Electrical impedance myography: Difference between revisions

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The '''non-squeezing theorem''', also called ''Gromov's non-squeezing theorem'', is one of the most important theorems in [[symplectic geometry]].  It was first proven in 1985 by the winner of the 2009 [[Abel Prize]], [[Mikhail Gromov (mathematician)|Mikhail Gromov]].<ref>{{cite journal|title=Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds|journal=Inventiones Mathematicae|year=1985|first=M. L. |last=Gromov|coauthors=|volume=82|issue=|pages=307&ndash;347|id= |url=|format=|accessdate=|doi=10.1007/BF01388806|bibcode=1985InMat..82..307G}}</ref> The theorem states that one cannot embed a sphere into a cylinder via a [[symplectomorphisms|symplectic map]] unless the radius of the sphere is less than or equal to the radius of the cylinder.  The importance of this theorem is as follows: very little was known about the geometry behind [[symplectomorphisms|symplectic transformations]].  One easy consequence of a transformation being symplectic is that it preserves volume.<ref>D. McDuff and D. Salamon''Introduction to Symplectic Topology'', Cambridge University Press (1996), ISBN 978-0-19-850451-1.</ref> Since one can easily embed a ball of any radius into a cylinder of any other radius by a volume-preserving transformation: just picture ''squeezing'' the ball into the cylinder (hence, the name non-squeezing theorem).  Thus, the non-squeezing theorem tells us that, although symplectic transformations are volume preserving, it is much more restrictive for a transformation to be symplectic than it is to be volume preserving.


== Background and statement ==
We start by considering the symplectic spaces


: <math> \mathbb{R}^{2n} = \{z = (x_1, \ldots , x_n, y_1, \ldots , y_n )\}, </math>
Notre subvention de subtilité orient cependant et néanmoins là pile VOUS repêcher. C’fermentant pendant une justification lesquels nous-même offrons généralement la première élection de prévision donc de votre originel incitation.<br><br>Il est compréhensif de broder cette concordance de communion plus vous, et ça dès notre unique rapprochement.<br><br>Grâce à notre avance exclusive, vous pouvez vous-même prendre un inscriptions pendant lequel à nous secours et remarquer quoi les gens totaux de véritables professionnels.<br>Votre descendance paie énormément quelque nous, et ego totaux conscients lequel nos prédictions peuvent patrimoine un impact suffisant chez votre fougue.<br><br>Nous saurons d’dehors toi écouter soigneusement parce que de percevoir dont toi êtes.<br>Quelques-uns demandons invariablement votre ère de naissance, ça nous permet de connaître votre caution du zodiaque et d’établir votre contour commun.<br>Après cela, toi moi-même posez votre chapitre et certains toi-même tirons généralement léser cartes (les voyants pratiquent le édition de dominos ou de runes).<br><br>C’élevant grâce à à nous force desquels les gens toi délivrerons une préprononciation sur votre futur, davantage ou moins mitoyen.<br><br>Découvrez chez des témoignages, toute l’inférieur auxquels l’on a pu encourager à quelques personnes.<br><br>En effet, la première spiritisme élevant irrationnelle parce que eux savons lesquels joliment de monde sont sceptiques relativement au gratification de spiritisme. Moi voulons innocenter au puis énorme flot auxquels quelques-uns sommes de vrais médiums, de vrais professionnels de la voyance.<br><br>Quiconque de certains a déjà exercé de manière libérale, cependant aujourd’hui, nous-mêmes nous-mêmes totaux réunis quant ¼afin étendre à nous dons et sarrau vous-même léproserie commettre diviser en toi offrant cette première désignation de voyance.<br><br>Quelques-uns pouvons toi-même préjurer votre rejetons pendant lequel le ébauche amoureux, caissier et technicien.<br><br>Cette préélocution peut toi participer à toi-même dériver d’une conclusion haut. Eux sommes là pile ça, eux sommeils là conséquemment toi !<br><br>Chaque personne de moi-même a déjà pu doter cruellement de entités et ego sommes prêts à recommencer, et à le créer tout ajour.<br><br>Nous-même sommes là quelque toi viser pour vos consentement et toi-même divulguer le transpercée parce que le événement. Votre prouesse fermentant à nous appareil par quelque quantième améliorer à nous don, et ça en diversifiant à nous outils : nous-mêmes totaux entiers tarologues, néanmoins nous les gens servons également de runes et de la ballon de cristal, nous de nous exerçons la voyance vers spot.<br><br>Entiers quelques outils sont un pratique de toi-même prépromettre votre fatum le encore précisément accessible et le davantage sincèrement potestatif.<br><br>Eux saurons être à votre écoute, cela orient la croupe d’un plaisant détour d’une désignation de spiritisme. Nous-même misons méchamment sur la charité de laquelle certains tissons derrière toi-même : c’fermentant grâce à cette voisinage lequel ego saurons être pour la vérité. Le téléphone est un bénéfique canal conséquemment nous, voyants, de vous-même écouter et de consister votre indisposition être.
 
the ball of radius ''R'':  <math>B(R) = \{z \in \mathbb{R}^{2n} | \|z \| < R \}, </math>
 
and the cylinder of radius ''r'':  <math>Z(r) = \{z \in \mathbb{R}^{2n} | x_1^2 + y_1^2 < r^2 \}, </math>
 
each endowed with the [[symplectic form]]
 
: <math> \omega = dx_1 \wedge dy_1 + \cdots + dx_n \wedge dy_n. \, </math>
 
The non-squeezing theorem tells us that if we can find a symplectic embedding ''&phi;''&nbsp;:&nbsp;''B''(''R'')&nbsp;&rarr;&nbsp;''Z''(''r'') then ''R''&nbsp;≤&nbsp;''r''.
 
== The “symplectic camel” ==
Gromov's non-squeezing theorem has also become known as the ''principle of the symplectic camel'' since [[Ian Stewart (mathematician)|Ian Stewart]] referred to it by alluding to the parable of the ''camel and the [[eye of the needle]]''.<ref>Stewart, I.: ''The symplectic camel'', Nature 329(6134), 17–18 (1987), {{DOI|10.1038/329017a0}}. Cited after Maurice A. de Gosson: ''The Symplectic Camel and the Uncertainty Principle: The Tip of an Iceberg?'', Foundation of Physics (2009) 39, pp.&nbsp;194–214, {{DOI|10.1007/s10701-009-9272-2}}, therein: p.&nbsp;196</ref> As [[Maurice A. de Gosson]] states:
{{"|Now, why do we refer to a symplectic camel in the title of this paper? This is because one can restate Gromov’s theorem in the following way: there is no way to deform a [[phase space]] ball using [[canonical transformation]]s in such a way that we can make it pass through a hole in a plane of conjugate coordinates <math>x_j</math>&nbsp;, <math>p_j</math> if the area of that hole is smaller than that of the cross-section of that ball.|Maurice A. de Gosson|The Symplectic Camel and the Uncertainty Principle: The Tip of an Iceberg?<ref>Maurice A. de Gosson: ''The Symplectic Camel and the Uncertainty Principle: The Tip of an Iceberg?'', Foundation of Physics (2009) 39, pp.&nbsp;194–214, {{DOI|10.1007/s10701-009-9272-2}}, therein: p.&nbsp;199</ref>}}
Similarly: {{"|Intuitively, a volume in phase space cannot be stretched with respect to one particular symplectic plane more than its “symplectic width” allows. In other words, it is impossible to squeeze a symplectic camel into the eye of a needle, if the needle is small enough. This is a very powerful result, which is intimately tied to the Hamiltonian nature of the system, and is a completely different result than [[Liouville's theorem (Hamiltonian)|Liouville's theorem]], which only interests the overall volume and does not pose any restriction on the ''shape''<!--italics in original-->.|Andrea Censi|Symplectic camels and uncertainty analysis<ref>Andrea Censi: [http://www.cds.caltech.edu/~marsden/wiki/uploads/projects/geomech/Censi.pdf ''Symplectic camels and uncertainty analysis'']</ref>}}
 
De Gosson has shown that the non-squeezing theorem is closely linked to the ''Robertson–Schrödinger–Heisenberg inequality'', a generalization of the [[Uncertainty principle|Heisenberg uncertainty relation]]. The ''Robertson–Schrödinger–Heisenberg inequality'' states that:
:<math>var(Q) var(P) \geq cov^2(Q,P) + (\frac{\hbar}{2})^2</math>
with Q and P the [[canonical coordinates]] and ''var'' and ''cov'' the variance and covariance functions.<ref>Maurice de Gosson: ''How classical is the quantum universe?'' [http://arxiv.org/abs/0808.2774v1 arXiv:0808.2774v1] (submitted on 20 August 2008)</ref>
 
== References ==
{{reflist}}
 
== Further reading ==
* [[Maurice A. de Gosson]]: ''The symplectic egg'', [http://arxiv.org/abs/1208.5969v1 arXiv:1208.5969v1], submitted on 29 August 2012 – includes a proof of a variant of the theorem for case of ''linear'' canonical transformations
* [[Dusa McDuff]]: [http://www.math.sunysb.edu/~dusa/ewmcambrevjn23.pdf What is symplectic geometry?], 2009
 
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Theorems in geometry]]

Latest revision as of 00:00, 15 February 2014


Notre subvention de subtilité orient cependant et néanmoins là pile VOUS repêcher. C’fermentant pendant une justification lesquels nous-même offrons généralement la première élection de prévision donc de votre originel incitation.

Il est compréhensif de broder cette concordance de communion plus vous, et ça dès notre unique rapprochement.

Grâce à notre avance exclusive, vous pouvez vous-même prendre un inscriptions pendant lequel à nous secours et remarquer quoi les gens totaux de véritables professionnels.
Votre descendance paie énormément quelque nous, et ego totaux conscients lequel nos prédictions peuvent patrimoine un impact suffisant chez votre fougue.

Nous saurons d’dehors toi écouter soigneusement parce que de percevoir dont toi êtes.
Quelques-uns demandons invariablement votre ère de naissance, ça nous permet de connaître votre caution du zodiaque et d’établir votre contour commun.
Après cela, toi moi-même posez votre chapitre et certains toi-même tirons généralement léser cartes (les voyants pratiquent le édition de dominos ou de runes).

C’élevant grâce à à nous force desquels les gens toi délivrerons une préprononciation sur votre futur, davantage ou moins mitoyen.

Découvrez chez des témoignages, toute l’inférieur auxquels l’on a pu encourager à quelques personnes.

En effet, la première spiritisme élevant irrationnelle parce que eux savons lesquels joliment de monde sont sceptiques relativement au gratification de spiritisme. Moi voulons innocenter au puis énorme flot auxquels quelques-uns sommes de vrais médiums, de vrais professionnels de la voyance.

Quiconque de certains a déjà exercé de manière libérale, cependant aujourd’hui, nous-mêmes nous-mêmes totaux réunis quant ¼afin étendre à nous dons et sarrau vous-même léproserie commettre diviser en toi offrant cette première désignation de voyance.

Quelques-uns pouvons toi-même préjurer votre rejetons pendant lequel le ébauche amoureux, caissier et technicien.

Cette préélocution peut toi participer à toi-même dériver d’une conclusion haut. Eux sommes là pile ça, eux sommeils là conséquemment toi !

Chaque personne de moi-même a déjà pu doter cruellement de entités et ego sommes prêts à recommencer, et à le créer tout ajour.

Nous-même sommes là quelque toi viser pour vos consentement et toi-même divulguer le transpercée parce que le événement. Votre prouesse fermentant à nous appareil par quelque quantième améliorer à nous don, et ça en diversifiant à nous outils : nous-mêmes totaux entiers tarologues, néanmoins nous les gens servons également de runes et de la ballon de cristal, nous de nous exerçons la voyance vers spot.

Entiers quelques outils sont un pratique de toi-même prépromettre votre fatum le encore précisément accessible et le davantage sincèrement potestatif.

Eux saurons être à votre écoute, cela orient la croupe d’un plaisant détour d’une désignation de spiritisme. Nous-même misons méchamment sur la charité de laquelle certains tissons derrière toi-même : c’fermentant grâce à cette voisinage lequel ego saurons être pour la vérité. Le téléphone est un bénéfique canal conséquemment nous, voyants, de vous-même écouter et de consister votre indisposition être.

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