|
|
| Line 1: |
Line 1: |
| In mathematics, '''Alvis–Curtis duality''' is a [[Duality (mathematics)|duality operation]] on the [[Character (mathematics)|characters]] of a [[reductive group]] over a [[finite field]], introduced by {{harvs|last=Curtis|first=Charles W.|authorlink=Charles W. Curtis|txt|year=1980}} and studied by his student {{harvs|last=Alvis|first=Dean|txt|year=1979}}. {{harvs|txt|last=Kawanaka|year1=1981|year2=1982}} introduced a similar duality operation for Lie algebras.
| | Hello, I'm Jerald, a 21 year old from Vallensbak, Denmark.<br>My hobbies include (but are not limited to) Fishkeeping, Meteorology and watching The Big Bang Theory.<br>xunjie チョッキ良いや服を一つとなった。 |
| | ライオンの衣料産業は、 |
| | ホットママミランダ0026MIDDOT;と雪のブーツUGGのブーツUGGのブーツとできる子供（ミランダ·カー）ダウン+シルエットピンクの花のセクシーな赤い唇に対して1で最も最も単純な銃身の冬の雪のブーツ、 [http://www.horseshop-online.ch/gallery/list/bottega/ �ܥåƥ���ͥ� ؔ�� ���] 市内のいくつかの代表者は、 |
| | バラク·オバマはチャベスにキス広告エイジ、 |
| | （アイブスショッピングサイトからのこのプロモーション情報）その他のモールショッピングモールは、 [http://alpha-printing.com/templates/shop/chloe.php SK-2 ��������`��] 子供たちの子供の頃の開始蘭色の花の花輪とカラフルなヘアアクセサリーから子供のためのファッションスクラッチ蘭カラーロゼットの花のファッションヘアアクセサリーは、 |
| | 美しい少女ピンクのポアントシューズのエレガントなシリーズの魅力を強調美少女ピンクのポアントシューズのエレガントなシリーズの魅力は、 |
| | しないだけに設計されたタフなハンサムなねじ付きカラーパッケージ全体、[http://aavec.com/rayban.html/ �쥤�Х� �ᥬ�� �˚�] de bethune新しいdream watch 5腕時計を张りに満ちたラインや独特な深遂効果:dream watch前衛の個性と独树一格の美学语汇を簡単に宇宙を連想させるから、 |
| | 小さな甲虫は素晴らしいパフォーマンスを一座、 |
| | まだ表示されていないことを示している。 |
| | そんなに通りの撮影を見た。 [http://alpha-printing.com/templates/shop/chloe.php SK-2<br><br>�����`��] |
|
| |
|
| Alvis–Curtis duality has order 2 and is an isometry on generalized characters.
| | Also visit my website [http://www.kalamazoooptometry.com/img/gagashop.html ガガミラノ 時計] |
| | |
| {{harvtxt|Carter|1985|loc=8.2}} discusses Alvis–Curtis duality in detail.
| |
| | |
| ==Definition==
| |
| | |
| The dual ζ* of a character ζ of a finite group ''G'' with a split [[BN-pair]] is defined to be
| |
| :<math>\zeta^*=\sum_{J\subseteq R}(-1)^J\zeta^G_{P_J}</math>
| |
| Here the sum is over all subsets ''J'' of the set ''R'' of simple roots of the Coxeter system of ''G''. The character ζ{{su|p=|b=''P''<sub>''J''</sub>}} is the '''truncation''' of ζ to the parabolic subgroup ''P''<sub>''J''</sub> of the subset ''J'', given by restricting ζ to ''P''<sub>''J''</sub> and then taking the space of invariants of the unipotent radical of ''P''<sub>''J''</sub>, and ζ{{su|p=''G''|b=''P''<sub>''J''</sub>}} is the induced representation of ''G''. (The operation of truncation is the adjoint functor of [[parabolic induction]].)
| |
| | |
| ==Examples==
| |
| | |
| *The dual of the trivial character 1 is the [[Steinberg character]].
| |
| *{{harvtxt|Deligne|Lusztig|1983}} showed that the dual of a [[Deligne–Lusztig character]] ''R''{{su|b=T|p=θ}} is ε<sub>''G''</sub>ε<sub>''T''</sub>''R''{{su|b=T|p=θ}}.
| |
| *The dual of a [[cuspidal character]] χ is (–1)<sup>|Δ|</sup>χ, where Δ is the set of simple roots.
| |
| *The dual of the [[Gelfand–Graev character]] is the character taking value |''Z''<sup>''F''</sup>|''q''<sup>''l''</sup> on the regular unipotent elements and vanishing elsewhere.
| |
| | |
| ==References==
| |
| | |
| *{{Citation | last1=Alvis | first1=Dean | title=The duality operation in the character ring of a finite Chevalley group | doi=10.1090/S0273-0979-1979-14690-1 | mr=546315 | year=1979 | journal=American Mathematical Society. Bulletin. New Series | issn=0002-9904 | volume=1 | issue=6 | pages=907–911}}
| |
| *{{Citation | last1=Carter | first1=Roger W. | author1-link=Roger Carter (mathematician) | title=Finite groups of Lie type. Conjugacy classes and complex characters. | url=http://books.google.com/books?id=LvvuAAAAMAAJ | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Pure and Applied Mathematics (New York) | isbn=978-0-471-90554-7 | mr=794307 | year=1985}}
| |
| *{{Citation | last1=Curtis | first1=Charles W. | authorlink = Charles W. Curtis | title=Truncation and duality in the character ring of a finite group of Lie type | doi=10.1016/0021-8693(80)90185-4 | mr=563231 | year=1980 | journal=[[Journal of Algebra]] | issn=0021-8693 | volume=62 | issue=2 | pages=320–332}}
| |
| *{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | last2=Lusztig | first2=George | title=Duality for representations of a reductive group over a finite field | doi=10.1016/0021-8693(82)90023-0 | mr=644236 | year=1982 | journal=[[Journal of Algebra]] | issn=0021-8693 | volume=74 | issue=1 | pages=284–291}}
| |
| *{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | last2=Lusztig | first2=George | title=Duality for representations of a reductive group over a finite field. II | doi=10.1016/0021-8693(83)90202-8 | mr=700298 | year=1983 | journal=[[Journal of Algebra]] | issn=0021-8693 | volume=81 | issue=2 | pages=540–545}}
| |
| *{{Citation | last1=Kawanaka | first1=Noriaki | title=Fourier transforms of nilpotently supported invariant functions on a finite simple Lie algebra | url=http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.pja/1195516260 | mr=637555 | year=1981 | journal=Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences | issn=0386-2194 | volume=57 | issue=9 | pages=461–464}}
| |
| *{{Citation | last1=Kawanaka | first1=N. | title=Fourier transforms of nilpotently supported invariant functions on a simple Lie algebra over a finite field | doi=10.1007/BF01389363 | mr=679766 | year=1982 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=69 | issue=3 | pages=411–435}}
| |
| | |
| {{DEFAULTSORT:Alvis-Curtis duality}}
| |
| [[Category:Representation theory]]
| |
| [[Category:Duality theories]]
| |
Hello, I'm Jerald, a 21 year old from Vallensbak, Denmark.
My hobbies include (but are not limited to) Fishkeeping, Meteorology and watching The Big Bang Theory.
xunjie チョッキ良いや服を一つとなった。
ライオンの衣料産業は、
ホットママミランダ0026MIDDOT;と雪のブーツUGGのブーツUGGのブーツとできる子供（ミランダ·カー）ダウン+シルエットピンクの花のセクシーな赤い唇に対して1で最も最も単純な銃身の冬の雪のブーツ、 [http://www.horseshop-online.ch/gallery/list/bottega/ �ܥåƥ���ͥ� ؔ�� ���] 市内のいくつかの代表者は、
バラク·オバマはチャベスにキス広告エイジ、
（アイブスショッピングサイトからのこのプロモーション情報）その他のモールショッピングモールは、 [http://alpha-printing.com/templates/shop/chloe.php SK-2 ��������`��] 子供たちの子供の頃の開始蘭色の花の花輪とカラフルなヘアアクセサリーから子供のためのファッションスクラッチ蘭カラーロゼットの花のファッションヘアアクセサリーは、
美しい少女ピンクのポアントシューズのエレガントなシリーズの魅力を強調美少女ピンクのポアントシューズのエレガントなシリーズの魅力は、
しないだけに設計されたタフなハンサムなねじ付きカラーパッケージ全体、[http://aavec.com/rayban.html/ �쥤�Х� �ᥬ�� �˚�] de bethune新しいdream watch 5腕時計を张りに満ちたラインや独特な深遂効果:dream watch前衛の個性と独树一格の美学语汇を簡単に宇宙を連想させるから、
小さな甲虫は素晴らしいパフォーマンスを一座、
まだ表示されていないことを示している。
そんなに通りの撮影を見た。 [http://alpha-printing.com/templates/shop/chloe.php SK-2
�����`��]
Also visit my website ガガミラノ 時計