Bipolar junction transistor: Difference between revisions

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{{redirect|Divisible|divisibility of groups|Divisible group}}
== Nike Air Max Preço  É uma cidade linda ==
{{about||the second operand of a division|Division (mathematics)|divisors in algebraic geometry|Divisor (algebraic geometry)|divisibility in the ring theory|Divisibility (ring theory)}}
[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|The divisors of 10 illustrated with [[Cuisenaire rods]]: 1, 2, 5, and 10]]


In [[mathematics]] a '''divisor''' of an [[integer]] <math>n</math>, also called a '''factor''' of <math>n</math>, is an integer that can be multiplied by some other integer to produce <math>n</math>.
5. Pode ser uma sensação de queimação ou talvez ele pode ser afiada. Tivemos também um outro chamado Playhouse do tio Murph. Os homens também são atraídos por deleite de Fendi. Se o tempo permitir, vale a pena a curta distância de carro do aeroporto de Jidá para Taif, que o leva em uma área montanhosa e temperaturas mais baixas. <br><br>CBS SportsLine também viu mais [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=49-Nike-Air-Max-Preço Nike Air Max Preço] de 1 milhão de usuários combinada Faz parte de seu Gerente Bracket 2005, 2005 e 2005 Bracket Desafio RoundByRound Challenge. Algumas pessoas são muito particular sobre como limpar suas roupas são, enquanto outras pessoas simplesmente não entendo que suja. <br><br>Quanto maior é a idade de uma antiguidade maior é o seu valor. Os ursos mostram tipicamente lá em cima por volta de junho de 1215, de modo que você provavelmente está safebut há garantias. Israel. Há muitos destino cativante para visitar neste estado real. <br><br>O homem no balcão de informações foi Tony Conboy. Não esqueça sua roupa de mergulho. Como a maioria das pessoas no planeta [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=49-Oakley-Radar-Replica Oakley Radar Replica] são usuários regulares de um carro, a diversão da viagem de trem é desconhecido para a maioria. O Lincoln Memorial é mais conhecido como o local de protesto político. <br><br>Isso permite que você use este fã em qualquer lugar. 1. Então, "Me" se perder, doesn costuma acontecer, eu acho que um bom navegador. Desenvolvimentos para um número impressionante de fornecedores e visitantes. Uma xícara de arroz tufado é de 70 calorias, um terço xícara de passas é de 130 calorias, e metade de um copo de leite desnatado é de 40 calorias. <br><br>Depois de baixar separadamente Tether diretamente para o meu laptop e Blackberry, percebi que mal interpretado como funcionava. Niven é um dos dois que não é. Linde Werdelin é feita na Suíça. [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=120-Sapatos-Timberland-Kids Sapatos Timberland Kids] Uma característica arquitetônica deve agir como denominação de entrada. <br><br>Professional entrevista de trabalho de coaching pode ajudá-lo a preparar-se para perguntas da entrevista padrão, aumentar a sua confiança e, mais importante praticar suas habilidades de entrevista. "Isso é uma das coisas incomuns sobre o conto de Andersen", diz ela. <br><br>Este programa está disponível para os formandos, então para aqueles indivíduos que querem adiar a entrada no mercado de trabalho por um ano inteiro e começar a explorar, então eles devem considerar a aplicação para este companheirismo ... Para um propósito esclarecimento eu detesto a palavra EBITDA, além do fato de que tem 30 pronúncias, na última década, ele assumiu um toque francês decididamente nasal. <br><br>Plano para ir para a Las Vegas para as suas férias? É uma cidade linda, mas tenha em mente a sua jornada não pode estar completa sem uma visita ao canyon sensacional. Eu estava com a Boeing no que foram disse [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=103-Ugg-Chinelos Ugg Chinelos] que um jato comercial moderno poderia taxiar, decolar, voar para o destino, a terra, em seguida, de táxi à porta, tudo automaticamente, sem intervenção humana qualquer.<ul>
 
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</ul>


==Definition==
== Ugg Botas Comprar  ao longo de dezenas de episódios ==
Two versions of the definition of a divisor are commonplace:


* For integers <math>m</math> and <math>n</math>, it is said that <math>m</math> '''divides''' <math>n</math>, <math>m</math> is a '''divisor''' of <math>n</math>, or <math>n</math> is a '''multiple''' of <math>m</math>, and this is written as
Gina DeJesus, que tem 23 anos, tinha apenas 14 anos. Você pode obtê-los a partir de onde quer que você quer, mas engrenagem TriFactor é muito caro. Não foi tão ruim, mas eu posso ver como ele não iria apelar para as massas. Connolly é um scrapbook [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=99-Ugg-Botas-Comprar Ugg Botas Comprar] verbal de [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=64-Camisas-Hollister Camisas Hollister] jornada espiritual de um professor. <br><br>4. Nesta foto liberada Domingo, 12 de maio de 2013, pela Agência Serious Crime Organizado britânico (SOCA), mostrando fugitivo britânico Andrew Moran nesta foto sem data. A 63, £ 220 estrela joga em um crime espingarda propagação com os alpinistas. A cerca de 4 anos eu finalmente fez uma coisa chorando controlada como eu estava além de durante a noite wakings. <br><br>Sua taxa de suicídio saltou 40% entre 1999 e 2010. Mas lembre-se comprar aqui, não é muito fácil. Instituições etc LTC se beneficiar uma vez em apenas dois anos. Basta reservar os bilhetes para o Sul da Índia praias pacote turístico e estar pronto para explorar os melhores tesouros de praias populares do mar da região sul da Índia. <br><br>Chamarel é geralmente considerado uma maravilha exclusivo nas Maurícias. Foram capazes, ao longo de dezenas de episódios, para encontrar inventivos mas críveis novas rodadas no departamento. Hyundai excel costume Mas não vá para ele com. É a chave para uma fechadura muito específica, na verdade, só existe um bloqueio no mundo que ele vai abrir, diz Langner em uma entrevista. <br><br>(Eu tenho um diploma universitário, dez anos de experiência de trabalho, e uma série de outras credenciais profissionais.) Ele então mostrou-me até a porta, momento em que eu agradeci a ele por seu retorno ao tentar manter a compostura. O que vou [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=13-Abercrombie-&-Fitch-Co Abercrombie & Fitch Co] dizer, porém, ele deixou tal impressão em nós sentimos realmente baixo desde que chegou em casa. <br><br>By the way, eu não estou "espuma na boca" nem sou eu "em fuga". Os trabalhadores do sexo são os primeiros a querer parar de abusos, porque assim muitos de nós começamos dessa forma ", acrescentou. Ele perdeu os Bulls Snapback em Raiders Snapback com o treinador Tom Snapbacks Venda disse serem Snapback Caps. <br><br>Esta facilidade permite que você escolha. Eles vão perguntar primeiro, quer opiniões explicou de novo e de novo pelos membros do novo Ministério é em qualquer grau compatível com a legislação útil. Se o seu vôo é 03:00, azar, mas o site dar-lhe a impressão de que você tem o quarto até o traslado.. <br><br>Talvez seja porque eu vim de idade na década de 1980, mas eu aprecio a forma como esta peça ao mesmo tempo abraça e satiriza o gênero absurdo que nos trouxe "The Final Countdown", "Eye of the Tiger" e muito mais. A distância útil de J30 do M5, Cofton tem um cenário deslumbrante em um [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=12-Óculos-De-Sol-Oakley-Gascan Óculos De Sol Oakley Gascan] pitoresco vale.<ul>
*:<math>m \mid n</math>,
 
:if there exists an integer <math>k</math> such that <math>mk = n</math>.<ref>for instance, {{harvnb|Sims|1984|loc=p. 42}} or {{harvnb|Durbin|1992|loc=p. 61}}</ref> Under this definition, the statement <math>0 \mid 0</math> holds.
  <li>[http://bmgj.swbm.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=30567 http://bmgj.swbm.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=30567]</li>
 
  <li>[http://www.seee.com.cn/bbs/showtopic-1399784.aspx http://www.seee.com.cn/bbs/showtopic-1399784.aspx]</li>
 
  <li>[http://www.tztea.com.cn/news/html/?171891.html http://www.tztea.com.cn/news/html/?171891.html]</li>
 
  <li>[http://primeraventa.com/index.php?page=item&id=147385 http://primeraventa.com/index.php?page=item&id=147385]</li>
 
  <li>[http://www.jmhongzao.com/news/html/?130227.html http://www.jmhongzao.com/news/html/?130227.html]</li>
 
</ul>


* As before, but with the additional constraint <math>m \neq 0</math>.<ref>{{harvnb|Herstein|1986|loc=p. 26}}</ref> Under this definition, the statement <math>0 \mid 0</math> does not hold.
== Nike Air Force Portugal Mary Jane ==


In the remainder of this article, which definition is applied is indicated where this is significant.
Quando a década de 1980 as mulheres percebem que eles precisam de um clássico e ser capaz de transportar saco theDuffle para atender a função envelope das marcas de luxo chanel também conscientes de suas oportunidades. "Victoria também pediu parceiros colaborativos Jonny Lu e Isaac de bloqueio para a sua direção de arte no site . <br><br>Isso está ficando um pouco mais subjetivo, mas eu prefiro muito mais o Zune Marketplace. Em Miami Beach a maior parte do preço é definido pelo muito procurado localização da propriedade. Seu gato deve ser confortável em todas as [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=24-Nike-Air-Force-Portugal Nike Air Force Portugal] situações.. Não se esqueça de instalações de linhas telefônicas ISDN demorar mais do PSTN para isso certifique-se de ter dado tempo suficiente. <br><br>É absolutamente lindo, e eles fornecem as mesas e decoração e dj e todo tipo de material para um ótimo [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=93-Air-Force-Nike Air Force Nike] preço, você só trazer a si mesmo, sua comida, e convidados. Livro Passages do Norte e do Sul, com HOWARD SMITH LTD. Estas páginas são projetadas com SEO em mente, porém: é altamente recomendável que você alterar o título, algumas meta tags, e algum texto na página. <br><br>Sim, este é o cavalo escuro, entrada sentimental nesta lista empresa. Tom gostava de sua família e trabalhar com todos os cinco de seus tios, especialmente Harry e Dick (Mary Jane) Dodson.. Há um outro fixadores Coletivo de Seattle e [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=5-Oculos-De-Sol-Oakley Oculos De Sol Oakley] San Francisco tem uma feira periódica Fixit, bem como uma Clínica Fixit. <br><br>Depois de enviar essas informações, eu pensei que tinha sido invadido e passou dias preocupante. Eu noto que tomou a maior parte do dia para fazê-lo, tho. Então, por exemplo, se uma oferta para uma furadeira elétrica, ou um bom vinho tinto californiano, vibrou através da caixa de correio, você pode verificar se o que você tem na semana passada para quase a mesma coisa era mais caro ou melhor valor e decidir que você gostaria de pedir, se em tudo. <br><br>É subúrbios mais fora de cidade e regional, que tem sido ligeiramente mais problemas porque lá isn tanta demanda e há mais oferta de imóveis. Elena fez Caroline juro em sigilo porque Elena sabe que Stefan não consentirá em seus planos. Posição maravilhosa, mergulho, fogão a gás, banheiras, cada presente conveniência, (945 Primeira inspecionar buys A manipulação das cotações requer um pouco mais de trabalho por você Em primeiro lugar, "Esta entrada é baseado em um segmento em Pergunte h2g2 e contém muitos comentários de outros pesquisadores. <br><br>Por esta razão, os perfumes de imitação são desencorajados porque eles nunca realmente sabe com certeza o que você entrar na pele. Locais do nosso membro especializar em todo o feriado aceitável / positivo do ano. "Então, enquanto os mercados subiram para" altos alltime "para a maioria dos norte-americanos que têm pouco, ou nenhum, interesse investido [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=60-Loja-Ugg Loja Ugg] nos mercados financeiros a sua visão é muito diferente.<ul>
 
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  <li>[http://www.ishangqingqu.com/forum/forum.php?mod=viewthread&tid=2227454 http://www.ishangqingqu.com/forum/forum.php?mod=viewthread&tid=2227454]</li>
 
  <li>[http://www.tuxeros.ch/ http://www.tuxeros.ch/]</li>
 
  <li>[http://www.teatermaskinen.com/forum/read.php?4,41553 http://www.teatermaskinen.com/forum/read.php?4,41553]</li>
 
  <li>[http://hindichurch.com/index.php?option=com_kunena&view=topic&catid=2&id=173930&Itemid=326#174632 http://hindichurch.com/index.php?option=com_kunena&view=topic&catid=2&id=173930&Itemid=326#174632]</li>
 
</ul>


==General==
== Sapatilhas Nike Olx  mas eu tinha uns 10 passos atrás dele ==
Divisors can be [[negative number|negative]] as well as positive, although sometimes the term is restricted to positive divisors. For example, there are six divisors of 4; they are 1, 2, 4, −1, −2, and −4, but only the positive ones (1, 2, and 4) would usually be mentioned.


1 and −1 divide (are divisors of) every integer. Every integer (and its negation) is a divisor of itself.<ref>This statement either requires 0|0 or needs to be restricted to nonzero integers.</ref> Every integer is a divisor of 0.<ref>This statement either requires 0|0 or needs to be restricted to nonzero integers.</ref> Integers divisible by 2 are called [[even and odd numbers|even]], and numbers not divisible by 2 are called [[even and odd numbers|odd]].
Eles foram fundamentais na organização de primeiro time profissional de beisebol do St. O governo sugere fortemente que o processo de avaliação é muito intrusiva e prolixo, dissuadindo muitos seriam os candidatos. Você precisa marcar 20 dos 20 para passar essa seção. <br><br>Parecem nunca morrer. Muitos provavelmente já ouviu sua citação do documentário, sobre como, durante o processo, ele estava sempre atrás de Flood ', mas eu tinha uns 10 passos atrás dele, no caso de haver alguma precipitação.' Por outro lado, ele e outros, admitem que, devido à enormidade do Dilúvio risco levou, eles realmente não se arrepender de não apoiá-lo publicamente até hoje.. <br><br>A margem foi de nove com 4:56 deixado no terceiro [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=146-Sapatilhas-Nike-Olx Sapatilhas Nike Olx] depois de uma pontuação dentro de Valanciunas, que tinha 10 no trimestre. É cerca de 5 horas de carro de Cincy para Morgantown. Por exemplo, a ciprofloxacina e ofloxacina antibióticos.. Samsung Semiconductor, designers e fabricantes de sua família Exynos ARM de silicone, anunciado que o próximo telefone Galaxy incluiria seu Exynos 4 Quad, anteriormente conhecido como o Exynos 4412. <br><br>Esses dutos se unem como os ramos de uma árvore para formar o ducto pancreático principal. Algumas pessoas também se queixam sobre o sentimento letárgico depois de ter almoço e sobremesas. Depois de muita discussão, distribuímos 6 milhões a 37 projetos criativos em todo o comprimento e largura da Grã-Bretanha.. <br><br>John apresenta [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=61-Lacoste-Polos-Paises Lacoste Polos Paises] um programa de rádio semanal na rádio Hay House. Mas quando se trata de varejo, você vai ter que lidar com todas as tarefas que deitou na frente de você. Conjectura de Poincaré é um dos sete mais difícil quebra-cabeça matemático que tem mais de 100 anos de idade. <br><br>Em primeiro lugar, o Governo tem a de ficar claro que apenas a sua figura maior de um corte de 50% nas emissões da UE até 2030, em comparação aos níveis de 1990 poderia começar a ser descrito como uma contribuição credível da UE para prevenir níveis perigosos da mudança climática. <br><br>Também pode haver uma sensação de algo rastejando na sua vagina.. Heck, Calgary Transit pode pintar todo o sistema com as cores dos Edmonton Oilers, e os passageiros ainda não iria dar a mínima, desde que o comboio C é reliable.Three semanas após [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=37-Comprar-Ray-Ban-Wayfarer Comprar Ray Ban Wayfarer] Calgary Transit patrão Fred Wong prometeu melhorar um [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=252-Ralph-Lauren-Portugal-Lisboa Ralph Lauren Portugal Lisboa] sistema LRT atormentado por atrasos , os passageiros ainda enfrentam perto serviço diário stoppages.heard alto e claro de nossos clientes que nós temos que ser melhor e acho que podemos ser melhor, prometeu Wong, após uma série de trens parados passageiros cursing.That era 19 de setembro para a esquerda.<ul>
 
  <li>[http://www.moeproject.org/forum.php?mod=viewthread&tid=915852 http://www.moeproject.org/forum.php?mod=viewthread&tid=915852]</li>
 
  <li>[http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13 http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13]</li>
 
  <li>[http://hitester.com/forum.php?mod=viewthread&tid=167617&fromuid=40262 http://hitester.com/forum.php?mod=viewthread&tid=167617&fromuid=40262]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17550058 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17550058]</li>
 
  <li>[http://www.meimingmall.com/news/html/?71808.html http://www.meimingmall.com/news/html/?71808.html]</li>
 
</ul>


1, −1, ''n'' and −''n'' are known as the '''trivial divisors''' of ''n''. A divisor of ''n'' that is not a trivial divisor is known as a '''non-trivial divisor'''. A non-zero integer with at least one non-trivial divisor is known as a [[composite number]], while the [[Unit (ring theory)|units]] −1 and 1 and [[prime number]]s have no non-trivial divisors.
== Ray Ban Aviator Sizes  o especialista em varejo Burt P. ==


There are [[divisibility rule]]s which allow one to recognize certain divisors of a number from the number's digits.
Quanto menor Ulrepforte e seções restauradas das muralhas da cidade encontram-se ao longo da avenida circular Sachsenring. Alexa é a terceira festa para exibir o site tráfego alvejado. Ele também vai fazer você parecer ser "invisível", como você transferir de qualquer computação para a internet, mesmo com limitada acessibilidade líquido. <br><br>De todas iPhone carregar acessórios, caso acabar sendo [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=117-Ray-Ban-Aviator-Sizes Ray Ban Aviator Sizes] o melhor juntamente com a mais crucial para levar direto para a conta porque muitos permitem proteger totalmente um smartphone indivíduo de choques e espancamento desagradável. Nariz Huggie esquema A maioria dos sites que eu pesquisei irá articular que o médico em Nariz Huggie é um ator, que é, na verdade, cem por cento correta como me deparei com as páginas da web e deparei com os links na página ator e navegados que ele era, na realidade, um ator. <br><br>Cada propagação página é como um cartaz esclarecendo coisas como o que exatamente um suporte leftangle é ou exatamente como os formulários funcionam. Se Amidon não só canta, mas também toca banjo, violino, violão, piano e no álbum. Tudo depende do diretório do artigo que você está considerando enviar também, alguns dos quais irão proporcionar mais vistas do que outros, dependendo de como ele é popular.. <br><br>Na época estávamos sob pressão considerável de nossos fornecedores a aceitar carvalho de muito . Najnowsze Informacje, zdjcia vídeo natomiast spord miasta natomiast bez liku wicej. Todos nós tivemos um monte de site, provavelmente mais do que nós contribuímos. <br><br>Os indivíduos que têm uma conta no Facebook agora estão usando mais do seu tempo para socializar com Networking é muito mais do que Socializar Casual networking vista networkers como uma forma de socialização, sem foco e sem objetivos. Richard besser. <br><br>Dinâmica eficaz para gravar vídeo em distâncias focais de grande angular, eliminando a agitação indesejada que normalmente ocorre durante a caminhada. Lola Foxx, sexy lady Ms. Em uma terça-feira à [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=36-Oculos-Ray-Ban Oculos Ray Ban] noite, pouco antes da hora do jantar, o especialista em varejo Burt P. <br><br>Como exemplo, aqui como você deve estruturar seus artigos da [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=169-Camisa-Polo-Lacoste-Paises Camisa Polo Lacoste Paises] melhor maneira possível:. Com a velocidade de comunicação ea forma como as notícias podem se espalhar de forma viral, o número de consultas [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=164-Nike-Cortez-Basic Nike Cortez Basic] cresceu significativamente. Então meus pensamentos seria para a menina para ser direto e dizer "o que diabos" dizer o cara que você feelhe só pode ter os mesmos sentimentos que ela tem por ele. <br><br>A única mudança foi a sua localização. Hernandez apelou ea decisão foi revista. Além disso, a venda dá-lhe uma chance de começar um novo projeto. A maioria destes contêm um fio de cabelo, e todas elas contêm pequenas glândulas que produzem um tipo de óleo conhecida como sebo.<ul>
 
 
The [[Generalization (logic)|generalization]] can be said to be the concept of ''divisibility'' in any [[integral domain]].
  <li>[http://www.xingjia100.com/forum.php?mod=viewthread&tid=206476&extra= http://www.xingjia100.com/forum.php?mod=viewthread&tid=206476&extra=]</li>
 
 
==Examples==
  <li>[http://www.nnkou.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=135903 http://www.nnkou.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=135903]</li>
*7 is a divisor of 42 because <math>7 \times 6 = 42</math>, so we can say <math>7 \mid 42</math>. It can also be said that 42 is '''divisible''' by 7, 42 is a [[multiple (mathematics)|multiple]] of 7, 7 '''divides''' 42, or 7 is a '''factor''' of 42.
 
*The non-trivial divisors of 6 are 2, &minus;2, 3, &minus;3.
  <li>[http://l.site40.net/viewthread.php?tid=36480&extra= http://l.site40.net/viewthread.php?tid=36480&extra=]</li>
*The positive divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
    
*<math>5 \mid 0</math>, because <math>5 \times 0 = 0</math>.
  <li>[http://www.xjvns.cn/news/html/?72997.html http://www.xjvns.cn/news/html/?72997.html]</li>
*The [[Set (mathematics)|set]] of all positive divisors of 60, <math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>, [[Partially ordered set|partially ordered]] by divisibility, has the [[Hasse diagram]]:
 
 
  <li>[http://bbs.kanwaiguo.com/home.php?mod=space&uid=16106 http://bbs.kanwaiguo.com/home.php?mod=space&uid=16106]</li>
[[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg|center|350px]]
 
 
</ul>
==Further notions and facts==
There are some elementary rules:
* If <math>a \mid b</math> and <math>b \mid c</math>, then <math>a \mid c</math>. This is the [[transitive relation]].
* If <math>a \mid b</math> and <math>b \mid a</math>, then <math>a = b</math> or <math>a = -b</math>.
* If <math>a \mid b</math> and <math>a \mid c</math>, then <math> a \mid (b + c)</math> holds, as does <math> a \mid (b - c)</math>.<ref><math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)</math>. Similarly, <math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)</math></ref> However, if <math>a \mid b</math> and <math>c \mid b</math>, then <math>(a + c) \mid b</math> does ''not'' always hold (e.g. <math>2\mid6</math> and <math>3 \mid 6</math> but 5 does not divide 6).
 
 
If <math>a \mid bc</math>, and [[greatest common divisor|gcd]]<math>(a, b) = 1</math>, then <math>a \mid c</math>. This is called [[Euclid's lemma]].
 
If <math>p</math> is a prime number and <math>p \mid ab</math> then <math>p \mid a</math> or <math>p \mid b</math>.
 
A positive divisor of <math>n</math> which is different from <math>n</math> is called a '''proper divisor''' or an '''aliquot part''' of <math>n</math>. A number that does not evenly divide <math>n</math> but leaves a remainder is called an '''aliquant part''' of <math>n</math>.
 
An integer <math>n > 1</math> whose only proper divisor is 1 is called a [[prime number]]. Equivalently, a prime number is a positive integer which has exactly two positive factors: 1 and itself.
 
Any positive divisor of <math>n</math> is a product of [[prime factor|prime divisor]]s of <math>n</math> raised to some power. This is a consequence of the [[fundamental theorem of arithmetic]].
 
A number <math>n</math> is said to be [[perfect number|perfect]] if it equals the sum of its proper divisors, [[deficient number|deficient]] if the sum of its proper divisors is less than <math>n</math>, and [[abundant number|abundant]] if this sum exceeds <math>n</math>.
 
The total number of positive divisors of <math>n</math> is a [[multiplicative function]] <math>d(n)</math>, meaning that when two numbers <math>m</math> and <math>n</math> are [[relatively prime]], then <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. For instance, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; the eight divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 and 42.  However the number of positive divisors is not a totally multiplicative function: if the two numbers <math>m</math> and <math>n</math> share a common divisor, then it might not be true that <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. The sum of the positive divisors of <math>n</math> is another multiplicative function <math>\sigma (n)</math> (e.g. <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). Both of these functions are examples of [[divisor function]]s.
 
{{anchor|number_of_divisors_formula}}
If the [[prime factorization]] of <math>n</math> is given by
 
:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math>
 
then the number of positive divisors of <math>n</math> is
 
:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), </math>
and each of the divisors has the form
 
:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>
 
where <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> for each <math>1 \le i \le k.</math>
 
For every natural <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
 
Also,<ref>
{{cite book
  | last = Hardy
  | first = G. H.  
  | authorlink = G. H. Hardy
  | coauthors = E. M. Wright
  | title = An Introduction to the Theory of Numbers
  | publisher = Oxford University Press
   | date = April 17, 1980
  | location =
  | page = 264
  | url = http://archive.org/stream/AnIntroductionToTheTheoryOfNumbers-4thEd-G.h.HardyE.m.Wright#page/n279/mode/2up
  | doi =
  | id = 
  | isbn = 0-19-853171-0}}
</ref>
:<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>
where <math> \gamma </math> is [[Euler–Mascheroni constant]].
One interpretation of this result is that a randomly chosen positive integer ''n'' has an expected
number of divisors of about <math>\ln n</math>.
 
==In abstract algebra==
Given the definition for which <math>0 \mid 0</math> holds, the relation of divisibility turns the set <math>\mathbb{N}</math> of [[non-negative]] integers into a [[partially ordered set]]: a [[lattice (order)|complete distributive lattice]]. The largest element of this lattice is 0 and the smallest is 1. The meet operation '''∧''' is given by the [[greatest common divisor]] and the join operation '''∨''' by the [[least common multiple]]. This lattice is isomorphic to the [[duality (order theory)|dual]] of the [[lattice of subgroups]] of the infinite [[cyclic group]] [[integer|<math>\mathbb{Z}</math>]].
 
==See also==
* [[Arithmetic functions]]
* [[Divisibility rule]]
* [[Divisor function]]
* [[Euclid's algorithm]]
* [[Fraction (mathematics)]]
* [[Table of divisors]] &mdash; A table of prime and non-prime divisors for 1–1000
* [[Table of prime factors]] &mdash; A table of prime factors for 1–1000
 
==Notes==
{{reflist}}
 
== References ==
* {{cite book|last=Durbin|first=John R.|title=Modern Algebra : an Introduction|year=1992|publisher=Wiley|location=New York|isbn=0-471-51001-7|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html|edition=3rd}}
* [[Richard K. Guy]], ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), [[Springer Verlag]], 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
* {{citation|first=I.N.| last=Herstein|title=Abstract Algebra|year=1986|publisher=Macmillan Publishing Company|place=New York|isbn=0-02-353820-1}}
* [[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
* {{citation|first=Charles C.|last=Sims|title=Abstract Algebra: A Computational Approach|year=1984|publisher=John Wiley & Sons|place=New York|isbn=0-471-09846-9}}
 
{{Divisor classes}}
 
[[Category:Elementary number theory]]
[[Category:Division]]

Revision as of 11:39, 3 March 2014

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