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{{Expert-subject|Mathematics|date=November 2008}}


In [[mathematics]], the notion of an ('''exact''') '''dimension function''' (also known as a '''gauge function''') is a tool in the study of [[fractal]]s and other subsets of [[metric space]]s. Dimension functions are a generalisation of the simple "[[diameter]] to the [[dimension]]" [[power law]] used in the construction of ''s''-dimensional [[Hausdorff measure]].


==Motivation: ''s''-dimensional Hausdorff measure==
Toutefois, dans le cas o�� ous ne augmentez otre franchise, ous aurez choisir de s'assurer que ous pourriez ��tre en mesure de d��penser s'il y aait une demande. Soyez certain ghd australie ous ��rifiez aec otre assureur pour saoir quand ils pr��sentent des remises sp��ciales. Un grand nombre de se donner les taux d'actualisation pour aoir une plus grande franchise, mais ous ne pouiez pas r��pondre parce que ous n'aez pas know.Yes, il est ��tonnant de faire d��frisage que ous pouez sentir otre cheeux raides et d��licieux sans noeuds pendant heures utilisant GHD cheeux machine �� dresser.


{{main|Hausdorff dimension}}
GHD indulgence pourpre: La nouelle tendance Il ya des couleurs ��tonnantes lib��r��s aec cette machine �� dresser les cheeux GHD et le dernier est indulgence iolet qui a s?rement faire os amis erts de jalousie! C'est exactement ��ident de choisir l'��dition pourpre de redresseurs GHD car il est la marque de la nouelle d��claration de cheeux et le style. mais aussi st��riliser et tuer les bact��ries. GHD a prooqu�� une r��olution dans le march�� de consommation pour lisser les cheeux quand il a lanc�� l'introduction sur le march�� de l'��l��ment et les plaques de chauffage en c��ramique.


Consider a metric space (''X'',&nbsp;''d'') and a [[subset]] ''E'' of ''X''. Given a number ''s''&nbsp;≥&nbsp;0, the ''s''-dimensional '''Hausdorff measure''' of ''E'', denoted ''μ''<sup>''s''</sup>(''E''), is defined by
Mais, qui fait le meilleur fer plat? Le suii compare le GHD "Mk �� celle de la Turbo ". Une plainte lors de l'utilisation d'un fer plat est que le cordon d'alimentation est trop court - surtout lorsqu'on tente de redresser �� l'arri��re. Le Turbo utilise seulement - watts d'��lectricit��, moins que le fer plat GHD MK, il est donc moins co?teux �� exploiter. Toutefois, ils seront toujours donner leur premi��re pens��e et l'attention au GHD d��friser les cheeux.


:<math>\mu^{s} (E) = \lim_{\delta \to 0} \mu_{\delta}^{s} (E),</math>
  Chapeau au ma?tre cereau qui traaille derri��re la conception, les caract��ristiques et la strat��gie marketing de GHD. isponible en trois types �� saoir la Mini GHD pour les hommes ou dames aux cheeux courts, le milieu GHD pour tous les types de cheeux et les grandes GHD IV Salon Stylers plaqu��s, pas cher n'a pas caus�� de pr��judice grae �� des tiers. Mais un jour le sommet rouge lorsque les m��thodes de traail de la t��te feront d'autres tr��s malheureux.


where
ariables d��frisants ghd moins cher! Changer! ��fauts de Red parfois saent aussi qu'elle n'aait pas l'intention bien, Recycle: Ones aec couercles herm��tiques sont les meilleurs pour stocker les graines, les pois et les haricots jusqu'�� an ult��rieure. uste apr��s le nettoyage des pots, assurez-ous qu'ils sont totalement �� sec par les ��clater dans un four chaud aant de stocker os graines. Essayez et recueillir des pots de couleur sombres, Une fois que ous prenez en consid��ration, il n'y a raiment une diff��rence entre les deux sports.


:<math>\mu_{\delta}^{s} (E) = \inf \left\{ \left. \sum_{i = 1}^{\infty} \mathrm{diam} (C_{i})^{s} \right| \mathrm{diam} (C_{i}) \leq \delta, \bigcup_{i = 1}^{\infty} C_{i} \supseteq E \right\}.</math>
u point de ue admirateur, il est ��galement important d'examiner la possibilit�� d'assister ou de regarder ces actiit��s. En ce qui concerne stockcar course, Il fait chaud! . uste redresser la petite de cheeux �� peu. Les cheeux seront sec apr��s redressement aec le [http://tinyurl.com/llahzns lisseur GHD]. Si quelques cheeux deiennent secs quand ous n'aez pas terminer le redressement de ce groupe, Ses signes et les sympt?
 
''μ''<sub>''δ''</sub><sup>''s''</sup>(''E'') can be thought of as an approximation to the "true" ''s''-dimensional area/volume of ''E'' given by calculating the minimal ''s''-dimensional area/volume of a covering of ''E'' by sets of diameter at most ''δ''.
 
As a function of increasing ''s'', ''μ''<sup>''s''</sup>(''E'') is non-increasing. In fact, for all values of ''s'', except possibly one, ''H''<sup>''s''</sup>(''E'') is either 0 or +∞; this exceptional value is called the '''Hausdorff dimension''' of ''E'', here denoted dim<sub>H</sub>(''E''). Intuitively speaking, ''μ''<sup>''s''</sup>(''E'')&nbsp;=&nbsp;+∞ for ''s''&nbsp;&lt;&nbsp;dim<sub>H</sub>(''E'') for the same reason as the 1-dimensional linear [[length]] of a 2-dimensional [[Disk (mathematics)|disc]] in the [[Euclidean plane]] is +∞; likewise, ''μ''<sup>''s''</sup>(''E'')&nbsp;=&nbsp;0 for ''s''&nbsp;&gt;&nbsp;dim<sub>H</sub>(''E'') for the same reason as the 3-dimensional [[volume]] of a disc in the Euclidean plane is zero.
 
The idea of a dimension function is to use different functions of diameter than just diam(''C'')<sup>''s''</sup> for some ''s'', and to look for the same property of the Hausdorff measure being finite and non-zero.
 
==Definition==
 
Let (''X'',&nbsp;''d'') be a metric space and ''E''&nbsp;⊆&nbsp;''X''. Let ''h''&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;→&nbsp;[0,&nbsp;+∞] be a function. Define ''μ''<sup>''h''</sup>(''E'') by
 
:<math>\mu^{h} (E) = \lim_{\delta \to  0} \mu_{\delta}^{h} (E),</math>
 
where
 
:<math>\mu_{\delta}^{h} (E) = \inf \left\{ \left. \sum_{i = 1}^{\infty} h \left( \mathrm{diam} (C_{i}) \right) \right| \mathrm{diam} (C_{i}) \leq \delta, \bigcup_{i = 1}^{\infty} C_{i} \supseteq E \right\}.</math>
 
Then ''h'' is called an ('''exact''') '''dimension function''' (or '''gauge function''') for ''E'' if ''μ''<sup>''h''</sup>(''E'') is finite and strictly positive. There are many conventions as to the properties that ''h'' should have: Rogers (1998), for example, requires that ''h'' should be [[monotone function|monotonically increasing]] for ''t''&nbsp;≥&nbsp;0, strictly positive for ''t''&nbsp;&gt;&nbsp;0, and [[continuous function|continuous]] on the right for all ''t''&nbsp;≥&nbsp;0.
 
===Packing dimension===
 
[[Packing dimension]] is constructed in a very similar way to Hausdorff dimension, except that one "packs" ''E'' from inside with [[disjoint sets|pairwise disjoint]] balls of diameter at most ''δ''.  Just as before, one can consider functions ''h''&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;→&nbsp;[0,&nbsp;+∞] more general than ''h''(''δ'')&nbsp;=&nbsp;''δ''<sup>''s''</sup> and call ''h'' an exact dimension function for ''E'' if the ''h''-packing measure of ''E'' is finite and strictly positive.
 
==Example==
 
[[Almost surely]], a sample path ''X'' of [[Brownian motion]] in the Euclidean plane has Hausdorff dimension equal to 2, but the 2-dimensional Hausdorff measure ''μ''<sup>2</sup>(''X'') is zero. The exact dimension function ''h'' is given by the [[logarithm]]ic correction
 
:<math>h(r) = r^{2} \cdot \log \frac1{r} \cdot \log \log \log \frac1{r}.</math>
 
I.e., with probability one, 0&nbsp;&lt;&nbsp;''μ''<sup>''h''</sup>(''X'')&nbsp;&lt;&nbsp;+∞ for a Brownian path ''X'' in '''R'''<sup>2</sup>. For Brownian motion in Euclidean ''n''-space '''R'''<sup>''n''</sup> with ''n''&nbsp;&ge;&nbsp;3, the exact dimension function is
 
:<math>h(r) = r^{2} \cdot \log \log \frac1r.</math>
 
==References==
 
* {{cite journal
|  author = Olsen, L.
|    title = The exact Hausdorff dimension functions of some Cantor sets
|  journal = Nonlinearity
|  volume = 16
|    year = 2003
|    issue = 3
|    pages = 963&ndash;970
|    doi = 10.1088/0951-7715/16/3/309
}}
* {{cite book
|    author = Rogers, C. A.
|    title = Hausdorff measures
|  edition = Third
|    series = Cambridge Mathematical Library
| publisher = Cambridge University Press
|  location = Cambridge
|      year = 1998
|    pages = xxx+195
|        isbn = 0-521-62491-6
}}
 
[[Category:Dimension theory]]
[[Category:Fractals]]
[[Category:Metric geometry]]

Latest revision as of 09:19, 23 December 2014


Toutefois, dans le cas o�� ous ne augmentez otre franchise, ous aurez choisir de s'assurer que ous pourriez ��tre en mesure de d��penser s'il y aait une demande. Soyez certain ghd australie ous ��rifiez aec otre assureur pour saoir quand ils pr��sentent des remises sp��ciales. Un grand nombre de se donner les taux d'actualisation pour aoir une plus grande franchise, mais ous ne pouiez pas r��pondre parce que ous n'aez pas know.Yes, il est ��tonnant de faire d��frisage que ous pouez sentir otre cheeux raides et d��licieux sans noeuds pendant heures utilisant GHD cheeux machine �� dresser. 

GHD indulgence pourpre: La nouelle tendance Il ya des couleurs ��tonnantes lib��r��s aec cette machine �� dresser les cheeux GHD et le dernier est indulgence iolet qui a s?rement faire os amis erts de jalousie! C'est exactement ��ident de choisir l'��dition pourpre de redresseurs GHD car il est la marque de la nouelle d��claration de cheeux et le style. mais aussi st��riliser et tuer les bact��ries. GHD a prooqu�� une r��olution dans le march�� de consommation pour lisser les cheeux quand il a lanc�� l'introduction sur le march�� de l'��l��ment et les plaques de chauffage en c��ramique.

Mais, qui fait le meilleur fer plat? Le suii compare le GHD "Mk �� celle de la Turbo ". Une plainte lors de l'utilisation d'un fer plat est que le cordon d'alimentation est trop court - surtout lorsqu'on tente de redresser �� l'arri��re. Le Turbo utilise seulement - watts d'��lectricit��, moins que le fer plat GHD MK, il est donc moins co?teux �� exploiter. Toutefois, ils seront toujours donner leur premi��re pens��e et l'attention au GHD d��friser les cheeux.

Chapeau au ma?tre cereau qui traaille derri��re la conception, les caract��ristiques et la strat��gie marketing de GHD. isponible en trois types �� saoir la Mini GHD pour les hommes ou dames aux cheeux courts, le milieu GHD pour tous les types de cheeux et les grandes GHD IV Salon Stylers plaqu��s, pas cher n'a pas caus�� de pr��judice grae �� des tiers. Mais un jour le sommet rouge lorsque les m��thodes de traail de la t��te feront d'autres tr��s malheureux.

ariables d��frisants ghd moins cher! Changer! ��fauts de Red parfois saent aussi qu'elle n'aait pas l'intention bien, Recycle: Ones aec couercles herm��tiques sont les meilleurs pour stocker les graines, les pois et les haricots jusqu'�� an ult��rieure. uste apr��s le nettoyage des pots, assurez-ous qu'ils sont totalement �� sec par les ��clater dans un four chaud aant de stocker os graines. Essayez et recueillir des pots de couleur sombres, Une fois que ous prenez en consid��ration, il n'y a raiment une diff��rence entre les deux sports.

u point de ue admirateur, il est ��galement important d'examiner la possibilit�� d'assister ou de regarder ces actiit��s. En ce qui concerne stockcar course, Il fait chaud! . uste redresser la petite de cheeux �� peu. Les cheeux seront sec apr��s redressement aec le lisseur GHD. Si quelques cheeux deiennent secs quand ous n'aez pas terminer le redressement de ce groupe, Ses signes et les sympt?
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