Associator: Difference between revisions

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In [[mathematics]], the '''Laguerre polynomials''', named after [[Edmond Laguerre]] (1834 – 1886),
== Nike Tacon España tenga en cuenta la ortografía ==
are  solutions of '''Laguerre's equation''':
: <math>
x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,
</math>
which is a second-order [[linear differential equation]]. This equation has nonsingular solutions only if ''n'' is a non-negative integer. 


Aunque los recuentos de primas de seguidores en Twitter no siempre son útiles para comparar la influencia en línea (véase este artículo reciente para ver cómo algunas personas ganso sus números de Twitter por la compra de seguidores falsos), está claro que la capacidad de Robson a usar los medios sociales, así la ha ayudado. Y si usted es un joven de 18 años que está teniendo un sueño correr en un torneo importante, que sólo debe relajarse y dejar que tu personalidad muestran through.Here son ejemplos de tweets recientes de Robson que la hacen accesible para todas las nuevas personas siguiéndola. <br><br>El uso de un vehículo para desplazarse elimina parte de la ventaja frente de ese tedio, porque arar a través de grupos de zombies en un jeep o cortar a través de ellos en un barco viejo y desvencijado es mucho más rápido que el cuerpo a cuerpo. Inevitablemente, sin embargo, usted todavía está obligado a participar en combate cuerpo a cuerpo, una vez que llegue a su destino. <br><br>Por último, en busca de cualquier y todos los consejos para el Madrid. Cualquier cosa abierta en agosto y con opciones que no juego / despojos sería ideal! Cinc Sentits (tenga en cuenta la ortografía, ya que es probablemente el restaurante más mal escrito en todo este espectáculo), al igual que muchos de los mejores restaurantes de Barcelona, ​​no es diferente entre el almuerzo y la cena ; misma comida, mismo servicio. <br><br>Se necesita para redactar usted esa pequeña observación para decir gracias al momento de [http://www.tutatis.es/fotos/thumbs/banner.asp Nike Tacon España] nuevo por sus magníficos conceptos que hemos presentado en este momento. Esto es simplemente seriamente generoso con gente como vosotros en la acción sin freno justo lo que un montón de gente habría vendido como un libro electrónico para conseguir algo de dinero por su cuenta, sobre todo teniendo en cuenta que usted puede ser que así lo ha hecho en el caso de que usted quería. <br><br>Cuando nos despertamos el viernes y levantamos [http://www.blauhouse.net/Templates/footer.php Longchamp Le Pliage] el campamento (esto fue otro gran sitio), todos éramos conscientes de la tarea por delante. Nuestro objetivo era volver más allá de todas las caídas y atravesar todos los porteos que habíamos llegado hasta la fecha y terminan en el lado lejano de la plata del Niágara. <br><br>Asistir, vete. Lo mejor de todo, son extraordinarias también sirven pasteis de nata, mi dulce regalo Portugués [http://www.transportesdearte.com/news/client.asp Vibram Five Fingers Outlet] favorito. A causa [http://www.sabiosdeltoreo.com/fckeditor/editor/filemanager/connectors/asp/menu.asp Boligrafos Montblanc] sustancial radica en las condiciones de vida de las personas en las regiones afectadas y las oportunidades para responder con rapidez y ayudar. Los que están preparados y que saben qué hacer durante un evento natural extremo tienen posibilidades de supervivencia más altas..<ul>
 
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</ul>


The '''associated Laguerre polynomials''' (alternatively, but rarely, named '''Sonin polynomials''', after their inventor<ref>Sonine, N. Y.  (1880): "Recherches sur les fonctions cylindriques et le développement des fonctions continues en séries", ''Math Ann.'' '''16''' (1880) 1.</ref>  [[Nikolay Yakovlevich Sonin| N. Y. Sonin]]) are  solutions of
== Polo Lacoste Si tenemos diferentes salvajemente resultados ==
: <math>
x\,y'' + (\alpha+1 - x)\,y' + n\,y = 0~.</math>


The Laguerre polynomials are also used for [[Gaussian quadrature]] to numerically compute integrals of the form
Conecta tu PS Vita a la PS3 mediante un cable USB (la mitad de la AC Kit de carga que viene con el sistema) y lanzar la aplicación Content Manager. Seleccione la opción "Conectar a un sistema PS3" opción, y seleccione "Copiar de PS3 a Vita". Pero me inclino a centrarse en las cosas buenas, por lo arruino las cosas malas. Je. <br><br>El contrato de patrocinio de varios millones de dólares. Su idea. 31 Técnicas de pendiente. Hoy es un buen ejemplo de la ira incontenible frecuentes. Y eran buenos amigos que crecen. Éramos vecinos, y en el [http://www.exycon.com/cp/scripts/achieve.html Polo  Lacoste] verano jugamos Barbies casi todos los días. <br><br>Estos Apartment son por la ladera de una montaña! Los apartamentos se encuentran dispersos a cabo hasta la colina y son muy, muy empinada! Hay mucho aa de escalones para llegar a cada uno de los apartamentos. Estos apartamentos no son adecuados [http://www.blauhouse.net/Templates/footer.php Longchamp España] para las personas con dificultades para caminar o para las personas con niños en cochecitos. <br><br>Tener un niño de 3 años y estoy viajando en avión y me gustaría llevar un asiento de seguridad para él. Utilizo para tener un asiento de seguridad portátiles, pero ahora no tengo ni idea de donde está y lo encontré en línea por la suerte. Además, el cierre y luego re apertura de pestañas por separado es muy tedioso. Si esto sucede, por desgracia, el [http://www.maccsoft.com/themes/dark/content.asp Fred Perry Madrid] enfoque sería desactivar sistemáticamente las fuentes del sistema utilizando Tipográfico hasta que el problema desaparece y, a continuación, retire las fuentes específicas que están contribuyendo al problema. <br><br>Las patatas fritas eran su medio congelado en una bolsa papas fritas, excepto con un condimento diferente. Necesito a alguien que puede implementar un sitio web basado en mis especificaciones. 2. Usted también otorga a Postmedia, el derecho no exclusivo y libre de regalías y licencias (pero no la obligación), a perpetuidad, en todo el mundo, en cualquier y todos los medios conocidos actualmente o desarrollados en un futuro, para usar, reproducir, publicar, exhibir, y distribuir su contenido, o parte de ella, en todas y cada publicación impresa (ya sea periódica o no) de propiedad, operación, control, comunicación pública o distribución, o encargado por Postmedia (cada uno [http://www.teatroateatro.com/Static/Scripts/accordion/base.php Nike Factory Store] un "Publicación con Licencia"). <br><br>Si tenemos diferentes salvajemente resultados, ¿cómo podemos decir que tenemos la igualdad de oportunidades? En verdad piensan en ello, si todos tuvieran la misma oportunidad inicial como todos los demás, ¿cómo se podría explicar los resultados tremendamente desiguales? Si dos trabajadores trabajan igual de duro, pero uno se promovió y otro no que claramente no tenían la misma oportunidad inicial. Además, la persona que consiguió el ascenso ahora tiene más oportunidad y el poder de afectar a las oportunidades de los demás.<ul>
: <math>\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx.</math>
 
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  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/]</li>
 
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  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/]</li>
 
</ul>


These polynomials, usually denoted ''L''<sub>0</sub>,&nbsp;''L''<sub>1</sub>,&nbsp;..., are a [[polynomial sequence]] which may be defined by the [[Rodrigues formula#Rodrigues formula|Rodrigues formula]],
== Nike España conejos y muchos invertebrados ==
:<math>
L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) =\frac{( \frac{d}{dx} -1 ) ^n}{n!} x^n    ,</math>
reducing to the closed form of a following section.


They are [[orthogonal polynomials]] with respect to an [[inner product]]
No hace falta decir que fue la última vez que se utilizó. Tuvimos 2 horas antes de que estaba programado para salir y fue un montón de tiempo para obtener la fe a la transferencia de rack van canoa y reunir todos nuestros chalecos salvavidas, remos, envases, varillas, refrigeradores, etc, y llevarlos al otro lado de la calle . <br><br>Nikolaidis, I. ¿Cuáles son las principales amenazas para los tiburones en aguas canadienses? En Canadá, las prácticas de pesca no sostenibles, en particular, la captura accidental de tiburones en las pesquerías dirigidas a los túnidos, pez espada o los peces de fondo han causado las poblaciones de tiburones a disminuir drásticamente.'', O la captura accidental de especies no objetivo en las pesquerías comerciales, es tal vez el único más importante amenaza para los tiburones en aguas canadienses. <br><br>Muchos tipos de animales comen hierba como su principal fuente de alimento, y se llaman graminivores estos incluyen ganado vacuno, ovejas, caballos, conejos y muchos invertebrados, como los saltamontes y las orugas de muchas mariposas marrones. Las gramíneas también son comidas por los omnívoros o incluso de vez en cuando por los animales principalmente carnívoros. <br><br>B / w frontispicio. Antiguo nombre del propietario, el lugar y fecha [http://www.teatroateatro.com/Static/Scripts/accordion/base.php Nike España] en endpaper libre frontal. Sí, no insistir demasiado en ello ya que a veces las amistades no tienen el propósito de flor (Sabes que no es muy optimista pero es verdad). Incluso si las cosas no salen bien, si nunca se llega a sentarse a tener una conversación con [http://www.exycon.com/cp/scripts/achieve.html Lacoste España] él, que va a estar bien, y usted también lo hará. <br><br>Como he dicho antes, el Sr. Vida no era sólo un profesor. Si el RESTORIL es estable y libre de síntomas de homicidios de relleno .. Vídeo: ¿Necesita su oficina de una sala de la Universidad Simon Fraser, servicios de guardería en el lugar superior, ha sido parte de la filosofía de la institución desde hace décadas. <br><br>A causa de la intromisión pasado y palabras actuales de la Casa Blanca, los iraníes se sienten amenazados. Como que la máxima se va, el diablo está en los detalles y que no podía ser mucho más preciso aquí. Christine también sucumbió a la tentación, permaneciendo por un tiempo para disfrutar [http://www.xaviermor.com/noticias/router.asp Abercrombie Madrid] del sol y el agua. Cuando estos cuatro más tarde llegaron juntos en el campamento aún estaba junto a la puerta, [http://www.nutec.es/fckeditor/editor/filemanager/connectors/aspx/power.asp Nike Shox Rivalry Baratas] comiendo una manzana y apoyada en el respaldo de un banco. <br><br>Estoy actualizando una aplicación ASP clásico, escrito en JScript, para un restaurante de pita local. He creado una nueva versión específica móvil de su sitio de escritorio, lo que permite que el pedido para la entrega y un montón de personalización de la pita final (imaginar un sitio web para metro, lo que permitirá añadir pepinillos, lechuga, etc.) .<ul>
: <math>\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.</math>
 
  <li>[http://authortomfrost.com/wiki/index.php?title=User:Dfsxujfr#Fred_Perry_Espa.C3.B1a_una_chica_de_21_a.C3.B1os_de_edad http://authortomfrost.com/wiki/index.php?title=User:Dfsxujfr#Fred_Perry_Espa.C3.B1a_una_chica_de_21_a.C3.B1os_de_edad]</li>
 
  <li>[http://aadmin.net/forum.php?mod=viewthread&tid=29164 http://aadmin.net/forum.php?mod=viewthread&tid=29164]</li>
 
  <li>[http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2406604 http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2406604]</li>
 
  <li>[http://www.mytl.cn/news/html/?80642.html http://www.mytl.cn/news/html/?80642.html]</li>
 
</ul>


The sequence of Laguerre polynomials {{math|''n''! L<sub>''n''</sub>}} is a [[Sheffer sequence]], {{math|<sup>''d''</sup>&frasl;<sub>''dx''</sub>  L<sub>''n''</sub>  {{=}} (<sup>''d''</sup>&frasl;<sub>''dx''</sub>−1) L<sub>''n''−1</sub>}}.
== Vibram Five Fingers Outlet y en Ohio en 3 ==


The [[Rook polynomial]]s in combinatorics are more or less the same as Laguerre polynomials, up to elementary changes of variables.
Hola, Recientemente hemos intercambiado sitio wordpress basado a un VPS. Se utiliza una gran cantidad de recursos del servidor así que nos cambiamos a una configuración [http://www.transportesdearte.com/news/client.asp Vibram Five Fingers Outlet] de 8 CPU y ahora se está empezando a comer encima de estos recursos como wel. Creo que [http://www.nutec.es/fckeditor/editor/filemanager/connectors/aspx/power.asp Nike Shox Baratas] es hora de que escribo una entrada feliz de combatir que uno realmente angustioso continuación. Ciertamente yo no sienta de esa manera. <br><br>Lo que no es tan obvio es uno de los mayores consejos que Sweeney me dio. Usted no tiene que conseguir la suposición de ser un viajero en bicicleta ... Los efectos parecen ser peores en la parte inferior del cuerpo, ya que el que nuestros cuerpos hacen la mayoría del trabajo a medida que caminamos, correr y permanecer en la Tierra. Un estudio de la NASA mostró huesos [http://www.leucemiaylinfoma.com/Code/Create/pear.php Nike Air Max 1] de la cadera son especialmente mal lugar, con los astronautas de la ISS durante sus misiones. <br><br>Cualquier persona interesada en aprender más puede observar cómo los eventos se ejecutan este año para aprender más. Si está interesado por favor póngase en contacto con nosotros por correo electrónico a: "Los granos enteros" son bajos en grasa son una excelente fuente de fibra dietética, lo cual es beneficioso para la buena salud digestiva.. <br><br>Ver sus monedas por Set,. Versión: 2 es un programa para la gestión de su colección de monedas. (A sharrow es un símbolo de la bicicleta con dos galones [http://www.sabiosdeltoreo.com/fckeditor/editor/filemanager/connectors/asp/menu.asp Boligrafos Montblanc] que recuerda a los automovilistas a compartir el camino con los ciclistas.) Mejoras de cruce de peatones, incluidos los nuevos pasos de peatones señalizados, se instalarán en la avenida 12 W, Cremona Street, y Dravus Street. Lea esto como cerca del puente de Ballard, donde un carril va a Magnolia y uno de los reamins puente. <br><br>El unicornio tenía el cuerpo de un caballo, un cuerno spirling único, y una cola de león. Eran de color blanco puro. 2 servidores MBX en un DAG. El añadir también tiene enlaces a sitios de Abine que explican cómo funciona, por lo que hay una caseta de la luz del día en la forma en que opera. <br><br>Y por cierto, la plata puede no haber sido tan preciso a la hora de predecir los márgenes de victoria en los planos nacional y estatal como lo fue en 2008. Por ejemplo, a partir de esta mañana, que tenía Obama ganador a nivel nacional en 2,5 puntos porcentuales, y en Ohio en 3,6 puntos. <br><br>Desaparecidos los pepinos que obtenemos cuando nos cenar pulg Yo uso el sitio móvil en mi teléfono con bastante frecuencia. Hay un pequeño salto conveniente botón de menú, pero los hermosos vínculos a empezar con Mefi y Ask y Meta y tienen Actividad reciente 12 º, después de cosas como Mis preferencias y el perfil que yo nunca he utilizado en el sitio móvil.<ul>
 
 
The Laguerre polynomials arise in quantum mechanics, in the radial part of the solution
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1/]</li>
of the [[Schrödinger equation]] for a one-electron atom. They also describe the static Wigner functions of oscillator systems in [[Phase_space_formulation#Simple_harmonic_oscillator|quantum mechanics in phase space]]. They further enter in the quantum mechanics of the [[Quantum_harmonic_oscillator#Example:_3D_isotropic_harmonic_oscillator|3D isotropic harmonic oscillator]].
 
 
  <li>[http://torncraft.playat.ch/forum/viewtopic.php?f=3&t=385659 http://torncraft.playat.ch/forum/viewtopic.php?f=3&t=385659]</li>
Physicists sometimes use a definition for the Laguerre polynomials which is larger by a factor of ''n''<nowiki>!</nowiki> than the definition used here. (Likewise, some physicist may use somewhat different definitions of the so-called associated Laguerre polynomials.)
 
 
  <li>[http://sz-jiazhou.com/news/html/?425359.html http://sz-jiazhou.com/news/html/?425359.html]</li>
== The first few polynomials ==
 
 
  <li>[http://woaishouji.com/home.php?mod=space&uid=41974 http://woaishouji.com/home.php?mod=space&uid=41974]</li>
These are the first few Laguerre polynomials:
 
 
</ul>
<center><table class="wikitable">
<tr>
<td width="20%" align="center">''n''</td>
<td align="center"><math>L_n(x)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">0</td>
<td><math>1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">1</td>
<td><math>-x+1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">5</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">6</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,</math>
</tr>
</table>
</center>
 
[[Image:Laguerre poly.svg|thumb|center|400px|The first six Laguerre polynomials.]]
 
== Recursive definition,  closed form, and generating function ==
 
One can also define the Laguerre polynomials recursively, defining the first two polynomials as
 
: <math>L_0(x) = 1\,</math>
: <math>L_1(x) = 1 - x\,</math>
and then using the following [[Orthogonal polynomials#Recurrence relations|recurrence relation]] for any ''k''&nbsp;≥&nbsp;1:
: <math>L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right). </math>
 
The '''closed form''' is
:<math>L_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k!}    x^k .</math>
 
The [[generating function]] for them likewise follows,
:<math>\sum_n^\infty  t^n L_n(x)=  \frac{1}{1-t} ~ e^{\frac{-tx}{1-t}} ~ .</math>
 
== Generalized Laguerre polynomials ==
For arbitrary real α the polynomial solutions of the differential equation <ref>A&S p. 781</ref>
:<math>
x\,y'' + (\alpha +1 - x)\,y' + n\,y = 0</math>
are called '''generalized Laguerre polynomials''', or '''associated Laguerre polynomials'''.
 
 
The simple Laguerre polynomials are included in the associated polynomials, through  ''α'' = 0,
: <math>L^{(0)}_n(x)=L_n(x).</math>
 
 
The [[Rodrigues formula]] for them is
: <math>L_n^{(\alpha)}(x)=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)      =  x^{-\alpha}  ~\frac{( \frac{d}{dx} -1 ) ^n}{n!} ~ x^{n+\alpha}            .</math>
 
 
The [[generating function]] for them is
:<math>\sum_n^\infty  t^n L^{(\alpha)}_n(x)=  \frac{1}{(1-t)^{\alpha+1}} ~ e^{\frac{-tx}{1-t}} ~ .</math>
 
 
=== Explicit examples and properties of the associated Laguerre polynomials ===
 
* Laguerre functions are defined by [[confluent hypergeometric function]]s and Kummer's transformation as<ref>A&S p.509</ref>
:<math> L_n^{(\alpha)}(x) := {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x).</math>
: When ''n'' is an integer the function reduces to a polynomial of degree&nbsp;''n''. It has the alternative expression<ref>A&S p.510</ref>
:: <math>L_n^{(\alpha)}(x)= \frac {(-1)^n}{n!} U(-n,\alpha+1,x)</math>
: in terms of [[confluent hypergeometric function|Kummer's function of the second kind]].
 
* The closed form for these associated Laguerre polynomials of degree ''n'' is<ref>A&S p. 775</ref>
:: <math> L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!} </math>
:derived by applying [[Leibniz rule (generalized product rule)|Leibniz's theorem for differentiation of a product]] to Rodrigues' formula.
 
* The first few generalized Laguerre polynomials are:
:: <math>
\begin{align}
L_0^{(\alpha)} (x) & = 1 \\
L_1^{(\alpha)}(x) & = -x + \alpha +1 \\
L_2^{(\alpha)}(x) & = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2} \\
L_3^{(\alpha)}(x) & = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}
\end{align}
</math>
 
* The [[coefficient]] of the leading term is (&minus;1)<sup>''n''</sup>/''n''<nowiki>!</nowiki>;
* The [[constant term]], which is the value at&nbsp;0, is
:: <math>L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)};</math>
 
* ''L''<sub>''n''</sup><sup>(''α'')</sup> has ''n'' [[real number|real]], strictly positive [[Root of a function|roots]] (notice that <math>\left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n</math> is a [[Sturm chain]]), which are all in the [[Interval (mathematics)|interval]] <math>\left( 0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha} \right].</math>{{citation needed|date=September 2011}}
 
* The polynomials' asymptotic behaviour for large ''n'', but fixed ''&alpha;'' and ''x''&nbsp;>&nbsp;0, is given by<ref>G. Szegő, "Orthogonal polynomials", 4th edition, ''Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI'', 1975, p. 198.</ref><ref>D. Borwein, J. M. Borwein, R. E. Crandall, "Effective Laguerre asymptotics", ''SIAM J. Numer. Anal.'', vol. 46 (2008), no. 6, pp. 3285-3312, http://dx.doi.org/10.1137/07068031X</ref>
:: <math>L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{nx}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right)+O\left(n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{3}{4}}\right),</math>
:: <math>L_n^{(\alpha)}(-x) = \frac{(n+1)^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} e^{2 \sqrt{x(n+1)}} \cdot\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right),</math>
: and summarizing by
:: <math>\frac{L_n^{(\alpha)}\left(\frac x n\right)}{n^\alpha}\approx e^\frac x {2n}\cdot\frac{J_\alpha\left(2\sqrt x\right)}{\sqrt x^\alpha},</math>
:where <math>J_\alpha</math> is the [[Bessel function#Asymptotic forms|Bessel function]].
 
:Moreover{{citation needed|date=September 2011}}
::<math>L_n^{(\alpha-n)}(x)\approx e^x\cdot {\alpha\choose n}</math>,
:whenever ''n'' tends to infinity.
 
=== As a contour integral ===
 
Given the generating function specified above, the polynomials may be expressed in terms of a [[contour integral]]
 
: <math>L_n^{(\alpha)}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\frac{x t}{1-t}}}{(1-t)^{\alpha+1}\,t^{n+1}} \; dt ~,</math>
where the contour circles the origin once in a counterclockwise direction.
 
=== Recurrence relations ===
The addition formula for Laguerre polynomials:<ref>A&S equation (22.12.6), p. 785</ref>
 
: <math>L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y) </math>.
 
Laguerre's polynomials satisfy the recurrence relations
:<math>L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n L_{n-i}^{(\alpha+i)}(y)\frac{(y-x)^i}{i!},</math>
 
in particular
 
: <math>L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)</math>
 
and
 
: <math>L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x),</math>
 
or
 
: <math>L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);</math>
 
moreover
 
: <math>\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)- \sum_{j=0}^{\Delta-1} {n+\alpha \choose n-j} (-1)^j \frac{x^j}{j!}&= (-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(\alpha+\Delta)}(x)\\[6pt]
 
&=(-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha-i-1 \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(n+\alpha+\Delta-i)}(x).\end{align}</math>
 
They can be used to derive the four 3-point-rules
 
: <math>
 
\begin{align}
L_n^{(\alpha)}(x) & = L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) = \sum_{j=0}^k {k \choose j} L_{n-j}^{(\alpha-k+j)}(x), \\[10pt]
n L_n^{(\alpha)}(x) & = (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x), \\[10pt]
& \text{or } \frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x) = \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x), \\[10pt]
n L_n^{(\alpha+1)}(x) & =(n-x) L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) + (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x) \\[10pt]
x L_n^{(\alpha+1)}(x) & = (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x);
\end{align}
</math>
 
combined they give this additional, useful recurrence relations
 
: <math>\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)&= \left(2+\frac{\alpha-1-x}n \right) L_{n-1}^{(\alpha)}(x)- \left(1+\frac{\alpha-1}n \right) L_{n-2}^{(\alpha)}(x)\\[10pt]
 
&= \frac{\alpha+1-x}n  L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)- \frac x n L_{n-2}^{(\alpha+2)}(x). \end{align}</math>
 
A somewhat curious identity, valid for integer ''i'' and&nbsp;''n'', is
 
: <math> \frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x);</math>
 
it may be used to derive the [[partial fraction decomposition]]
 
: <math>\frac{L_n^{(\alpha)}(x)}{{n+ \alpha \choose n}}= 1- \sum_{j=1}^n \frac{x^j}{\alpha + j} \frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}=
 
1- \sum_{j=1}^n (-1)^j \frac{j}{\alpha + j} {n \choose j}L_n^{(-j)}(x)
 
= 1-x \sum_{i=1}^n \frac{L_{n-i}^{(-\alpha)}(x)  L_{i-1}^{(\alpha+1)}(-x)}{\alpha +i}.</math>
 
=== Derivatives of generalized Laguerre polynomials ===
 
Differentiating the power series representation of a generalized Laguerre polynomial ''k'' times leads to
 
: <math>
\frac{d^k}{d x^k} L_n^{(\alpha)} (x)
= (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,.
</math>
 
This points to a special case (&alpha;&nbsp;=&nbsp;0) of the formula above:
for integer &alpha;&nbsp;=&nbsp;''k'' the generalized polynomial may be written
<math>L_n^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{d^kL_{n+k}(x)}{dx^k}\,</math>, the shift by k sometimes causing confusion with the usual parenthesis notation for a
derivative.
 
Moreover, this following equation holds
 
: <math>\frac{1}{k!} \frac{d^k}{d x^k} x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x)
 
= {n+\alpha \choose k} x^{\alpha-k} L_n^{(\alpha-k)}(x),</math>
 
which generalizes with [[Antiderivative#Techniques of integration|Cauchy's formula]] to
 
: <math>L_n^{(\alpha')}(x) = (\alpha'-\alpha) {\alpha'+ n \choose \alpha'-\alpha} \int_0^x \frac{t^\alpha (x-t)^{\alpha'-\alpha-1}}{x^{\alpha'}} L_n^{(\alpha)}(t)\,dt.</math>
 
 
 
The derivative with respect to the second variable &alpha; has the  form, <ref>W. Koepf, "[http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10652469708819127 Identities for families of orthogonal polynomials and special functions.]", ''Integral Transforms and Special Functions 5'', (1997) pp.69-102. (Theorem 10)</ref>
: <math>\frac{d}{d \alpha}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{n-i}.</math>
This is evident from the contour integral representation below.
 
The generalized associated Laguerre polynomials obey the differential equation
 
: <math>
x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0,\,
</math>
which may be compared with the equation obeyed by the ''k''th derivative of the ordinary Laguerre polynomial,
 
: <math>
x L_n^{(k) \prime\prime}(x) + (k+1-x)L_n^{(k)\prime}(x) + (n-k) L_n^{(k)}(x)=0,\,
</math>
 
where <math>L_n^{(k)}(x)\equiv\frac{d^kL_n(x)}{dx^k}</math> for this equation only.
 
 
In [[Sturm–Liouville theory|Sturm–Liouville form]] the differential equation is
 
: <math>-\left(x^{\alpha+1} e^{-x}\cdot L_n^{(\alpha)}(x)^\prime\right)^\prime= n\cdot x^\alpha e^{-x}\cdot L_n^{(\alpha)}(x),</math>
 
which shows that ''L''{{su|b=''n''|p=&alpha;}} is an eigenvector for the eigenvalue ''n''.
 
=== Orthogonality ===
 
The associated Laguerre polynomials are orthogonal over <nowiki>[</nowiki>0,&nbsp;∞<nowiki>)</nowiki> with respect to the measure with weighting function ''x''<sup>''α''</sup>&nbsp;''e''<sup>&nbsp;&minus;''x''</sup>:<ref>A&S p. 774</ref>
 
:<math>\int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} \delta_{n,m},</math>
 
which follows from
 
:<math>\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').</math>
 
If <math>\Gamma(x,\alpha+1,1)</math> denoted the Gamma distribution then the orthogonality relation can be written as
 
:<math>\int_0^{\infty} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\Gamma(x,\alpha+1,1) dx={n+ \alpha \choose n}\delta_{n,m},</math>
 
The associated, symmetric kernel polynomial has the representations ([[Christoffel–Darboux formula]]){{citation needed|date=October 2011}}<!--All of these formulas require citations.-->
 
: <math>\begin{align}
 
K_n^{(\alpha)}(x,y)&{:=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0}^n \frac{L_i^{(\alpha)}(x) L_i^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+i \choose i}}\\
 
&{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(y) - L_{n+1}^{(\alpha)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{\frac{x-y}{n+1} {n+\alpha \choose n}} \\
 
&{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!} \frac{L_{n-i}^{(\alpha+i)}(x) L_{n-i}^{(\alpha+i+1)}(y)}{{\alpha+n \choose n}{n \choose i}};\end{align}</math>
 
recursively
 
: <math>K_n^{(\alpha)}(x,y)=\frac{y}{\alpha+1} K_{n-1}^{(\alpha+1)}(x,y)+ \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha+1)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+n \choose n}}.</math>
 
Moreover,
 
: <math>y^\alpha e^{-y} K_n^{(\alpha)}(\cdot, y) \rightarrow \delta(y- \, \cdot),</math>
 
in the associated ''L''<sup>2</sup><nowiki>[</nowiki>0,&nbsp;∞<nowiki>)</nowiki>-space.
 
[[Turán's inequalities]] can be derived here, which is
 
: <math>L_n^{(\alpha)}(x)^2- L_{n-1}^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(x)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{\alpha+n-1\choose n-k}}{n{n\choose k}} L_k^{(\alpha-1)}(x)^2>0.</math>
 
The following integral is needed in the quantum mechanical treatment of the hydrogen atom,
 
: <math>\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)} (x)\right]^2 dx=
 
\frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).</math>
 
=== Series expansions ===
 
Let a function have the (formal) series expansion
 
: <math>f(x)= \sum_{i=0}^\infty f_i^{(\alpha)} L_i^{(\alpha)}(x).</math>
 
Then
 
: <math>f_i^{(\alpha)}=\int_0^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{i+ \alpha \choose i}} \cdot \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} \cdot f(x) \,dx .</math>
 
The series converges in the associated [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>L^2[0,\infty)</math>]], [[if and only if|iff]]
 
: <math>\| f \|_{L^2}^2 := \int_0^\infty \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} | f(x)|^2 dx = \sum_{i=0}^\infty {i+\alpha \choose i} |f_i^{(\alpha)}|^2 < \infty. </math>
 
==== Further examples of expansions====
[[Monomial]]s are represented as
 
: <math>\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+ \alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x),</math>
 
while [[binomial coefficient|binomials]] have the parametrization
 
: <math>{n+x \choose n}= \sum_{i=0}^n \frac{\alpha^i}{i!} L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha).</math>
 
This leads directly to
 
: <math>e^{-\gamma x}= \sum_{i=0}^\infty \frac{\gamma^i}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} L_i^{(\alpha)}(x) \qquad \left(\text{convergent iff }\operatorname{Re}{(\gamma)} > -\frac{1}{2}\right)</math>
 
for the exponential function. The [[incomplete gamma function]] has the representation
 
: <math>\Gamma(\alpha,x)=x^\alpha e^{-x} \sum_{i=0}^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{1+i} \qquad \left(\Re(\alpha)>-1 , x > 0\right).</math>
 
==Multiplication theorems==
[[Arthur Erdélyi|Erdélyi]] gives the following two [[multiplication theorem]]s <ref>C. Truesdell, "[http://www.pnas.org/cgi/reprint/36/12/752.pdf On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions]", ''Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics'',  (1950) pp.752-757.</ref>
 
* <math>t^{n+1+\alpha} e^{(1-t) z} L_n^{(\alpha)}(z t)=\sum_{k=n} {k \choose n}\left(1-\frac 1 t\right)^{k-n} L_k^{(\alpha)}(z),</math>
* <math>e^{(1-t)z} L_n^{(\alpha)}(z t)=\sum_{k=0} \frac{(1-t)^k z^k}{k!}L_n^{(\alpha+k)}(z).</math>
 
== Relation to Hermite polynomials ==
 
The generalized Laguerre polynomials are related to the [[Hermite polynomial]]s:
 
: <math>H_{2n}(x) = (-1)^n\ 2^{2n}\ n!\ L_n^{(-1/2)} (x^2)</math>
 
and
 
: <math>H_{2n+1}(x) = (-1)^n\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_n^{(1/2)} (x^2)</math>
 
where the ''H''<sub>''n''</sub>(''x'') are the [[Hermite polynomial]]s based on the weighting function exp(&minus;''x''<sup>2</sup>), the so-called "physicist's version."
 
Because of this, the generalized Laguerre polynomials arise in the treatment of the [[quantum harmonic oscillator]].
 
== Relation to hypergeometric functions ==
 
The Laguerre polynomials may be defined in terms of [[hypergeometric function]]s, specifically the [[confluent hypergeometric function]]s, as
 
: <math>L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)</math>
 
where <math>(a)_n</math> is the [[Pochhammer symbol]] (which in this case represents the rising factorial).
 
=== Poisson Kernel ===
 
: <math>
 
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!L_{n}^{(\alpha)}(x)L_{n}^{(\alpha)}(y)r^{n}}{\Gamma\left(1+\alpha+n\right)}=\frac{\exp\left(-\frac{\left(x+y\right)r}{1-r}\right)I_{\alpha}\left(\frac{2\sqrt{xyr}}{1-r}\right)}{\left(xyr\right)^{\frac{\alpha}{2}}\left(1-r\right)},\quad,\alpha>-1,\left|r\right|<1.
 
</math>
 
 
== Notes ==
 
<references/>
 
== References ==
 
* {{Abramowitz_Stegun_ref|22|773}}
* {{dlmf|id=18|title=Orthogonal Polynomials|first=Tom H. |last=Koornwinder|first2=Roderick S. C.|last2= Wong|first3=Roelof |last3=Koekoek||first4=René F. |last4=Swarttouw}}
 
* B. Spain, M.G. Smith, ''Functions of mathematical physics'', Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
*{{springer|title=Laguerre polynomials|id=p/l057310}}
* [[Eric W. Weisstein]], "[http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html Laguerre Polynomial]", From MathWorld&mdash;A Wolfram Web Resource.
* {{cite book | author=[[George Arfken]] and Hans Weber| title= Mathematical Methods for Physicists| publisher=Academic Press| year=2000| isbn = 0-12-059825-6 }}
 
* S. S. Bayin (2006), ''Mathematical Methods in Science and Engineering'', Wiley, Chapter 3.
 
== External links ==
* {{cite web|author=Timothy Jones|url=http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/hydrofin | title=The Legendre and Laguerre Polynomials and the elementary quantum mechanical model of the Hydrogen Atom}}
* {{MathWorld|title=Laguerre polynomial|id=LaguerrePolynomial}}
 
[[Category:Polynomials]]
[[Category:Orthogonal polynomials]]
[[Category:Special hypergeometric functions]]

Revision as of 14:38, 9 February 2014

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