaotic systems: 1) The number of periodic orbits proliferates exponentially as a function of action. 2) There are an infinite number of periodic orbits, and the convergence properties of periodic-orbit theory are unknown.  This difficulty is also present when applying periodic-orbit theory to regular systems. 3) Long-period orbits are difficult to compute because most trajectories are unstable and sensitive to roundoff errors and details of the numerical integration.
 
Gutzwiller applied the trace formula to approach the [[anisotropic]] [[Kepler]] problem (a single particle in a <math>1/r</math> potential with an [[anisotropic]] mass [[tensor]])
semiclassically.  He found agreement with quantum computations for low lying (up to <math>n = 6</math>) states for small anisotropies by using only a small set of easily computed periodic orbits, but the agreement was poor for large anisotropies.
 
The figures above use an inverted approach to testing periodic-orbit theory.  The trace formula asserts that each periodic orbit contributes a sinusoidal term to the spectrum. Rather than dealing with the computational difficulties surrounding long-period orbits to try and find the [[density of states]] (energy levels), one can use standard quantum mechanical [[perturbation theory]] to compute eigenvalues (energy levels) and use the Fourier transform to look for the periodic modulations of the spectrum which are the signature of periodic orbits. Interpreting the spectrum then amounts to finding the orbits which correspond to peaks in the Fourier transform.
 
==== Rough Sketch on how to arrive at the Gutzwiller trace formula====
1. Start with the semiclassical approximation of the time-dependant Green's function ( the Van Vleck propagator).
2. Realize that for caustics the description diverges and use the insight by Maslov ( approximately Fourier transforming to momentum space (stationary phase approximation with h a small parameter) to avoid such points and afterwards transforming back to position space can cure such a divergence, however gives a phase factor).
3. Transform the Greens function to energy space to get the energy dependant Greens function ( again approximate Fourier transform using the stationary phase approximation). New divergences might pop up that need to be cured using the same method as step 3
4. Use <math>d(E)=-\frac{1}{\pi}Im(Tr(G(x,x^\prime,E))</math> (tracing over positions) and calculate it again in stationary phase approximation to get an approximation for the density of states d(E).
Note: Taking the trace tells you that only closed orbits contribute, the stationary phase approximation gives you restrictive conditions each time you make it. In step 4 it restricts you to orbits where initial and final momentum are the same i.e. periodic orbits. Often it is nice to choose a coordinate system parallel to the direction of movement, as it is done in many books.
 
===Closed orbit theory===
[[File:Cotcomp.jpg|right|thumb|Experimental recurrence spectrum (circles) is compared with the results of the closed orbit theory of John Delos and Jing Gao for lithium [[Rydberg atom]]s in an electric field.  The peaks labeled 1–5 are repetitions of the electron orbit parallel to the field going from the nucleus to the classical turning point in the uphill direction.]]
Closed-orbit theory was developed by J.B. Delos, M.L. Du, J. Gao, and J. Shaw. It is similar to
periodic-orbit theory, except that closed-orbit theory is applicable only to atomic and molecular spectra and yields the oscillator strength density (observable photo-absorption spectrum) from a specified initial state whereas periodic-orbit theory yields the density of states.
 
Only orbits that begin and end at the nucleus are important in closed-orbit theory. Physically, these are associated with the outgoing waves that are generated when a tightly bound electron is excited to a high-lying state.  For [[Rydberg atoms]] and molecules, every orbit which is closed at the nucleus is also a periodic orbit whose period is equal to either the closure time or twice the closure time.
 
According to closed-orbit theory, the average oscillator strength density at constant <math>\epsilon</math> is given by a smooth background plus an oscillatory sum of the form
 
: <math>
f(w) = \sum_k \sum_{n=1}^{\infty} D^{i}_{\it nk}
\sin(2\pi nw\tilde{S_k} - \phi_{\it nk}).
</math>
 
<math>\phi_{\it nk}</math> is a phase that depends on the Maslov index and other details of the orbits. <math>{D}^i_{\it nk}</math> is the recurrence amplitude of a closed orbit for a given initial state (labeled <math>i</math>).  It contains information about the stability of the orbit, its initial and final directions, and the matrix element of the dipole operator between the initial state and a zero-energy Coulomb wave. For scaling systems such as [[Rydberg atoms]] in strong fields, the [[Fourier transform]] of an oscillator strength spectrum computed at fixed <math>\epsilon</math> as a function of <math>w</math> is called a recurrence spectrum, because it gives peaks which correspond to the scaled action of closed orbits and whose heights correspond to <math>{D}^i_{\it nk}</math>.
 
Closed-orbit theory has found broad agreement with a number of chaotic systems, including diamagnetic hydrogen, hydrogen in parallel electric and magnetic fields, diamagnetic lithium, lithium in an electric field, the <math>H^{-}</math> ion in crossed and parallel electric and magnetic fields, barium in an electric field, and helium in an electric field.
 
===One dimensional systems and potential===
For the case of one dimensional system with the boundary condition <math> y(0)=0 </math> the density of states obtained from the Gutzwiller formula is related to the inverse of the potential of the classical system by <math> \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} V^{-1}(x)=2 \sqrt \pi \frac{dN(x)}{dx} </math> here <math> d(x) </math> is the density of states and V(x) is the classical potential of the particle, the [[half derivative]] of the inverse of the potential is related to the density of states as in the [[Wu-Sprung potential]]
 
==Recent directions in quantum chaos==
The traditional topics in quantum chaos concerns spectral statistics (universal and non-universal features), and the study of eigenfunctions ([[Quantum ergodicity]], [[Scar (physics)|scar]]s) of various chaotic Hamiltonian <math>H(x,p;R)</math>.
 
Further studies concern the parametric (<math>R</math>) dependence of the Hamiltonian, as reflected in e.g. the statistics of avoided crossings, and the associated mixing as reflected in the (parametric) local density of states (LDOS). There is vast literature on  wavepacket dynamics, including the study of fluctuations, recurrences, quantum irreversibility issues etc. Special place is reserved to the study of the dynamics of quantized maps: The [[Standard map]] and [[The Kicked Rotator]] are considered to be prototype problems.
 
Recent{{when|date=September 2013}} works are also focused in the study of driven chaotic systems,<ref>''Driven chaotic mesoscopic systems,dissipation and decoherence'', in Proceedings of the 38th Karpacz Winter School of Theoretical Physics, Edited by P. Garbaczewski and R. Olkiewicz (Springer, 2002). http://arxiv.org/abs/quant-ph/0403061</ref> where the Hamiltonian  <math>H(x,p;R(t))</math> is time dependent, in particular in the adiabatic and in the linear response regimes.
 
==Berry–Tabor conjecture==
In 1977, Berry and Tabor made a still open "generic" mathematical conjecture, which, stated roughly, is: In the "generic" case for the quantum dynamics of a geodesic flow on a compact Riemann surface, the quantum energy eigenvalues behave like a sequence of independent random variables provided that the underlying classical dynamics is completely [[Integrable system|integrable]].<ref>{{citation |last=Marklof|first=Jens | author-link=Jens Marklof|title=The Berry–Tabor conjecture|url=http://www.maths.bris.ac.uk/~majm/bib/3ecm.pdf}}</ref><ref>{{cite journal |author=Barba, J.C. et al.|title=The Berry–Tabor conjecture for spin chains of Haldane–Shastry type|journal=EPL|year=2008|volume=83|doi=10.1209/0295-5075/83/27005|bibcode = 2008EL.....8327005B |arxiv = 0804.3685 }}</ref><ref>{{cite journal|author=Rudnick, Z.|title=What Is Quantum Chaos?|journal=[[Notices of the AMS]]|volume=55|issue=1|pages= 32–34|date=Jan 2008|url=http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf}}</ref>
 
==Notes==
{{reflist}}
 
==References==
* {{cite journal |author=Martin C. Gutzwiller |title=Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions |journal=[[Journal of Mathematical Physics]] | year=1971 | volume=12 | pages=343 |doi=10.1063/1.1665596 |bibcode = 1971JMP....12..343G |issue=3 }}
* Martin C. Gutzwiller, ''Chaos in Classical and Quantum Mechanics'', (1990) [[Springer-Verlag]], New York ISBN 0-387-97173-4.
* Stöckmann Hans-Jürgen, ''Quantum Chaos: An Introduction'', (1999) [[Cambridge University Press]] ISBN 0-521-59284-4.
* {{cite journal | author=[[Eugene Paul Wigner]] | title=On the statistical distribution of the widths and spacings of nuclear resonance levels | journal=[[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]| year=1951 | volume=47 | pages=790 | doi=10.1017/S0305004100027237 | last2=Dirac | first2=P. A. M. | author2-link=Paul Dirac| issue=4 |bibcode = 1951PCPS...47..790W }}
*Fritz Haake, ''Quantum Signatures of Chaos'' 2nd ed., (2001) Springer-Verlag, New York ISBN=3-540-67723-2.
*[http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme3.py?level=2&index1=142714 Quantum chaos on arxiv.org]
*Karl-Fredrik Berggren and Sven Aberg, "Quantum Chaos Y2K Proceedings of Nobel Symposium 116" (2001) ISBN 978-981-02-4711-9
<!-- * Vol 4, No 2 (2013): [[Progress in Physics]] IV Riemann Zeros, Quantum Chaos, Functional Determinants & Trace Formula Garcia J. http://prespacetime.com/index.php/pst/index (neither title of paper or journal correspond to that given)-->
 
==External links==
* [http://www.sciam.com/article.cfm?id=quantum-chaos-subatomic-worlds Quantum Chaos] by [[Martin Gutzwiller]] (1992, ''Scientific American'')
* [http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf What is... Quantum Chaos] by [[Ze'ev Rudnick]] (January 2008, ''[[Notices of the American Mathematical Society]]'')
* [http://web.williams.edu/go/math/sjmiller/public_html/RH/Hayes_spectrum_riemannium.pdf Brian Hayes, "The Spectrum of Riemannium"; ''American Scientist'' Volume 91, Number 4, July–August, 2003 pp. 296–300]. Discusses relation to the [[Riemann zeta function]].
* [http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:14-ds-1213275874643-50420 Eigenfunctions in chaotic quantum systems] by Arnd Bäcker.
* [http://www.scholarpedia.org/article/Category:Quantum_Chaos Quantum Chaos at Scholarpedia]
* [http://chaosbook.org/ ChaosBook.org]
 
{{Chaos theory}}
 
{{DEFAULTSORT:Quantum Chaos}}
[[Category:Chaos theory]]
[[Category:Quantum mechanics|Chaos]]

Revision as of 14:56, 7 February 2014

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