Discrete Fourier transform: Difference between revisions

From formulasearchengine
Jump to navigation Jump to search
← Older edit
en>Welsh
m Link repair: Inverse Discrete Fourier Transform -> Inverse discrete Fourier transform - You can help!
en>John of Reading
m Typo/general fixing, replaced: vice-versa → vice versa using AWB
 
(One intermediate revision by one other user not shown)
Line 1: Line 1:
{{Fourier transforms}}
== Louboutin Belgium Store  ze moest gaan en te bewijzen. ==


[[File:From Continuous To Discrete Fourier Transform.gif|thumb|400px|Relationship between the (continuous) [[Fourier transform]] and the discrete Fourier transform. <u>Left column:</u> A continuous function (top) and its Fourier transform (bottom). <u>Center-left column:</u> [[Periodic summation]] of the original function (top). Fourier transform (bottom) is zero except at discrete points. The inverse transform is a sum of sinusoids called [[Fourier series]]. <u>Center-right column:</u> Original function is discretized (multiplied by a [[Dirac comb]]) (top). Its Fourier transform (bottom) is a periodic summation ([[Discrete-time Fourier transform|DTFT]]) of the original transform. <u>Right column:</u> The DFT (bottom) computes discrete samples of the continuous DTFT. The inverse DFT (top) is a periodic summation of the original samples. The [[Fast Fourier transform|FFT]] algorithm computes one cycle of the DFT and its inverse is one cycle of the DFT inverse.]]
Of SERPS. Een content geschreven met een aantal unieke kan SEO ranking zeker krijgen om een ​​betere positie in de resultaten. Typisch, de Lyrid meteorenregen is een relatief zwakke sterren kijken evenement, hoewel waarnemers met heldere donkere hemel weg van stadslichten meestal kan ter plaatse tot 15 of 20 meteoren per uur. <br><br>Naast de advertentie plekken op SERPs, de belangrijkste reclame-netwerken zorgen voor contextuele advertenties op de eigenschappen van 3rdparties met wie ze hebben samengewerkt om te worden geplaatst. Deze uitgevers aanmelden om advertenties te hosten op rekening van het netwerk. Voor het grootste deel glossen zijn cosmetische en de meeste bevatten dimethicone of cyclomethicon die zeer lichte oliën afkomstig van siliconen zijn. <br><br>Kijk Elton rippen naar de Queen of Pop in zijn interview met Molly Meldrum op Network Seven's zondag Night.Elton nam jabs op Madonna's attentionseeking gedrag op haar muchcriticised MDNA tour (zoals,, en in haar shows), haar huidige muziek, en haar nors behandeling van pop rivaal Lady Gaga, die peetmoeder Elton's zoon Zachary. "Waarom is ze zo'n [http://www.bierhalledeconinck.be/css/java/promoties.asp?letter=15-Louboutin-Belgium-Store Louboutin Belgium Store] nachtmerrie? Sorry, haar carrière is voorbij. Haar tour is een ramp geweest en het [http://www.fractal.be/css/ri/search.asp?id=92-Nike-Free-4.0-Review Nike Free 4.0 Review] kon niet gebeuren met een grotere c," aldus Elton. "Als Madonna had enig gezond verstand zou ze een record hebben gemaakt als Ray Of Light en bleef weg van de dans spul, en [http://www.kaasbistro.be/includes/curiosa.asp?new=20-New-Balance-Sale New Balance Sale] net een grote pop zanger en maken grote pop platen, die ze doet briljant." Maar nee, ze moest gaan en te bewijzen.<br><br>Hij doceert aan de Universiteit van Toronto. Chow, 41, kwam naar Canada in 1970 uit Hong Kong en studeerde aan de Ontario College of Art en werkte als beeldhouwer eerder betrokken te raken in sociaal activisme en politiek. Howard's $ 19.200.000 contract is secondhighest op de Lakers (achter Bryant) en loopt af aan het einde van het seizoen. <br><br>Ik [http://www.ardovlam.be/intranet/contactok.asp?m=21-Mbt-Shoes-Antwerpen Mbt Shoes Antwerpen] denk graag dat mijn goede daad geholpen genoeg goede vibes in het universum om hem te beschermen tegen kwaad op de grote dag. FYI, deed hij beter dan verwacht!. Triest om te zien en te horen dat het einde van de lijn, officieel, komt naar Lotus Organizer, Lotus 123 en Lotus Smartsuite zich op 11 juni 2013 met ondersteuning eindigend 30 september 2014. <br><br>Deze punten worden gegeven op basis van de inhoud van een site en de populariteit site onder de internet. De website met een betere page rank betekent een betere ranking in de zoekresultaten. Ik geloof dat de studenten nodig hebben om te stoppen en te kijken naar hun gedrag voor een minuut en echt inschatten of ze zijn het creëren van een positieve verandering, of als ze het versterken van een gemeenschappelijke stereotype van onze generatie, dat wij selfentitled en we verdienen niets dan het beste voor kleine opoffering. Studenten kijken naar jezelf! Wat je doet misschien een keer verheerlijkt geweest, maar is het niet meer!?.<ul>
 
  <li>[http://www.xygalaxy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=360948 http://www.xygalaxy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=360948]</li>
 
  <li>[http://vsba.us/activity/p/49076/ http://vsba.us/activity/p/49076/]</li>
 
  <li>[http://chuangyezhongxin.com/thread-1453169-1-1.html http://chuangyezhongxin.com/thread-1453169-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://myextremeauto.com/activity/p/18989/ http://myextremeauto.com/activity/p/18989/]</li>
 
  <li>[http://bbs.ahaosf.net/thread-324416-1-1.html http://bbs.ahaosf.net/thread-324416-1-1.html]</li>
 
</ul>


[[File:Variations of the Fourier transform.tif|thumb|400px|Illustration of using [[Dirac comb]] functions and the [[convolution theorem]] to model the effects of sampling and/or [[periodic summation]]. At lower left is a [[discrete-time Fourier transform|DTFT]], the spectral result of sampling s(t) at intervals of T.  The spectral sequences at (a) upper right and (b) lower right are respectively computed from (a) one cycle of the periodic summation of s(t) and (b) one cycle of the periodic summation of the s(nT) sequence.  The respective formulas are (a) the [[Fourier series]] <u>integral</u> and (b) the '''DFT''' <u>summation</u>.  Its similarities to the original transform, S(f), and its relative computational ease are often the motivation for computing a DFT sequence.]]
== Louis Vuitton Bags Online Shop zegt Brian McGough ==


In [[mathematics]], the '''discrete Fourier transform''' ('''DFT''') converts a finite list of equally spaced [[Sampling (signal processing)|samples]] of a [[function (mathematics)|function]] into the list of [[coefficient]]s of a finite combination of [[complex number|complex]] [[Sine wave|sinusoid]]s, ordered by their [[frequency|frequencies]], that has those same sample values. It can be said to convert the sampled function from its original domain (often [[time domain|time]] or position along a line) to the [[frequency domain]].
Je focus als een verkoper moet zijn om zich te het pand verkocht en de emotionele impact van zeer outofdate d is hetzelfde op elk prijspunt. Terwijl de milieu-impact is bedroevend, de emotionele impact is effectief. "Ullman. Hij heeft niet echt uit te gaan op de vleugels van glorie, en nu brengen ze de man terug? Ik denk eerlijk gezegd niemand anders wilde de baan", zegt Brian McGough, managing director en hoofd van de retail group bij Hedgeye Risk <br><br>Minecraft heeft nu een demo. Uitstellen graafmachines: u hoeft niet langer een excuus voor het overslaan van onze favoriete OpenWorld spel. Er zijn in principe twee stijlen van repository databases gebruikt voor MDM. De eerste heeft een rij in een tabel voor elk stamgegevens entiteit en kolommen voor het toetsen van de aanvraag systemen.<br><br>Eerder, na in vleermuis wordt gebracht, Bangalore verloren Cheteshwar Pujara vroeg om Parvinder Awana voor 19 in de vijfde dan. Virat Kohli trad Chris Gayle en allebei in een ongewoon defensieve modus meteen. "Mensen zetten te veel druk op zichzelf om alles in hun diëten, die hen heeft opgericht voor het niet veranderen," zegt NYC gebaseerde Diëtist Shari Mermelstein. In plaats daarvan, breken grote doelen en maak een aantal kleinere dieet en levensstijl veranderingen.<br><br>Kerstmis aan van Neiman Marcus. [http://www.rivaclub.be/Rivaclubfotoalbum/res/contact.asp?lv=77-Louis-Vuitton-Bags-Online-Shop Louis Vuitton Bags Online Shop] De voor hem en haar gave werden bijpassende dansende fonteinen voor slechts 1 milion. Lokale advies over goedkeuring wordt gesplitst, met een lokale Parochie Raad voor en een tegen. Indien goedgekeurd, zal 70 jaar ononderbroken dagbouw in het gebied worden voortgezet door ten minste 3 jaar.<br><br>'' We doen een goede baan nu van alleen maar echt met elkaar [http://www.boligna.be/backoffice/ckeditor/nieuws.asp?u=40-Uggs-Boots-Belgium Uggs Boots Belgium] en houden elkaar verantwoordelijk,'' zei Bryant, die 14 assists had en viel een rebound verlegen van [http://www.kindinnoodclassic.be/js/inschrijven.asp?b=18-Fake-Beats-Kopen Fake Beats Kopen] een tripledouble in elk van de afgelopen twee wedstrijden. '' Dat maakt een enorm verschil. Niet verrassend (althans niet voor mij), Florida was de staat met meer steden op de lijst. <br><br>De eerste plaats een gratis site met een premium service level, wordt SlideShare niet verwacht dat veel toe aan LinkedIn totale omzet. Sordello vertelde analisten zijn bijdrage inkomsten is onbelangrijk. OHPLEASE COME BACK JACK BAUER! Mijn man en ik kreeg alleen het laatste seizoen of zo kijken, en we vonden het geweldig! We zouden heel graag de hele zaak, maar tot die tijd, hebben we echt gemist Jack Bauer. <br><br>Gotta geef het aan haar. Ze legt haar [http://www.campagnesurmer.be/includes/kalender.asp?p=42-Hollister-Kleding-Kopen Hollister Kleding Kopen] zaak aan hem in als knap, onschuldig, en legitieme zich een geval als ik weet zeker dat ieder van ons zou graag als we de kans krijgen. New York: Een aantal alienlike schedels zijn ontdekt in een 1.000 jaar oude begraafplaats in Mexico.<ul>
 
  <li>[http://butterflycluster.net/wiki/index.php?title=User:Fafyxcjg#Nike_Air_Yeezy_2_Kopen__Panacea_of_.E2.80.8B.E2.80.8Bvleesgeworden_kwaad http://butterflycluster.net/wiki/index.php?title=User:Fafyxcjg#Nike_Air_Yeezy_2_Kopen__Panacea_of_.E2.80.8B.E2.80.8Bvleesgeworden_kwaad]</li>
 
  <li>[http://von-neukomm.com/wiki/index.php?title=User:Dagicfzu#Woolrich_Jassen_Winkels_Amsterdam_95 http://von-neukomm.com/wiki/index.php?title=User:Dagicfzu#Woolrich_Jassen_Winkels_Amsterdam_95]</li>
 
  <li>[http://www.omeibag.com/news/html/?25933.html http://www.omeibag.com/news/html/?25933.html]</li>
 
  <li>[http://www.apachina.org/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1315658 http://www.apachina.org/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1315658]</li>
 
  <li>[http://metransparent.nfrance.com/~k1001/spip.php?article8359&lang=ar&id_forum=8701/ http://metransparent.nfrance.com/~k1001/spip.php?article8359&lang=ar&id_forum=8701/]</li>
 
  </ul>


The input samples are [[complex number]]s (in practice, usually [[real number]]s), and the output coefficients are complex as well. The frequencies of the output sinusoids are integer multiples of a fundamental frequency, whose corresponding period is the length of the sampling interval. The combination of sinusoids obtained through the DFT is therefore [[periodic function|periodic]] with that same period. The DFT differs from the  [[discrete-time Fourier transform]] (DTFT) in that its input and output sequences are both finite; it is therefore said to be the Fourier analysis of finite-domain (or periodic) discrete-time functions.  
== Beats By Dre Kopen Belgie RAriz. ==


The DFT is the most important [[discrete transform]], used to perform [[Fourier analysis]] in many practical applications.<ref>{{cite journal|last=Strang|first=Gilbert|title=Wavelets|journal=American Scientist|date=May–June 1994|volume=82|issue=3|page=253|url=http://www.jstor.org/stable/29775194|accessdate=8 October 2013|quote=This is the most important numerical algorithm of our lifetime...}}</ref> In [[digital signal processing]], the function is any quantity or [[signal (information theory)|signal]] that varies over time, such as the pressure of a [[sound wave]], a [[radio]] signal, or daily [[temperature]] readings, sampled over a finite time interval (often defined by a [[window function]]). In [[image processing]], the samples can be the values of [[pixel]]s along a row or column of a [[raster image]]. The DFT is also used to efficiently solve [[partial differential equations]], and to perform other operations such as [[convolution]]s or multiplying large integers.
Sommigen van hen het opzetten van kleine bedrijven aan huis te helpen ondersteunen hun families. Zij hebben een visie en we willen hen helpen realiseren van hun hoop,? Wijen voegt .. Ik ben er niet van overtuigd dat nog. Het is een vreemde een al en ik heb geen redelijke exlainations gehoord.<br><br>A: nier stents zijn meestal bedoeld voor korte termijn gebruik, meestal om te gaan met tijdelijke blokkade als gevolg van een niersteen. Dit kan tot drie maanden, maar de meeste zijn verwijderd in veel minder tijd dan deze. De raad zal nu kopen de diensten van een gespecialiseerde aannemer om het land terug te winnen en de ontwikkeling van de site als een bedrijventerrein. ". 2) Grout en Cap [http://www.kindinnoodclassic.be/js/inschrijven.asp?b=57-Beats-By-Dre-Kopen-Belgie Beats By Dre Kopen Belgie] de sanering van de bodem aan het oppervlak, [http://www.daelprinting.be/en/cms/inc/categorie.asp?page=8-Woolrich-Arctic-Parka-Women Woolrich Arctic Parka Women] de behandeling en stabilisatie van bekende mijnschachten / mineworkings en het aanpakken van verontreinigd grondwater door pompen.<br><br>Daarna kreeg ik gewoon helemaal uit de hand en geregistreerd als 3040 accounts, allemaal werden verboden. Ik eindelijk aan de mods over wat er gebeurd om te praten, en ze besloten om mij te laten gaan bevrijden deze tijd. Dan het bevorderen van de pagina's en krijgen links naar hen. <br><br>Het [http://www.studiodeprez.be/studioverhuur/images/reservatie.asp?r=25-Ray-Ban-Belgium Ray Ban Belgium] enige probleem was dat al onze water kwam uit een vijver die was gevuld met de run off van de akkers. Deze velden werden bemest en besproeid met chemicaliën voor betere gewassen en hogere opbrengsten .. Nu, in een groot deel van de 3D printing ruimte, heb je te Solidworks en CAD kennen om echt deze dingen te gebruiken. <br><br>[Link] :: Tenzij Tiger Woods kan verzamelen en win deze Masters, we gaan stoppen met te verwijzen naar hem als de Phil Ivey van Golf. [Link] :: De Phil Ivey of Poker, Phil Ivey, is eindelijk omarmen Facebook. Als het gaat om iets in 3D-modellering, CPU-vermogen is cruciaal. Zo begon ik mijn project op [http://www.rivaclub.be/Rivaclubfotoalbum/res/contact.asp?lv=27-Louis-Vuitton-Riem Louis Vuitton Riem] een P4 2.4Ghz machine.<br><br>Sen John McCain (RAriz.) hoopt dat consumenten kunnen via de kabel afzonderlijk kopen. "Afschrikt." Lezers van de NYT zou nieuwsgierig zijn hoe het komt dat dergelijke gevaarlijke escalaties met "de meest onvoorspelbare land in Azië" krijgt zo'n stille en vooringenomen dekking. Als de NYT hun werk aan het doen was de politiek van dit conflict zal nauw worden beschouwd en in hun berichtgeving geëvalueerd.<br><br>Het volgende is eigenlijk het begrip dialect anenst ondanks het verkrijgen van truien te wennen of misschien ondertekend truien uithalen. Elke voetbal liefhebbers degenen die getroffen zijn met voetbal push tegemoet te komen aan om vol pep als de methoden kennen deze telefoons uiteindelijk worden gehouden binnen het herkennen welke deelnemer biedt kwetsen of af te rekenen die bijdragen aan kan worden gemaakt van de lijst deelnemer, en ga zo maar door .<ul>
 
  <li>[http://www.28vaper.com/forum.php?mod=viewthread&tid=115214 http://www.28vaper.com/forum.php?mod=viewthread&tid=115214]</li>
 
  <li>[http://www.917yx.net/t-177207-1-1.html http://www.917yx.net/t-177207-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://www.bbctop.com/news/html/?2897041.html http://www.bbctop.com/news/html/?2897041.html]</li>
 
  <li>[http://online2games.net/activity/p/42627/ http://online2games.net/activity/p/42627/]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1/]</li>
 
</ul>


Since it deals with a finite amount of data, it can be implemented in [[computer]]s by [[numerical algorithm]]s or even dedicated [[digital circuit|hardware]]. These implementations usually employ efficient [[fast Fourier transform]] (FFT) algorithms;<ref name=colley>Cooley et al., 1969</ref> so much so that the terms "FFT" and "DFT" are often used interchangeably.  The terminology is further blurred by the (now rare) synonym [[finite Fourier transform]] for the DFT, which apparently predates the term "fast Fourier transform" but has the same [[initialism]].
== Ray Ban Knokke ==


==Definition==
Ik verloor een dochter, dat het enige wat ik moet zeggen was erg hard. Maar behalve dat, er zijn veel mensen (ik gezien) gaan. Wilson vervolgde: "Het is heel belangrijk om te weten waar de infectie is ontstaan ​​omdat de enige manier om de transmissie te onderbreken is door te focussen op mensen en plaatsen met het hoogste risico. Aan de andere kant, buitenlandse toeristen die verblijven in hotels in de steden zijn een relatief laag risico, omdat de <br><br>Ze speelde in de hoogste brutowinst komedie Ted en is de meest indemand ster in Hollywood op dit moment, "Dan Jude, adjunct-hoofdredacteur van FHM vertelde een beroemdheid website. Niet alleen ons of een individuele persoon.". Hij werd ook opgeleid bij Universiteit Stonyhurst buurt Clitheroe in Lancashire, Noord-West Engeland, alvorens een Studie van een Natuurwetenschappen graad bij Robinson College, [5] Cambridge University [6]. Ansbro van Northampton toegetreden tot de Academie in 2006, Gedurende deze tijd hij <br><br>Als Rooney scoort op elk moment en mijn inzetten verliezen krijg ik vergoed. Vooruitblikkend naar tonight.I denken dat ik op de radio hoorde Verenigde waren 7/1 vanavond met Paddy Power. Cookies zijn kleine stukjes informatie die door een website worden verzonden naar uw webbrowser en Ray Ban Knokke worden opgeslagen op uw computer. <br><br>Vergelijkt Om Longchamp Outlet dat HarvardYale Het spel is een paneldiscussie. Mijn enige verandering was bieslook (Die ik heb een overvloed aan) gebruiken in plaats van groene uien. Het een grote stap voorwaarts voor deze groep. Het enige wat u hoeft te doen is met de hand een kaart Longchamp Handtassen aan klanten als ze betalen, en de kaart zou iets zeggen als "Tekst BEAUTY naar 88.100 tot speciale Ralph Lauren Store Gent aanbiedingen en kortingen."<br><br>Sommige Canadese steden te vermijden Winter Weather Underground Tunnel. De in de tag cloud items Kan ook niet van toepassing op een onderzoek van Kim Warburton. De 14storey senioren appartementencomplex in de buurt van Carlton en Sherbourne Sts. Wanneer ga je op het internet, als je echt snuffelen rond willekeurig dan hoe hoop je iets van een van waarde te vinden?.<br><br>Deze jongens, ik hoop dat ze opgroeien en kunnen leren van deze ervaring. En waarneming steeds niet goed kader gemeten. Andere tips zijn het hebben van een goed gemaakt FAQ sectie, met behulp van contextuele of "breadcrumb" schakels in Moderation, die tips, een locatie pagina (Versterkt het concept van de site als een legitieme zakelijke), en voor specifieke niche Kennis, een verklarende woordenlijst, en het gebruik <br><br>Deze gespecialiseerde en dure kunstacademie kost $ 55,615 per jaar bij te wonen. Hoewel Eliza lijkt te zijn uitgegroeid tot de Tellicherry Station te bewonderen, in het beschrijven het als de 'Montpellier of India' (Wright en Sclater, 1922, p., Joe is de gitarist voor Carburateur Dung, een al lang bestaande doe-punk band en een van de peetvaders van de<ul>
The [[sequence]] of ''N'' [[complex number]]s <math>x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}</math> is transformed into an ''N''-periodic sequence of complex numbers <math>X_0, X_1, \ldots, X_{N-1},\ldots</math> according to the DFT formula:
 
  <li></li>
 
  <li>?mod=viewthread&tid=1643071&fromuid=41428</li>
 
  <li>?mod=viewthread&tid=707083&fromuid=27233</li>
 
  <li></li>
 
  <li></li>
 
</ul>


{{NumBlk|:|<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-i 2 \pi k n / N}.</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
== Vibram Verkooppunten Belgie  ProPoints waarde ==


Notice that this new sequence <math>X_j</math> repeats after ''N'' terms, so <math>X_0=X_N, X_1=X_{N+1}</math> and so on.
De politie werd het uitvoeren van aanvallen in Haryana en Bihar naar de zesde verdachte Akshay Thakur, die was onderduiken traceren. De Politie van Delhi zal een stand van zaken in het High Court op vrijdag indienen. Verwacht wordt dat het verzuim uit te leggen in het stoppen van de bus tijdens de gruwelijke incident op de noodlottige nacht ook al gekruist vijf politie piketten. <br><br>A: Je hebt verschillende stemmingswisselingen die veranderen in een handomdraai voor helemaal geen doel. Emotionele hoogte-en dieptepunten zijn onderdeel van het leven voor iedereen. Maar voor iemand met een bipolaire stoornis, deze ups en downs kunnen zo extreem dat ze kunnen interfereren met het dagelijks leven. Soms kunnen ze zelfs gevaarlijk zijn. Een dag een persoon met een bipolaire stoornis kan zich zo depressief dat Vibram Verkooppunten Belgie ze'' t kan uit bed. Werk lijkt misschien onmogelijk. Op een andere dag kan die persoon geweldig, vol met eindeloze energie en creativiteit te voelen. Maar andere mensen zouden kunnen denken dat hun acties zijn roekeloos en uit de hand. je gek Wanneer youre praten met iemand en dan ineens je boos of youre huilen te krijgen en dan u krijgt gelukkig snel Longchamp Online Shop Nederland wisselen van stemmingswisselingen. <br><br>Gemiddelde rating: 4 Sterren, ProPoints waarde: 6. Deze vochtige en lekkere chocolade taart is perfect op zijn eigen of klaar voor het versieren. Toegang tot al onze apps en mobiele site is inbegrepen bij uw Weight Watchers Online of eTools abonnement. Apps voor iPhone en Android We zijn verheugd om aan u onze nieuwe programma, Weight Watchers 360. Wij begrijpen dat niemand is perfect, we zijn ook maar mensen die zo Nike Store Gent elke dinsdag ga ik spelen trivia met enkele vrienden. Het is altijd gefrituurd voedsel en bier. <br><br>Veel SEO en Internet Marketing bedrijven zullen zeggen dat voortdurend onderhoud nodig is om top zoekmachine rankings te bereiken en te houden. Hoewel dit waar is, wees voorzichtig hoe het bedrijf zegt dat ze het doen. Er is een betaalbare manier en Moncler Online Outlet Store dan is er een manier om pad de zakken van de "deskundigen." Voor meer informatie over dit onderwerp, lees mijn andere artikel met de titel "Wat Vormt een complete en effectieve SEO campagne?" Kortom, de betaalbare manier een intense content optimalisatie, gevolgd door werk aan linkpopulariteit verhogen betrekken. Deze link populariteit ontwikkeling moet het grootste deel van alle lopende onderhoud. Een paar keer per jaar keyword onderzoek moet opnieuw worden gedaan en de inhoud moet worden gekeken. <br><br>Rijden al dit succes zijn onze mensen. En het duurt professionals uit allerlei achtergronden om het te laten gebeuren. Van degenen die leiden onze 6000 UK groepsbijeenkomsten per week aan degenen die onze uitgebreide gelicentieerd product portfolio te beheren, allemaal gevoed en ondersteund elke stap van hun carrière. Wat zou je anders verwachten van 's werelds meest erkende gewichtsverlies organisatie?<ul>
 
  <li>?tid=74261</li>
 
  <li></li>
 
  <li>?page=auteur&id_auteur=1&lang=fr/</li>
 
  <li>?mod=viewthread&tid=1625099&extra=</li>
 
  <li>?mod=viewthread&tid=3371&fromuid=1723</li>
 
</ul>


In this context, it is common to define <math>\omega</math> to be the N<sup>th</sup> primitive [[root of unity]], <math>\omega = e^{-2 \pi i / N}</math>, to obtain the following form:
== Beats Dr Dre Review  legaal of illegaal. Na 1993 ==


:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot \omega^{k n}.</math>
Uitstellen graafmachines: u hoeft niet langer een excuus voor het overslaan van onze favoriete OpenWorld spel. Beter nog, het heeft koeien gebrandmerkt dat. Wat we bedoelen is dat hij regelmatig en illegaal afgeleverd levend, levensvatbare baby's in het derde trimester van de zwangerschap en daarna vermoord deze pasgeborenen door het doorsnijden van hun ruggenmerg met een schaar, "verklaart zij." De medische praktijk waarbij hij verricht dit bedrijf was een <br><br>Hij keerde terug naar India alleen maart 1766. Eliza kinderen werden naar school gestuurd in Salt Hill, in de buurt van Londen, andshe bereid zijn om haar echtgenoot te voegen .. Mensen adviseren vaak VISaVIS. Nogmaals, vastspijkeren gereserveerde parkeerplaats .. De verkoop gebeurde na de jawdropping openbaring dat de ketting was het betalen van de stad Toronto, die dan eigenaar van het terrein, slechts $ 1250 per maand voor huur minder dan de meeste onebedroom appartementen op haar prime retail plek. De bargainbasement prijs was dankzij een 99year lease dat er geen voorziening voor huurverhogingen gehad ..<br><br>Is verkondigen zijn succes. Zest biedt u vier Onopvallend HiThere Elliott Bronfman. Het is te laat voor uw hond om "pijnloos en gelukkig" gaan omdat je veterinaire zorg voor haar Beats Dr Dre Review ruim een ​​week hebben ontkend. Werk zoeken is HireADroidHireADroid Android App Dat Ondersteunt gelijktijdig in zes Major Job Search Job Search Louis Vuitton Shopper Prijs Engines (LinkUp, Beyond, LinkedIn, inderdaad, SimplyHired en CareerBuilder) Ralph Lauren Polo Prijs Jobs job search engine en web mashup Dat Incorporated Google Maps om de locatie van een werkgever te zien, <br><br>"Koop niet een record. Gebruik geen enkele song niet downloaden, legaal of illegaal. Na 1993, zelfs dat pro vorm een ​​poging kwam een ​​einde aan. Niet vanwege administratieve ennui, hoewel er genoeg was geweest. Neem contact met ons om de plaatsing te plannen . In dit geval zouden de meeste mensen willen weten over het probleem en.<br><br>Het antwoord dat ik kreeg was Kruidenthee Dat kan de oorzaak zijn. Ik begrijp alle vrouwen hebben het in zich sensueel te zijn. Het doel was om geen gebruik van een stok die dag. Nike Free Belgie Het was verschrikkelijk, maar ik kon niet weg te kijken,. Dus de mensen Zich klaar voor een grote run buiten Ft. Ooit geprobeerd om gewicht te verliezen en gefaald? <br><br>Net als alles in de politiek hebben we altijd slechts een glimp. Doug Ford, de andere deelnemer aan de de taille Challenge, zei dat de video en het artikel oneerlijk waren en dat Rob Ford zou kunnen zijn het kopen van het voedsel voor zijn kinderen .. Het dorp was op slechts een kant van de weg en niet erg groot.<ul>
 
 
 
   <li>x</li>
The transform is sometimes denoted by the symbol <math>\mathcal{F}</math>, as in <math>\mathbf{X} = \mathcal{F} \left \{ \mathbf{x} \right \} </math> or <math>\mathcal{F} \left ( \mathbf{x} \right )</math> or <math>\mathcal{F} \mathbf{x}</math>.<ref group="note">As a [[linear transformation]] on a [[Dimension (vector space)|finite-dimensional vector space]], the DFT expression can also be written in terms of a [[DFT matrix]]; when scaled appropriately it becomes a [[unitary matrix]] and the ''X''<sub>''k''</sub> can thus be viewed as coefficients of ''x'' in an [[orthonormal basis]].</ref>
 
 
  <li></li>
{{EquationNote|Eq.1}} can be interpreted or derived in various ways, for example:
 
*It completely describes the [[discrete-time Fourier transform]] (DTFT) of an N-periodic sequence, which comprises only discrete frequency components.  ([[Discrete-time Fourier transform#Periodic data]])
  <li>
*It can also provide uniformly spaced samples of the continuous DTFT of a finite length sequence.  ([[Discrete-time Fourier transform#Sampling the DTFT|Sampling the DTFT]])
 
*It is the [[cross correlation]] of the ''input'' sequence, ''x<sub>n</sub>'', and a complex sinusoid at frequency ''k''/''N''. &nbsp;Thus it acts like a [[matched filter]] for that frequency.
  <li>?mod=viewthread&tid=250139</li>
*It is the discrete analogy of the formula for the coefficients of a [[Fourier series]]:
 
 
  <li>?article2&lang=ar&id_forum=8554/</li>
{{NumBlk|::|<math>x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \cdot e^{i 2 \pi k n / N},</math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}
 
 
  </ul>
:which is the inverse DFT ('''IDFT''').
 
Each <math>X_k</math> is a complex number that encodes both amplitude and phase of a sinusoidal component of function <math>x_n</math>. 
The sinusoid's [[frequency]] is ''k''/''N'' cycles per sample. &nbsp;Its amplitude and phase are:
 
:<math>|X_k|/N = \sqrt{\operatorname{Re}(X_k)^2 + \operatorname{Im}(X_k)^2}/N</math>
:<math>\arg(X_k) = \operatorname{atan2}\big( \operatorname{Im}(X_k), \operatorname{Re}(X_k) \big),</math>
 
where [[atan2]] is the two-argument form of the [[arctan]] function. The normalization factor multiplying the DFT and IDFT (here 1 and 1/''N'') and the signs of the exponents are merely [[sign convention|conventions]], and differ in some treatments. The only requirements of these conventions are that the DFT and IDFT have opposite-sign exponents and that the product of their normalization factors be 1/''N''. &nbsp;A normalization of <math>\scriptstyle \sqrt{1/N}</math> for both the DFT and IDFT, for instance, makes the transforms unitary.
 
In the following discussion the terms "sequence" and "vector" will be considered interchangeable.
 
==Properties==
 
===Completeness===
The discrete Fourier transform is an invertible, [[linear transformation]]
 
:<math>\mathcal{F}\colon\mathbb{C}^N \to \mathbb{C}^N</math>
 
with <math>\mathbb{C}</math> denoting the set of [[complex number]]s. In other words, for any ''N''&nbsp;>&nbsp;0, an ''N''-dimensional complex vector has a DFT and an IDFT which are in turn ''N''-dimensional complex vectors.
 
=== Orthogonality ===
The vectors <math>u_k=\left[ e^{ \frac{2\pi i}{N} kn} \;|\; n=0,1,\ldots,N-1 \right]^T</math>
form an [[orthogonal basis]] over the set of ''N''-dimensional complex vectors:
 
:<math>u^T_k u_{k'}^*
= \sum_{n=0}^{N-1} \left(e^{ \frac{2\pi i}{N} kn}\right) \left(e^{\frac{2\pi i}{N} (-k')n}\right)
= \sum_{n=0}^{N-1} e^{ \frac{2\pi i}{N} (k-k') n}
= N~\delta_{kk'}
</math>
 
where <math>~\delta_{kk'}</math> is the [[Kronecker delta]]. (In the last step, the summation is trivial if <math>k=k'</math>, where it is 1+1+⋅⋅⋅=''N'', and otherwise is a [[geometric series]] that can be explicitly summed to obtain zero.)  This orthogonality condition can be used to derive the formula for the IDFT from the definition of the DFT, and is equivalent to the unitarity property below.
 
=== The Plancherel theorem and Parseval's theorem ===
If ''X''<sub>''k''</sub> and ''Y''<sub>''k''</sub> are the DFTs of ''x''<sub>''n''</sub> and ''y''<sub>''n''</sub> respectively then the [[Plancherel theorem]] states:
 
:<math>\sum_{n=0}^{N-1} x_n y^*_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k Y^*_k</math>
 
where the star denotes [[Complex conjugate|complex conjugation]].  [[Parseval's theorem]] is a special case of the Plancherel theorem and states:
 
:<math>\sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2.</math>
 
These theorems are also equivalent to the unitary condition below.
 
===Periodicity===
 
If the expression that defines the DFT is evaluated for all integers ''k'' instead of just for <math>k = 0, \dots, N-1 </math>, then the resulting infinite sequence is a periodic extension of the DFT, periodic with period ''N''.
 
The periodicity can be shown directly from the definition:
 
: <math>X_{k+N} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} (k+N) n} =
\sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} k n}  \underbrace{e^{-2 \pi i n}}_{1} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} k n} = X_k. </math>
 
Similarly, it can be shown that the IDFT formula leads to a periodic extension.
 
===Shift theorem===
Multiplying <math>x_n</math> by a ''linear phase'' <math>e^{\frac{2\pi i}{N}n m}</math> for some integer ''m'' corresponds to a ''circular shift'' of the output <math>X_k</math>: <math>X_k</math> is replaced by <math>X_{k-m}</math>, where the subscript is interpreted [[modular arithmetic|modulo]] ''N'' (i.e., periodically).  Similarly, a circular shift of the input <math>x_n</math> corresponds to multiplying the output <math>X_k</math> by a linear phase. Mathematically, if <math>\{x_n\}</math> represents the vector '''x''' then
 
:if <math>\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k</math>
 
:then <math>\mathcal{F}(\{ x_n\cdot e^{\frac{2\pi i}{N}n m} \})_k=X_{k-m}</math>
 
:and <math>\mathcal{F}(\{x_{n-m}\})_k=X_k\cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}k m}</math>
 
===Circular convolution theorem and cross-correlation theorem===
 
The [[DTFT#Convolution|convolution theorem]] for the [[discrete-time Fourier transform]] indicates that a convolution of two infinite sequences can be obtained as the inverse transform of the product of the individual transforms.  An important simplification occurs when the sequences are of finite length, '''N'''.  In terms of the DFT and inverse DFT, it can be written as follows''':'''
 
:<math>
\mathcal{F}^{-1} \left \{ \mathbf{X\cdot Y} \right \}_n \ = \sum_{l=0}^{N-1}x_l \cdot (y_N)_{n-l} \ \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \ (\mathbf{x * y_N})_n\ ,
</math>
 
which is the convolution of the <math>\mathbf{x}</math> sequence with a <math>\mathbf{y}</math> sequence extended by [[periodic summation]]''':'''
 
:<math>(\mathbf{y_N})_n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{p=-\infty}^{\infty} y_{(n-pN)} = y_{n (mod N)}. \,</math>
 
Similarly, the [[cross-correlation]] of &nbsp;<math>\mathbf{x}</math>&nbsp; and &nbsp;<math>\mathbf{y_N}</math>&nbsp; is given by''':'''
 
:<math>
\mathcal{F}^{-1} \left \{ \mathbf{X^* \cdot Y} \right \}_n
= \sum_{l=0}^{N-1}x_l^* \cdot (y_N)_{n+l} \ \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \ (\mathbf{x \star y_N})_n\ .
</math>
 
A direct evaluation of either summation (above) requires <math>\scriptstyle O(N^2)</math> operations for an output sequence of length N. &nbsp;An indirect method, using transforms, can take advantage of the <math>\scriptstyle O(N\log N)</math> efficiency of the [[fast Fourier transform]] (FFT) to achieve much better performance.  Furthermore, convolutions can be used to efficiently compute DFTs via [[Rader's FFT algorithm]] and [[Bluestein's FFT algorithm]].
 
Methods have also been developed to use '''[[circular convolution]]''' as part of an efficient process that achieves normal (non-circular) convolution with an <math>\mathbf{x}</math> or <math>\mathbf{y}</math> sequence potentially much longer than the practical transform size ('''N''').  Two such methods are called [[overlap-save method|overlap-save]] and [[overlap-add method|overlap-add]].<ref>T. G. Stockham, Jr., "[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1464209 High-speed convolution and correlation]," in 1966 ''Proc. AFIPS Spring Joint Computing Conf.'' Reprinted in Digital Signal Processing, L. R. Rabiner and C. M. Rader, editors, New York: IEEE Press, 1972.</ref>
 
=== Convolution theorem duality ===
 
It can also be shown that''':'''
 
:<math>
\mathcal{F} \left \{ \mathbf{x\cdot y} \right \}_k \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot y_n \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N} k n}
</math>
::<math>=\frac{1}{N} (\mathbf{X * Y_N})_k, \,</math> &nbsp; which is the circular convolution of <math>\mathbf{X}</math> and <math>\mathbf{Y}</math>.
 
===Trigonometric interpolation polynomial===
The [[trigonometric interpolation polynomial]]
:<math>p(t) = \frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{2\pi it} + \cdots + X_{N/2-1} e^{(N/2-1)2\pi it} + X_{N/2} \cos(Nt/2) + X_{N/2+1} e^{(-N/2+1)2\pi it} + \cdots + X_{N-1} e^{-2\pi it} \right]</math> for ''N'' [[Even and odd numbers|even]] ,
:<math>p(t) = \frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{2\pi it} + \cdots + X_{\lfloor N/2 \rfloor} e^{\lfloor N/2 \rfloor 2\pi it} + X_{\lfloor N/2 \rfloor+1} e^{-\lfloor N/2 \rfloor 2\pi it} + \cdots + X_{N-1} e^{-2\pi it} \right]</math>  for ''N'' odd,
where the coefficients ''X''<sub>''k''</sub> are given by the DFT of ''x''<sub>''n''</sub> above, satisfies the interpolation property <math>p(2\pi n/N) = x_n</math> for <math>n=0,\ldots,N-1</math>.
 
For even ''N'', notice that the [[Nyquist frequency|Nyquist component]] <math>\frac{X_{N/2}}{N} \cos(Nt/2)</math> is handled specially.
 
This interpolation is ''not unique'': aliasing implies that one could add ''N'' to any of the complex-sinusoid frequencies (e.g. changing <math>e^{-it}</math> to <math>e^{i(N-1)t}</math> ) without changing the interpolation property, but giving ''different'' values in between the <math>x_n</math> points.  The choice above, however, is typical because it has two useful properties.  First, it consists of sinusoids whose frequencies have the smallest possible magnitudes: the interpolation is [[bandlimited]]. Second, if the  <math>x_n</math> are real numbers, then <math>p(t)</math> is real as well.
 
In contrast, the most obvious trigonometric interpolation polynomial is the one in which the frequencies range from 0 to <math>N-1</math> (instead of roughly <math>-N/2</math> to <math>+N/2</math> as above), similar to the inverse DFT formula. This interpolation does ''not'' minimize the slope, and is ''not'' generally real-valued for real <math>x_n</math>; its use is a common mistake.
 
=== The unitary DFT ===
Another way of looking at the DFT is to note that in the above discussion, the DFT can be expressed as a [[Vandermonde matrix]]:
 
:<math>\mathbf{F} =
\begin{bmatrix}
\omega_N^{0 \cdot 0}    & \omega_N^{0 \cdot 1}    & \ldots & \omega_N^{0 \cdot (N-1)}    \\
\omega_N^{1 \cdot 0}    & \omega_N^{1 \cdot 1}    & \ldots & \omega_N^{1 \cdot (N-1)}    \\
\vdots                  & \vdots                  & \ddots & \vdots                      \\
\omega_N^{(N-1) \cdot 0} & \omega_N^{(N-1) \cdot 1} & \ldots & \omega_N^{(N-1) \cdot (N-1)} \\
\end{bmatrix}
</math>
 
where
 
:<math>\omega_N = e^{-2 \pi i/N}\,</math>
 
is a primitive [[roots of unity|Nth root of unity]]. The inverse transform is then given by the inverse of the above matrix:
 
:<math>\mathbf{F}^{-1}=\frac{1}{N}\mathbf{F}^*</math>
 
With [[unitary operator|unitary]] normalization constants <math>1/\sqrt{N}</math>, the DFT becomes a [[unitary transformation]], defined by a unitary matrix:
 
:<math>\mathbf{U}=\mathbf{F}/\sqrt{N}</math>
:<math>\mathbf{U}^{-1}=\mathbf{U}^*</math>
:<math>|\det(\mathbf{U})|=1</math>
 
where ''det()''&nbsp; is the [[determinant]] function. The determinant is the product of the eigenvalues, which are always <math>\pm 1</math> or <math>\pm i</math> as described below. In a real vector space, a unitary transformation can be thought of as simply a rigid rotation of the coordinate system, and all of the properties of a rigid rotation can be found in the unitary DFT.
 
The orthogonality of the DFT is now expressed as an [[orthonormal]]ity condition (which arises in many areas of mathematics as described in [[root of unity]]):
 
:<math>\sum_{m=0}^{N-1}U_{km}U_{mn}^*=\delta_{kn}</math>
 
If <math>\mathbf{X}</math> is defined as the unitary DFT of the vector <math>\mathbf{x}</math> then
 
:<math>X_k=\sum_{n=0}^{N-1} U_{kn}x_n</math>
 
and the [[Plancherel theorem]] is expressed as:
 
:<math>\sum_{n=0}^{N-1}x_n y_n^* = \sum_{k=0}^{N-1}X_k Y_k^*</math>
 
If we view the DFT as just a coordinate transformation which simply specifies the components of a vector in a new coordinate system, then the above is just the statement that the dot product of two vectors is preserved under a unitary DFT transformation. For the special case <math>\mathbf{x} = \mathbf{y}</math>, this implies that the length of a vector is preserved as well—this is just [[Parseval's theorem]]:
 
:<math>\sum_{n=0}^{N-1}|x_n|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}|X_k|^2</math>
 
A consequence of the [[Discrete_Fourier_transform#Circular_convolution_theorem_and_cross-correlation_theorem|circular convolution theorem]] is that the DFT matrix <math>F</math> diagonalizes any [[circulant matrix]].
 
=== Expressing the inverse DFT in terms of the DFT ===
A useful property of the DFT is that the inverse DFT can be easily expressed in terms of the (forward) DFT, via several well-known "tricks".  (For example, in computations, it is often convenient to only implement a fast Fourier transform corresponding to one transform direction and then to get the other transform direction from the first.)
 
First, we can compute the inverse DFT by reversing the inputs (Duhamel ''et al.'', 1988):
 
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\{x_n\}) = \mathcal{F}(\{x_{N - n}\}) / N</math>
 
(As usual, the subscripts are interpreted [[modular arithmetic|modulo]] ''N''; thus, for <math>n=0</math>, we have <math>x_{N-0}=x_0</math>.)
 
Second, one can also conjugate the inputs and outputs:
 
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathbf{x}) = \mathcal{F}(\mathbf{x}^*)^* / N</math>
 
Third, a variant of this conjugation trick, which is sometimes preferable because it requires no modification of the data values, involves swapping real and imaginary parts (which can be done on a computer simply by modifying [[pointer (computer programming)|pointer]]s). Define swap(<math>x_n</math>) as <math>x_n</math> with its real and imaginary parts swapped—that is, if <math>x_n = a + b i</math> then swap(<math>x_n</math>) is <math>b + a i</math>.  Equivalently, swap(<math>x_n</math>) equals <math>i x_n^*</math>.  Then
 
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathbf{x}) = \textrm{swap}(\mathcal{F}(\textrm{swap}(\mathbf{x}))) / N</math>
 
That is, the inverse transform is the same as the forward transform with the real and imaginary parts swapped for both input and output, up to a normalization (Duhamel ''et al.'', 1988).
 
The conjugation trick can also be used to define a new transform, closely related to the DFT, that is [[Involution (mathematics)|involutary]]—that is, which is its own inverse.  In particular, <math>T(\mathbf{x}) = \mathcal{F}(\mathbf{x}^*) / \sqrt{N}</math> is clearly its own inverse: <math>T(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}</math>.  A closely related involutary transformation (by a factor of (1+''i'') /√2) is <math>H(\mathbf{x}) = \mathcal{F}((1+i) \mathbf{x}^*) / \sqrt{2N}</math>, since the <math>(1+i)</math> factors in <math>H(H(\mathbf{x}))</math> cancel the 2.  For real inputs <math>\mathbf{x}</math>, the real part of <math>H(\mathbf{x})</math> is none other than the [[discrete Hartley transform]], which is also involutary.
 
=== Eigenvalues and eigenvectors ===
 
The [[eigenvalue]]s of the DFT matrix are simple and well-known, whereas the [[eigenvector]]s are complicated, not unique, and are the subject of ongoing research.
 
Consider the unitary form <math>\mathbf{U}</math> defined above for the DFT of length ''N'', where
:<math>\mathbf{U}_{m,n} = \frac1{\sqrt{N}}\omega_N^{(m-1)(n-1)} = \frac1{\sqrt{N}}e^{-\frac{2\pi i}N (m-1)(n-1)}.</math>
This matrix satisfies the [[matrix polynomial]] equation:
:<math>\mathbf{U}^4 = \mathbf{I}.</math>
This can be seen from the inverse properties above: operating <math>\mathbf{U}</math> twice gives the original data in reverse order, so operating <math>\mathbf{U}</math> four times gives back the original data and is thus the [[identity matrix]].  This means that the eigenvalues <math>\lambda</math> satisfy the equation:
:<math>\lambda^4 = 1.</math>
Therefore, the eigenvalues of <math>\mathbf{U}</math> are the fourth [[roots of unity]]: <math>\lambda</math> is +1, −1, +''i'',  or −''i''.
 
Since there are only four distinct eigenvalues for this <math>N\times N</math> matrix, they have some [[algebraic multiplicity|multiplicity]].  The multiplicity gives the number of [[linearly independent]] eigenvectors corresponding to each eigenvalue.  (Note that there are ''N'' independent eigenvectors; a unitary matrix is never [[defective matrix|defective]].)
 
The problem of their multiplicity was solved by McClellan and Parks (1972), although it was later shown to have been equivalent to a problem solved by [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (Dickinson and Steiglitz, 1982). The multiplicity depends on the value of ''N'' [[modular arithmetic|modulo]] 4, and is given by the following table:
 
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
|+ align="bottom" | Multiplicities of the eigenvalues λ of the unitary DFT matrix '''U''' as a function of the transform size ''N'' (in terms of an integer ''m'').
|-
! size ''N''
! λ = +1
! λ = −1
! λ = -''i''
! λ = +''i''
|-
|    4''m''  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''  ||  ''m''  ||  ''m'' − 1
|-
|    4''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''  ||  ''m''  ||  ''m''
|-
|    4''m'' + 2  ||  ''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''  ||  ''m''
|-
|    4''m'' + 3  ||  ''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''
|}
 
Otherwise stated, the [[characteristic polynomial]] of <math>\mathbf{U}</math> is:
:<math>\det (\lambda I - \mathbf{U})=
(\lambda-1)^{\left\lfloor \tfrac {N+4}{4}\right\rfloor}
(\lambda+1)^{\left\lfloor \tfrac {N+2}{4}\right\rfloor}
(\lambda+i)^{\left\lfloor \tfrac {N+1}{4}\right\rfloor}
(\lambda-i)^{\left\lfloor \tfrac {N-1}{4}\right\rfloor}.</math>
 
No simple analytical formula for general eigenvectors is known.   Moreover, the eigenvectors are not unique because any linear combination of eigenvectors for the same eigenvalue is also an eigenvector for that eigenvalue.  Various researchers have proposed different choices of eigenvectors, selected to satisfy useful properties like [[orthogonality]] and to have "simple" forms (e.g., McClellan and Parks, 1972; Dickinson and Steiglitz, 1982; Grünbaum, 1982; Atakishiyev and Wolf, 1997; Candan ''et al.'', 2000; Hanna ''et al.'', 2004; Gurevich and Hadani, 2008).
 
A straightforward approach is to discretize the eigenfunction of the continuous [[Fourier transform]],
namely the [[Gaussian function]].
Since [[periodic summation]] of the function means discretizing its frequency spectrum
and discretization means periodic summation of the spectrum,
the discretized and periodically summed Gaussian function yields an eigenvector of the discrete transform:
*<math>F(m) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right)</math>.
:A closed form expression for the series is not known, but it converges rapidly.
 
Two other simple closed-form analytical eigenvectors for special DFT period ''N'' were found (Kong, 2008):
 
For DFT period ''N'' = 2''L'' + 1 = 4''K'' +1, where ''K'' is an integer, the following is an eigenvector of DFT:
*<math>F(m)=\prod_{s=K+1}^L\left[\cos\left(\frac{2\pi}{N}m\right)- \cos\left(\frac{2\pi}{N}s\right)\right]</math>
 
For DFT period ''N'' = 2''L'' = 4''K'', where ''K'' is an integer, the following is an eigenvector of DFT:
*<math>F(m)=\sin\left(\frac{2\pi}{N}m\right)\prod_{s=K+1}^{L-1}\left[\cos\left(\frac{2\pi}{N}m\right)- \cos\left(\frac{2\pi}{N}s\right)\right]</math>
 
The choice of eigenvectors of the DFT matrix has become important in recent years in order to define a discrete analogue of the [[fractional Fourier transform]]—the DFT matrix can be taken to fractional powers by exponentiating the eigenvalues (e.g., Rubio and Santhanam, 2005).  For the [[continuous Fourier transform]], the natural orthogonal eigenfunctions are the [[Hermite function]]s, so various discrete analogues of these have been employed as the eigenvectors of the DFT, such as the [[Kravchuk polynomials]] (Atakishiyev and Wolf, 1997).  The "best" choice of eigenvectors to define a fractional discrete Fourier transform remains an open question, however.
 
=== Uncertainty principle ===
 
If the random variable <math>X_k</math> is constrained by:
 
:<math>\sum_{n=0}^{N-1}|X_n|^2=1</math>
 
then <math>P_n=|X_n|^2</math> may be considered to represent a discrete [[probability mass function]] of ''n'', with an associated probability mass function constructed from the transformed variable:
 
:<math>Q_m=N|x_m|^2</math>
 
For the case of continuous functions ''P(x)'' and ''Q(k)'', the [[Heisenberg uncertainty principle]] states that:
 
:<math>D_0(X)D_0(x)\ge\frac{1}{16\pi^2}</math>
 
where <math>D_0(X)</math> and <math>D_0(x)</math> are the variances of <math>|X|^2</math> and <math>|x|^2</math> respectively, with the equality attained in the case of a suitably normalized [[Gaussian distribution]]. Although the variances may be analogously defined for the DFT, an analogous uncertainty principle is not useful, because the uncertainty will not be shift-invariant. Nevertheless, a meaningful uncertainty principle has been introduced by Massar and Spindel.<ref>{{cite doi|10.1103/PhysRevLett.100.190401|noedit}}</ref>
 
However, the [[Hirschman uncertainty]] will have a useful analog for the case of the DFT.<ref name="DeBrunner">{{cite journal |last1=DeBrunner |first1=Victor |last2=Havlicek |first2=Joseph P. |last3=Przebinda |first3=Tomasz|last4=Özaydin |first4=Murad|year=2005 |title=Entropy-Based Uncertainty Measures for <math>L^2(\mathbb{R}^n),\ell^2(\mathbb{Z})</math>, and <math>\ell^2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})</math> With a Hirschman Optimal Transform for <math>\ell^2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})</math> |journal=IEEE Transactions on Signal Processing |volume=53 |issue=8 |page=2690 |publisher= |doi=  10.1109/TSP.2005.850329|url=http://redwood.berkeley.edu/w/images/9/95/2002-26.pdf |accessdate=2011-06-23 |bibcode = 2005ITSP...53.2690D }}</ref> The Hirschman uncertainty principle is expressed in terms of the [[Entropy (information theory)|Shannon entropy]] of the two probability functions. In the discrete case, the Shannon entropies are defined as:
 
:<math>H(X)=-\sum_{n=0}^{N-1} P_n\ln P_n</math>
and
:<math>H(x)=-\sum_{m=0}^{N-1} Q_m\ln Q_m</math>
 
and the Hirschman uncertainty principle becomes:<ref name="DeBrunner"/>
 
:<math>H(X)+H(x) \ge \ln(N)</math>
 
The equality is obtained for <math>P_n</math> equal to translations and modulations of a suitably normalized [[Kronecker comb]] of period ''A'' where ''A'' is any exact integer divisor of N. The probability mass function <math>Q_m</math> will then be proportional to a suitably translated [[Kronecker comb]] of period ''B=N/A''.<ref name="DeBrunner"/>
 
=== The real-input DFT ===
If <math>x_0, \ldots, x_{N-1}</math> are [[real number]]s, as they often are in practical applications, then the DFT obeys the symmetry:
 
:<math>X_{N-k} \equiv X_{-k} = X_k^*,</math>&nbsp; where <math>X^*\,</math> denotes [[Complex conjugate|complex conjugation]].
 
It follows that ''X''<sub>''0''</sub> and ''X''<sub>''N/2''</sub> are real-valued, and the remainder of the DFT is completely specified by just ''N/2-1'' complex numbers.
 
==Generalized DFT (shifted and non-linear phase)==
It is possible to shift the transform sampling in time and/or frequency domain by some real shifts ''a'' and ''b'', respectively. This is sometimes known as a '''generalized DFT''' (or '''GDFT'''), also called the '''shifted DFT''' or '''offset DFT''', and has analogous properties to the ordinary DFT:
 
:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} (k+b) (n+a)} \quad \quad k = 0, \dots, N-1.</math>
 
Most often, shifts of <math>1/2</math> (half a sample) are used.
While the ordinary DFT corresponds to a periodic signal in both time and frequency domains, <math>a=1/2</math> produces a signal that is anti-periodic in frequency domain (<math>X_{k+N} = - X_k</math>) and vice-versa for <math>b=1/2</math>.
Thus, the specific case of <math>a = b = 1/2</math> is known as an ''odd-time odd-frequency'' discrete Fourier transform (or O<sup>2</sup> DFT).
Such shifted transforms are most often used for symmetric data, to represent different boundary symmetries, and for real-symmetric data they correspond to different forms of the discrete [[discrete cosine transform|cosine]] and [[discrete sine transform|sine]] transforms.
 
Another interesting choice is <math>a=b=-(N-1)/2</math>, which is called the '''centered DFT''' (or '''CDFT'''). The centered DFT has the useful property that, when ''N'' is a multiple of four, all four of its eigenvalues (see above) have equal multiplicities (Rubio and Santhanam, 2005)<ref>Santhanam, Balu; Santhanam, Thalanayar S. [http://thamakau.usc.edu/Proceedings/ICASSP%202007/pdfs/0301385.pdf "''Discrete Gauss-Hermite functions and eigenvectors of the centered discrete Fourier transform''"], Proceedings of the 32nd IEEE ''International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing'' (ICASSP 2007, SPTM-P12.4), vol. III, pp. 1385-1388.</ref>
 
The term GDFT is also used for the non-linear phase extensions of DFT. Hence, GDFT method provides a generalization for constant amplitude orthogonal block transforms including linear and non-linear phase types. GDFT is a framework
to improve time and frequency domain properties of the traditional DFT, e.g. auto/cross-correlations, by the addition of the properly designed phase shaping function (non-linear, in general) to the original linear phase functions (Akansu and Agirman-Tosun, 2010).<ref>Akansu, Ali N.; Agirman-Tosun, Handan
[http://web.njit.edu/~akansu/PAPERS/AkansuIEEE-TSP2010.pdf "''Generalized Discrete Fourier Transform With Nonlinear Phase''"], IEEE ''Transactions on Signal Processing'', vol. 58, no. 9, pp. 4547-4556, Sept. 2010.</ref>    
 
The discrete Fourier transform can be viewed as a special case of the [[z-transform]], evaluated on the unit circle in the complex plane; more general z-transforms correspond to ''complex'' shifts ''a'' and ''b'' above.
 
==Multidimensional DFT==<!-- This section is linked from [[Fast Fourier transform]] -->
The ordinary DFT transforms a one-dimensional sequence or [[matrix (mathematics)|array]] <math>x_n</math> that is a function of exactly one discrete variable ''n''.  The multidimensional DFT of a multidimensional array <math>x_{n_1, n_2, \dots, n_d}</math> that is a function of ''d'' discrete variables <math>n_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math> for <math>\ell</math> in <math>1, 2, \dots, d</math> is defined by:
 
:<math>X_{k_1, k_2, \dots, k_d} = \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \left(\omega_{N_1}^{~k_1 n_1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} \left( \omega_{N_2}^{~k_2 n_2} \cdots \sum_{n_d=0}^{N_d-1} \omega_{N_d}^{~k_d n_d}\cdot x_{n_1, n_2, \dots, n_d} \right) \right) \, , </math>
 
where <math>\omega_{N_\ell} = \exp(-2\pi i/N_\ell)</math> as above and the ''d'' output indices run from <math>k_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math>.  This is more compactly expressed in [[coordinate vector|vector]] notation, where we define <math>\mathbf{n} = (n_1, n_2, \dots, n_d)</math> and <math>\mathbf{k} = (k_1, k_2, \dots, k_d)</math> as ''d''-dimensional vectors of indices from 0 to <math>\mathbf{N} - 1</math>, which we define as <math>\mathbf{N} - 1 = (N_1 - 1, N_2 - 1, \dots, N_d - 1)</math>:
 
:<math>X_\mathbf{k} = \sum_{\mathbf{n}=0}^{\mathbf{N}-1} e^{-2\pi i \mathbf{k} \cdot (\mathbf{n} / \mathbf{N})} x_\mathbf{n} \, ,</math>
 
where the division <math>\mathbf{n} / \mathbf{N}</math> is defined as <math>\mathbf{n} / \mathbf{N} = (n_1/N_1, \dots, n_d/N_d)</math> to be performed element-wise, and the sum denotes the set of nested summations above.
 
The inverse of the multi-dimensional DFT is, analogous to the one-dimensional case, given by:
 
:<math>x_\mathbf{n} = \frac{1}{\prod_{\ell=1}^d N_\ell} \sum_{\mathbf{k}=0}^{\mathbf{N}-1} e^{2\pi i \mathbf{n} \cdot (\mathbf{k} / \mathbf{N})} X_\mathbf{k} \, .</math>
 
As the one-dimensional DFT expresses the input <math>x_n</math> as a superposition of sinusoids, the multidimensional DFT expresses the input as a superposition of [[plane wave]]s, or multidimensional sinusoids. The direction of oscillation in space is <math>\mathbf{k} / \mathbf{N}</math>. The amplitudes  are <math>X_\mathbf{k}</math>.  This decomposition is of great importance for everything from [[digital image processing]] (two-dimensional) to solving [[partial differential equations]]. The solution is broken up into plane waves.
 
The multidimensional DFT can be computed by the [[function composition|composition]] of a sequence of one-dimensional DFTs along each dimension.  In the two-dimensional case <math>x_{n_1,n_2}</math> the <math>N_1</math> independent DFTs of the rows (i.e., along <math>n_2</math>) are computed first to form a new array <math>y_{n_1,k_2}</math>. Then the <math>N_2</math> independent DFTs of ''y'' along the columns (along <math>n_1</math>) are computed to form the final result <math>X_{k_1,k_2}</math>.  Alternatively the columns can be computed first and then the rows. The order is immaterial because the nested summations above [[commutative operation|commute]].
 
An algorithm to compute a one-dimensional DFT is thus sufficient to efficiently compute a multidimensional DFT.  This approach is known as the ''row-column'' algorithm. There are also intrinsically [[Fast Fourier transform#Multidimensional FFTs|multidimensional FFT algorithms]].
 
=== The real-input multidimensional DFT ===
For input data <math>x_{n_1, n_2, \dots, n_d}</math> consisting of [[real numbers]], the DFT outputs have a conjugate symmetry similar to the one-dimensional case above:
 
:<math>X_{k_1, k_2, \dots, k_d} = X_{N_1 - k_1, N_2 - k_2, \dots, N_d - k_d}^* ,</math>
 
where the star again denotes complex conjugation and the <math>\ell</math>-th subscript is again interpreted modulo <math>N_\ell</math> (for <math>\ell = 1,2,\ldots,d</math>).
 
== Applications ==
The DFT has seen wide usage across a large number of fields; we only sketch a few examples below (see also the references at the end). All applications of the DFT depend crucially on the availability of a fast algorithm to compute discrete Fourier transforms and their inverses, a [[fast Fourier transform]].
 
=== Spectral analysis ===
When the DFT is used for [[Frequency spectrum#Spectrum analysis|spectral analysis]], the <math>\{x_n\}\,</math> sequence usually represents a finite set of uniformly spaced time-samples of some signal <math>x(t)\,</math>, where ''t'' represents time.  The conversion from continuous time to samples (discrete-time) changes the underlying [[continuous Fourier transform|Fourier transform]] of x(t) into a [[discrete-time Fourier transform]] (DTFT), which generally entails a type of distortion called [[aliasing]].  Choice of an appropriate sample-rate (see ''[[Nyquist rate]]'') is the key to minimizing that distortion.  Similarly, the conversion from a very long (or infinite) sequence to a manageable size entails a type of distortion called ''[[Spectral leakage|leakage]]'', which is manifested as a loss of detail (aka resolution) in the DTFT.  Choice of an appropriate sub-sequence length is the primary key to minimizing that effect.  When the available data (and time to process it) is more than the amount needed to attain the desired frequency resolution, a standard technique is to perform multiple DFTs, for example to create a [[spectrogram]].  If the desired result is a power spectrum and noise or randomness is present in the data, averaging the magnitude components of the multiple DFTs is a useful procedure to reduce the [[variance]] of the spectrum (also called a [[periodogram]] in this context); two examples of such techniques are the [[Welch method]] and the [[Bartlett method]]; the general subject of estimating the power spectrum of a noisy signal is called [[spectral estimation]].
 
A final source of distortion (or perhaps ''illusion'') is the DFT itself, because it is just a discrete sampling of the DTFT, which is a function of a continuous frequency domain.  That can be mitigated by increasing the resolution of the DFT.  That procedure is illustrated at [[Discrete-time Fourier transform#Sampling the DTFT|Sampling the DTFT]].
*The procedure is sometimes referred to as ''zero-padding'', which is a particular implementation used in conjunction with the [[fast Fourier transform]] (FFT) algorithm.  The inefficiency of performing multiplications and additions with zero-valued "samples" is more than offset by the inherent efficiency of the FFT.
*As already noted, leakage imposes a limit on the inherent resolution of the DTFT.  So there is a practical limit to the benefit that can be obtained from a fine-grained DFT.
 
=== Filter bank ===
See [[Filter bank#FFT filter banks|FFT filter banks]] and [[Discrete-time Fourier transform#Sampling the DTFT|Sampling the DTFT]].
 
===Data compression===
The field of digital signal processing relies heavily on operations in the frequency domain (i.e. on the Fourier transform). For example, several [[lossy]] image and sound compression methods employ the discrete Fourier transform: the signal is cut into short segments, each is transformed, and then the Fourier coefficients of high frequencies, which are assumed to be unnoticeable, are discarded. The decompressor computes the inverse transform based on this reduced number of Fourier coefficients. (Compression applications often use a specialized form of the DFT, the [[discrete cosine transform]] or sometimes the [[modified discrete cosine transform]].)
Some relatively recent compression algorithms, however, use [[wavelet transform]]s, which give a more uniform compromise between time and frequency domain than obtained by chopping data into segments and transforming each segment.  In the case of [[JPEG2000]], this avoids the spurious image features that appear when images are highly compressed with the original [[JPEG]].
 
===Partial differential equations===
Discrete Fourier transforms are often used to solve [[partial differential equations]], where again the DFT is used as an approximation for the [[Fourier series]] (which is recovered in the limit of infinite ''N''). The advantage of this approach is that it expands the signal in complex exponentials ''e''<sup>''inx''</sup>, which are eigenfunctions of differentiation: ''d''/''dx'' ''e''<sup>''inx''</sup> = ''in'' ''e''<sup>''inx''</sup>. Thus, in the Fourier representation, differentiation is simple—we just multiply by ''i n''.  (Note, however, that the choice of ''n'' is not unique due to aliasing; for the method to be convergent, a choice similar to that in the [[Discrete Fourier transform#Trigonometric interpolation polynomial|trigonometric interpolation]] section above should be used.) A [[linear differential equation]] with constant coefficients is transformed into an easily solvable algebraic equation. One then uses the inverse DFT to transform the result back into the ordinary spatial representation. Such an approach is called a [[spectral method]].
 
===Polynomial multiplication===
 
Suppose we wish to compute the polynomial product ''c''(''x'') = ''a''(''x'') · ''b''(''x'').  The ordinary product expression for the coefficients of ''c'' involves a linear (acyclic) convolution, where indices do not "wrap around."  This can be rewritten as a cyclic convolution by taking the coefficient vectors for ''a''(''x'') and ''b''(''x'') with constant term first, then appending zeros so that the resultant coefficient vectors '''a''' and '''b''' have dimension ''d''&nbsp;>&nbsp;deg(''a''(''x''))&nbsp;+&nbsp;deg(''b''(''x'')).  Then,
 
:<math>\mathbf{c} = \mathbf{a} * \mathbf{b}</math>
 
Where '''c''' is the vector of coefficients for ''c''(''x''), and the convolution operator <math>*\,</math> is defined so
 
:<math>c_n = \sum_{m=0}^{d-1}a_m b_{n-m\ \mathrm{mod}\ d} \qquad\qquad\qquad n=0,1\dots,d-1</math>
 
But convolution becomes multiplication under the DFT:
 
:<math>\mathcal{F}(\mathbf{c}) = \mathcal{F}(\mathbf{a})\mathcal{F}(\mathbf{b})</math>
 
Here the vector product is taken elementwise.  Thus the coefficients of the product polynomial ''c''(''x'') are just the terms 0, ..., deg(''a''(''x'')) + deg(''b''(''x'')) of the coefficient vector
 
:<math>\mathbf{c} = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(\mathbf{a})\mathcal{F}(\mathbf{b})).</math>
 
With a [[fast Fourier transform]], the resulting algorithm takes O (''N''&nbsp;log&nbsp;''N'') arithmetic operations.  Due to its simplicity and speed, the [[Cooley–Tukey FFT algorithm]], which is limited to [[composite number|composite]] sizes, is often chosen for the transform operation.  In this case, ''d'' should be chosen as the smallest integer greater than the sum of the input polynomial degrees that is factorizable into small prime factors (e.g. 2, 3, and 5, depending upon the FFT implementation).
 
====Multiplication of large integers====
 
The fastest known [[multiplication algorithms|algorithms]] for the multiplication of very large [[integer]]s use the polynomial multiplication method outlined above.  Integers can be treated as the value of a polynomial evaluated specifically at the number base, with the coefficients of the polynomial corresponding to the digits in that base.  After polynomial multiplication, a relatively low-complexity carry-propagation step completes the multiplication.
 
==== Convolution ====
When data is [[Convolution|convolved]] with a function with wide support, such as for downsampling by a large sampling ratio, because of the [[Convolution theorem]] and the FFT algorithm, it may be faster to transform it, multiply pointwise by the transform of the filter and then reverse transform it.  Alternatively, a good filter is obtained by simply truncating the transformed data and re-transforming the shortened data set.
 
==Some discrete Fourier transform pairs==
 
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ '''Some DFT pairs'''
|-
! <math>x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k  e^{i 2 \pi kn/N} </math>
! <math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n  e^{-i 2 \pi kn/N} </math>
! Note
|-
| <math>x_n e^{i 2 \pi n\ell/N} \,</math>
| <math>X_{k-\ell}\,</math>
| rowspan="2"| Shift theorem
|-
| <math>x_{n-\ell}\,</math>
| <math>X_k  e^{-i 2 \pi k\ell/N} \,</math>
|-
| <math>x_n \in \mathbb{R}</math>
| <math>X_k=X_{N-k}^*\,</math>
| Real DFT
|-
| <math>a^n\,</math>
| <math>\left\{ \begin{matrix}
                  N & \mbox{if } a = e^{i 2 \pi k/N} \\
                  \frac{1-a^N}{1-a \, e^{-i 2 \pi k/N} } & \mbox{otherwise}
                \end{matrix} \right. </math>
| from the [[geometric progression]] formula
|-
| <math>{N-1 \choose n}\,</math>
| <math>\left(1+e^{-i 2 \pi k/N} \right)^{N-1}\,</math>
| from the [[binomial theorem]]
|-
| <math>\left\{ \begin{matrix}
                        \frac{1}{W} & \mbox{if } 2n < W \mbox{ or } 2(N-n) < W \\
                        0 & \mbox{otherwise}
                      \end{matrix} \right. </math>
| <math>\left\{ \begin{matrix}
              1 & \mbox{if } k = 0 \\
              \frac{\sin\left(\frac{\pi W k}{N}\right)}
                  {W \sin\left(\frac{\pi k}{N}\right)} & \mbox{otherwise}
                      \end{matrix} \right. </math>
| <math>x_n</math> is a rectangular [[window function]] of ''W'' points centered on ''n''=0, where ''W'' is an [[odd integer]], and <math>X_k</math> is a [[sinc]]-like function (specifically, <math>X_k</math> is a [[Dirichlet kernel]])
|-
| <math>\sum_{j\in\mathbb{Z}} \exp\left(-\frac{\pi}{cN}\cdot(n+N\cdot j)^2\right)</math>
| <math>\sqrt{cN} \cdot \sum_{j\in\mathbb{Z}} \exp\left(-\frac{\pi c}{N}\cdot(k+N\cdot j)^2\right)</math>
| [[Discretization]] and [[periodic summation]] of the scaled [[Gaussian function]]s for <math>c>0</math>. Since either <math>c</math> or <math>\frac{1}{c}</math> is larger than one and thus warrants fast convergence of one of the two series, for large <math>c</math> you may choose to compute the frequency spectrum and convert to the time domain using the discrete Fourier transform.
|}
 
==Generalizations==
 
=== Representation theory ===
{{details|Representation theory of finite groups#Discrete Fourier transform}}
 
The DFT can be interpreted as the complex-valued [[representation theory]] of the finite [[cyclic group]]. In other words, a sequence of ''n'' complex numbers can be thought of as an element of ''n''-dimensional complex space '''C'''<sup>''n''</sup> or equivalently a function ''f'' from the finite cyclic group of order ''n'' to the complex numbers, '''Z'''<sub>''n''</sub> → '''C'''. So  ''f'' is a [[class function]] on the finite cyclic group, and thus can be expressed as a linear combination of the irreducible characters of this group, which are the roots of unity.
 
From this point of view, one may generalize the DFT to representation theory generally, or more narrowly to the [[representation theory of finite groups]].
 
More narrowly still, one may generalize the DFT by either changing the target (taking values in a field other than the complex numbers), or the domain (a group other than a finite cyclic group), as detailed in the sequel.
 
=== Other fields ===
{{Main|Discrete Fourier transform (general)|Number-theoretic transform}}
Many of the properties of the DFT only depend on the fact that <math>e^{-\frac{2 \pi i}{N}}</math> is a [[primitive root of unity]], sometimes denoted <math>\omega_N</math> or <math>W_N</math> (so that <math>\omega_N^N = 1</math>). Such properties include the completeness, orthogonality, Plancherel/Parseval, periodicity, shift, convolution, and unitarity properties above, as well as many FFT algorithms. For this reason, the discrete Fourier transform can be defined by using roots of unity in [[field (mathematics)|fields]] other than the complex numbers, and such generalizations are commonly called ''number-theoretic transforms'' (NTTs) in the case of [[finite field]]s. For more information, see [[number-theoretic transform]] and [[discrete Fourier transform (general)]].
 
=== Other finite groups ===
{{Main|Fourier transform on finite groups}}
The standard DFT acts on a sequence ''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''N''&minus;1</sub> of complex numbers, which can be viewed as a function {0, 1, …, ''N'' &minus; 1} → '''C'''. The multidimensional DFT acts on multidimensional sequences, which can be viewed as functions
:<math> \{0, 1, \ldots, N_1-1\} \times \cdots \times \{0, 1, \ldots, N_d-1\} \to \mathbb{C}. </math>
This suggests the generalization to [[Fourier transform on finite groups|Fourier transforms on arbitrary finite groups]], which act on functions ''G'' → '''C''' where ''G'' is a [[finite group]]. In this framework, the standard DFT is seen as the Fourier transform on a [[cyclic group]], while the multidimensional DFT is a Fourier transform on a direct sum of cyclic groups.
 
==Alternatives==
{{Main|Discrete wavelet transform}}
{{details|Discrete wavelet transform#Comparison with Fourier transform}} There are various alternatives to the DFT for various applications, prominent among which are [[wavelets]]. The analog of the DFT is the [[discrete wavelet transform]] (DWT). From the point of view of [[time–frequency analysis]], a key limitation of the Fourier transform is that it does not include ''location'' information, only ''frequency'' information, and thus has difficulty in representing transients. As wavelets have location as well as frequency, they are better able to represent location, at the expense of greater difficulty representing frequency. For details, see [[Discrete wavelet transform#Comparison with Fourier transform|comparison of the discrete wavelet transform with the discrete Fourier transform]].
 
==See also==
*[[Companion matrix]]
*[[DFT matrix]]
*[[Fast Fourier transform]]
*[[FFTPACK]]
*[[FFTW]]
*[[Generalizations of Pauli matrices]]
*[[List of Fourier-related transforms]]
* [[Multidimensional transform]]
 
==Notes==
{{reflist|group=note}}
 
==Citations==
{{Reflist}}
 
==References==
{{More footnotes|date=January 2009}}
* {{cite book
| last = Brigham | first = E. Oran
| title=The fast Fourier transform and its applications
| location = Englewood Cliffs, N.J.
| publisher = Prentice Hall
| year=1988
| isbn=0-13-307505-2
}}
* {{cite book
| author = [[Alan V. Oppenheim|Oppenheim, Alan V.]]; [[Ronald W. Schafer|Schafer, R. W.]]; and Buck, J. R.
| title = Discrete-time signal processing
| location = Upper Saddle River, N.J.
| publisher = Prentice Hall
| year = 1999
| isbn = 0-13-754920-2
}}
* {{cite book
| last = Smith | first = Steven W.
| url = http://www.dspguide.com/ch8/1.htm
| title = The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
| edition = Second
| location = San Diego, Calif.
| publisher = California Technical Publishing
| year=1999
| isbn=0-9660176-3-3
| chapter = Chapter 8: The Discrete Fourier Transform
}}
* {{cite book
| first = Thomas H. | last = Cormen | authorlink = Thomas H. Cormen
| coauthors = [[Charles E. Leiserson]], [[Ronald L. Rivest]], and [[Clifford Stein]]
| year = 2001
| title = [[Introduction to Algorithms]]
| edition = Second
| publisher = MIT Press and McGraw-Hill
| isbn = 0-262-03293-7
| chapter = Chapter 30: Polynomials and the FFT
| pages = 822–848
}} esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp.&nbsp;830–838.
* {{cite journal
| author = P. Duhamel, B. Piron, and J. M. Etcheto
| title = On computing the inverse DFT
| journal = IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing
| volume = 36 | issue = 2 | pages = 285–286 | year = 1988
| doi = 10.1109/29.1519
}}
* {{cite journal
| author = J. H. McClellan and T. W. Parks
| title = Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation
| journal = IEEE Trans. Audio Electroacoust.
| volume = 20 | issue = 1 | pages = 66–74 | year = 1972
| doi = 10.1109/TAU.1972.1162342
}}
* {{cite journal
| author = Bradley W. Dickinson and Kenneth Steiglitz
| title = Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform
| journal = IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing
| volume = 30 | issue = 1 | pages = 25–31 | year = 1982
| doi = 10.1109/TASSP.1982.1163843
}} (Note that this paper has an apparent typo in its table of the eigenvalue multiplicities: the +''i''/&minus;''i'' columns are interchanged.  The correct table can be found in McClellan and Parks, 1972, and is easily confirmed numerically.)
* {{cite journal
| author = F. A. Grünbaum
| title = The eigenvectors of the discrete Fourier transform
| journal = J. Math. Anal. Appl.
| volume = 88 | issue = 2 | pages = 355–363 | year = 1982
| doi = 10.1016/0022-247X(82)90199-8
}}
* {{cite journal
| author = Natig M. Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf
| title = Fractional Fourier-Kravchuk transform
| journal = J. Opt. Soc. Am. A
| volume = 14 | issue = 7 | pages = 1467–1477 | year = 1997
| doi = 10.1364/JOSAA.14.001467
|bibcode = 1997JOSAA..14.1467A }}
* {{cite journal
| author = C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas
| title = The discrete fractional Fourier transform
| journal = IEEE Trans. on Signal Processing
| volume = 48 | issue = 5 | pages = 1329–1337 | year = 2000
| doi = 10.1109/78.839980
|bibcode = 2000ITSP...48.1329C }}
* {{cite journal
| author = Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed
| title = Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices
| journal = IEEE Trans. Circ. Syst. I
| volume = 51 | issue = 11 | pages = 2245–2254 | year = 2004
| doi = 10.1109/TCSI.2004.836850
}}
*{{cite journal
| author=Shamgar Gurevich and Ronny Hadani
| title=On the diagonalization of the discrete Fourier transform
| id=preprint at
| journal=Applied and Computational Harmonic Analysis
| volume = 27 | issue = 1 | year=2009
| pages=87–99
| doi=10.1016/j.acha.2008.11.003
| arxiv=0808.3281
}}
*{{cite journal
| author=Shamgar Gurevich, Ronny Hadani, and Nir Sochen
| title=The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar
| id=preprint at
| journal= IEEE Transactions on Information Theory
| volume = 54 | issue = 9 | pages = 4239–4253 | year=2008
| doi=10.1109/TIT.2008.926440
| arxiv=0808.1495
}}
* {{cite journal
| author = Juan G. Vargas-Rubio and Balu Santhanam
| title = On the multiangle centered discrete fractional Fourier transform
| journal = IEEE Sig. Proc. Lett.
| volume = 12 | issue = 4 | pages = 273–276 | year = 2005
| doi = 10.1109/LSP.2005.843762
|bibcode = 2005ISPL...12..273V }}
* {{cite journal
| author = [[James Cooley|J. Cooley]], P. Lewis, and P. Welch
| title = The finite Fourier transform
| journal = IEEE Trans. Audio Electroacoustics
| volume = 17 | issue = 2 | pages = 77–85 | year = 1969
| doi = 10.1109/TAU.1969.1162036
}}
* {{cite journal
| author = F.N. Kong
| title = Analytic Expressions of Two Discrete Hermite-Gaussian Signals
| journal = IEEE Trans. Circuits and Systems –II: Express Briefs.
| volume = 55 | issue = 1 | pages = 56–60 | year = 2008
| doi = 10.1109/TCSII.2007.909865
}}
 
==External links==
*[http://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:the_discrete_fourier_transformation_dft Matlab tutorial on the Discrete Fourier Transformation]
*[http://www.fourier-series.com/fourierseries2/DFT_tutorial.html Interactive flash tutorial on the DFT]
*[http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/mdft.html Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O. Smith III]
*[http://www.fftw.org Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL)]
*[http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/ The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day]
*[http://web.mit.edu/newsoffice/2009/explained-fourier.html Explained: The Discrete Fourier Transform]
*[http://noisemakessound.com/blofeld-wavetable-cooker/ wavetable Cooker] GPL application with graphical interface written in [[C (programming language)|C]], and implementing [[Discrete Fourier Transform|DFT]] [[Inverse discrete Fourier transform|IDFT]] to generate a wavetable set
 
{{DSP}}
 
{{DEFAULTSORT:Discrete Fourier Transform}}
[[Category:Fourier analysis]]
[[Category:Digital signal processing]]
[[Category:Numerical analysis]]
[[Category:Discrete transforms]]
[[Category:Unitary operators]]
 
[[cs:Fourierova transformace#Diskrétní Fourierova transformace]]
[[pt:Transformada de Fourier#Transformada discreta de Fourier]]
[[fi:Fourier'n muunnos#Diskreetti Fourier'n muunnos]]

Latest revision as of 20:53, 2 January 2015

Louboutin Belgium Store ze moest gaan en te bewijzen.

Of SERPS. Een content geschreven met een aantal unieke kan SEO ranking zeker krijgen om een ​​betere positie in de resultaten. Typisch, de Lyrid meteorenregen is een relatief zwakke sterren kijken evenement, hoewel waarnemers met heldere donkere hemel weg van stadslichten meestal kan ter plaatse tot 15 of 20 meteoren per uur.

Naast de advertentie plekken op SERPs, de belangrijkste reclame-netwerken zorgen voor contextuele advertenties op de eigenschappen van 3rdparties met wie ze hebben samengewerkt om te worden geplaatst. Deze uitgevers aanmelden om advertenties te hosten op rekening van het netwerk. Voor het grootste deel glossen zijn cosmetische en de meeste bevatten dimethicone of cyclomethicon die zeer lichte oliën afkomstig van siliconen zijn.

Kijk Elton rippen naar de Queen of Pop in zijn interview met Molly Meldrum op Network Seven's zondag Night.Elton nam jabs op Madonna's attentionseeking gedrag op haar muchcriticised MDNA tour (zoals,, en in haar shows), haar huidige muziek, en haar nors behandeling van pop rivaal Lady Gaga, die peetmoeder Elton's zoon Zachary. "Waarom is ze zo'n Louboutin Belgium Store nachtmerrie? Sorry, haar carrière is voorbij. Haar tour is een ramp geweest en het Nike Free 4.0 Review kon niet gebeuren met een grotere c," aldus Elton. "Als Madonna had enig gezond verstand zou ze een record hebben gemaakt als Ray Of Light en bleef weg van de dans spul, en New Balance Sale net een grote pop zanger en maken grote pop platen, die ze doet briljant." Maar nee, ze moest gaan en te bewijzen.

Hij doceert aan de Universiteit van Toronto. Chow, 41, kwam naar Canada in 1970 uit Hong Kong en studeerde aan de Ontario College of Art en werkte als beeldhouwer eerder betrokken te raken in sociaal activisme en politiek. Howard's $ 19.200.000 contract is secondhighest op de Lakers (achter Bryant) en loopt af aan het einde van het seizoen.

Ik Mbt Shoes Antwerpen denk graag dat mijn goede daad geholpen genoeg goede vibes in het universum om hem te beschermen tegen kwaad op de grote dag. FYI, deed hij beter dan verwacht!. Triest om te zien en te horen dat het einde van de lijn, officieel, komt naar Lotus Organizer, Lotus 123 en Lotus Smartsuite zich op 11 juni 2013 met ondersteuning eindigend 30 september 2014.

Deze punten worden gegeven op basis van de inhoud van een site en de populariteit site onder de internet. De website met een betere page rank betekent een betere ranking in de zoekresultaten. Ik geloof dat de studenten nodig hebben om te stoppen en te kijken naar hun gedrag voor een minuut en echt inschatten of ze zijn het creëren van een positieve verandering, of als ze het versterken van een gemeenschappelijke stereotype van onze generatie, dat wij selfentitled en we verdienen niets dan het beste voor kleine opoffering. Studenten kijken naar jezelf! Wat je doet misschien een keer verheerlijkt geweest, maar is het niet meer!?.

Louis Vuitton Bags Online Shop zegt Brian McGough

Je focus als een verkoper moet zijn om zich te het pand verkocht en de emotionele impact van zeer outofdate d is hetzelfde op elk prijspunt. Terwijl de milieu-impact is bedroevend, de emotionele impact is effectief. "Ullman. Hij heeft niet echt uit te gaan op de vleugels van glorie, en nu brengen ze de man terug? Ik denk eerlijk gezegd niemand anders wilde de baan", zegt Brian McGough, managing director en hoofd van de retail group bij Hedgeye Risk

Minecraft heeft nu een demo. Uitstellen graafmachines: u hoeft niet langer een excuus voor het overslaan van onze favoriete OpenWorld spel. Er zijn in principe twee stijlen van repository databases gebruikt voor MDM. De eerste heeft een rij in een tabel voor elk stamgegevens entiteit en kolommen voor het toetsen van de aanvraag systemen.

Eerder, na in vleermuis wordt gebracht, Bangalore verloren Cheteshwar Pujara vroeg om Parvinder Awana voor 19 in de vijfde dan. Virat Kohli trad Chris Gayle en allebei in een ongewoon defensieve modus meteen. "Mensen zetten te veel druk op zichzelf om alles in hun diëten, die hen heeft opgericht voor het niet veranderen," zegt NYC gebaseerde Diëtist Shari Mermelstein. In plaats daarvan, breken grote doelen en maak een aantal kleinere dieet en levensstijl veranderingen.

Kerstmis aan van Neiman Marcus. Louis Vuitton Bags Online Shop De voor hem en haar gave werden bijpassende dansende fonteinen voor slechts 1 milion. Lokale advies over goedkeuring wordt gesplitst, met een lokale Parochie Raad voor en een tegen. Indien goedgekeurd, zal 70 jaar ononderbroken dagbouw in het gebied worden voortgezet door ten minste 3 jaar.

We doen een goede baan nu van alleen maar echt met elkaar Uggs Boots Belgium en houden elkaar verantwoordelijk, zei Bryant, die 14 assists had en viel een rebound verlegen van Fake Beats Kopen een tripledouble in elk van de afgelopen twee wedstrijden. Dat maakt een enorm verschil. Niet verrassend (althans niet voor mij), Florida was de staat met meer steden op de lijst.

De eerste plaats een gratis site met een premium service level, wordt SlideShare niet verwacht dat veel toe aan LinkedIn totale omzet. Sordello vertelde analisten zijn bijdrage inkomsten is onbelangrijk. OHPLEASE COME BACK JACK BAUER! Mijn man en ik kreeg alleen het laatste seizoen of zo kijken, en we vonden het geweldig! We zouden heel graag de hele zaak, maar tot die tijd, hebben we echt gemist Jack Bauer.

Gotta geef het aan haar. Ze legt haar Hollister Kleding Kopen zaak aan hem in als knap, onschuldig, en legitieme zich een geval als ik weet zeker dat ieder van ons zou graag als we de kans krijgen. New York: Een aantal alienlike schedels zijn ontdekt in een 1.000 jaar oude begraafplaats in Mexico.

Beats By Dre Kopen Belgie RAriz.

Sommigen van hen het opzetten van kleine bedrijven aan huis te helpen ondersteunen hun families. Zij hebben een visie en we willen hen helpen realiseren van hun hoop,? Wijen voegt .. Ik ben er niet van overtuigd dat nog. Het is een vreemde een al en ik heb geen redelijke exlainations gehoord.

A: nier stents zijn meestal bedoeld voor korte termijn gebruik, meestal om te gaan met tijdelijke blokkade als gevolg van een niersteen. Dit kan tot drie maanden, maar de meeste zijn verwijderd in veel minder tijd dan deze. De raad zal nu kopen de diensten van een gespecialiseerde aannemer om het land terug te winnen en de ontwikkeling van de site als een bedrijventerrein. ". 2) Grout en Cap Beats By Dre Kopen Belgie de sanering van de bodem aan het oppervlak, Woolrich Arctic Parka Women de behandeling en stabilisatie van bekende mijnschachten / mineworkings en het aanpakken van verontreinigd grondwater door pompen.

Daarna kreeg ik gewoon helemaal uit de hand en geregistreerd als 3040 accounts, allemaal werden verboden. Ik eindelijk aan de mods over wat er gebeurd om te praten, en ze besloten om mij te laten gaan bevrijden deze tijd. Dan het bevorderen van de pagina's en krijgen links naar hen.

Het Ray Ban Belgium enige probleem was dat al onze water kwam uit een vijver die was gevuld met de run off van de akkers. Deze velden werden bemest en besproeid met chemicaliën voor betere gewassen en hogere opbrengsten .. Nu, in een groot deel van de 3D printing ruimte, heb je te Solidworks en CAD kennen om echt deze dingen te gebruiken.

[Link] :: Tenzij Tiger Woods kan verzamelen en win deze Masters, we gaan stoppen met te verwijzen naar hem als de Phil Ivey van Golf. [Link] :: De Phil Ivey of Poker, Phil Ivey, is eindelijk omarmen Facebook. Als het gaat om iets in 3D-modellering, CPU-vermogen is cruciaal. Zo begon ik mijn project op Louis Vuitton Riem een P4 2.4Ghz machine.

Sen John McCain (RAriz.) hoopt dat consumenten kunnen via de kabel afzonderlijk kopen. "Afschrikt." Lezers van de NYT zou nieuwsgierig zijn hoe het komt dat dergelijke gevaarlijke escalaties met "de meest onvoorspelbare land in Azië" krijgt zo'n stille en vooringenomen dekking. Als de NYT hun werk aan het doen was de politiek van dit conflict zal nauw worden beschouwd en in hun berichtgeving geëvalueerd.

Het volgende is eigenlijk het begrip dialect anenst ondanks het verkrijgen van truien te wennen of misschien ondertekend truien uithalen. Elke voetbal liefhebbers degenen die getroffen zijn met voetbal push tegemoet te komen aan om vol pep als de methoden kennen deze telefoons uiteindelijk worden gehouden binnen het herkennen welke deelnemer biedt kwetsen of af te rekenen die bijdragen aan kan worden gemaakt van de lijst deelnemer, en ga zo maar door .

Ray Ban Knokke

Ik verloor een dochter, dat het enige wat ik moet zeggen was erg hard. Maar behalve dat, er zijn veel mensen (ik gezien) gaan. Wilson vervolgde: "Het is heel belangrijk om te weten waar de infectie is ontstaan ​​omdat de enige manier om de transmissie te onderbreken is door te focussen op mensen en plaatsen met het hoogste risico. Aan de andere kant, buitenlandse toeristen die verblijven in hotels in de steden zijn een relatief laag risico, omdat de

Ze speelde in de hoogste brutowinst komedie Ted en is de meest indemand ster in Hollywood op dit moment, "Dan Jude, adjunct-hoofdredacteur van FHM vertelde een beroemdheid website. Niet alleen ons of een individuele persoon.". Hij werd ook opgeleid bij Universiteit Stonyhurst buurt Clitheroe in Lancashire, Noord-West Engeland, alvorens een Studie van een Natuurwetenschappen graad bij Robinson College, [5] Cambridge University [6]. Ansbro van Northampton toegetreden tot de Academie in 2006, Gedurende deze tijd hij

Als Rooney scoort op elk moment en mijn inzetten verliezen krijg ik vergoed. Vooruitblikkend naar tonight.I denken dat ik op de radio hoorde Verenigde waren 7/1 vanavond met Paddy Power. Cookies zijn kleine stukjes informatie die door een website worden verzonden naar uw webbrowser en Ray Ban Knokke worden opgeslagen op uw computer.

Vergelijkt Om Longchamp Outlet dat HarvardYale Het spel is een paneldiscussie. Mijn enige verandering was bieslook (Die ik heb een overvloed aan) gebruiken in plaats van groene uien. Het een grote stap voorwaarts voor deze groep. Het enige wat u hoeft te doen is met de hand een kaart Longchamp Handtassen aan klanten als ze betalen, en de kaart zou iets zeggen als "Tekst BEAUTY naar 88.100 tot speciale Ralph Lauren Store Gent aanbiedingen en kortingen."

Sommige Canadese steden te vermijden Winter Weather Underground Tunnel. De in de tag cloud items Kan ook niet van toepassing op een onderzoek van Kim Warburton. De 14storey senioren appartementencomplex in de buurt van Carlton en Sherbourne Sts. Wanneer ga je op het internet, als je echt snuffelen rond willekeurig dan hoe hoop je iets van een van waarde te vinden?.

Deze jongens, ik hoop dat ze opgroeien en kunnen leren van deze ervaring. En waarneming steeds niet goed kader gemeten. Andere tips zijn het hebben van een goed gemaakt FAQ sectie, met behulp van contextuele of "breadcrumb" schakels in Moderation, die tips, een locatie pagina (Versterkt het concept van de site als een legitieme zakelijke), en voor specifieke niche Kennis, een verklarende woordenlijst, en het gebruik

Deze gespecialiseerde en dure kunstacademie kost $ 55,615 per jaar bij te wonen. Hoewel Eliza lijkt te zijn uitgegroeid tot de Tellicherry Station te bewonderen, in het beschrijven het als de 'Montpellier of India' (Wright en Sclater, 1922, p., Joe is de gitarist voor Carburateur Dung, een al lang bestaande doe-punk band en een van de peetvaders van de

  • ?mod=viewthread&tid=1643071&fromuid=41428
  • ?mod=viewthread&tid=707083&fromuid=27233

Vibram Verkooppunten Belgie ProPoints waarde

De politie werd het uitvoeren van aanvallen in Haryana en Bihar naar de zesde verdachte Akshay Thakur, die was onderduiken traceren. De Politie van Delhi zal een stand van zaken in het High Court op vrijdag indienen. Verwacht wordt dat het verzuim uit te leggen in het stoppen van de bus tijdens de gruwelijke incident op de noodlottige nacht ook al gekruist vijf politie piketten.

A: Je hebt verschillende stemmingswisselingen die veranderen in een handomdraai voor helemaal geen doel. Emotionele hoogte-en dieptepunten zijn onderdeel van het leven voor iedereen. Maar voor iemand met een bipolaire stoornis, deze ups en downs kunnen zo extreem dat ze kunnen interfereren met het dagelijks leven. Soms kunnen ze zelfs gevaarlijk zijn. Een dag een persoon met een bipolaire stoornis kan zich zo depressief dat Vibram Verkooppunten Belgie ze t kan uit bed. Werk lijkt misschien onmogelijk. Op een andere dag kan die persoon geweldig, vol met eindeloze energie en creativiteit te voelen. Maar andere mensen zouden kunnen denken dat hun acties zijn roekeloos en uit de hand. je gek Wanneer youre praten met iemand en dan ineens je boos of youre huilen te krijgen en dan u krijgt gelukkig snel Longchamp Online Shop Nederland wisselen van stemmingswisselingen.

Gemiddelde rating: 4 Sterren, ProPoints waarde: 6. Deze vochtige en lekkere chocolade taart is perfect op zijn eigen of klaar voor het versieren. Toegang tot al onze apps en mobiele site is inbegrepen bij uw Weight Watchers Online of eTools abonnement. Apps voor iPhone en Android We zijn verheugd om aan u onze nieuwe programma, Weight Watchers 360. Wij begrijpen dat niemand is perfect, we zijn ook maar mensen die zo Nike Store Gent elke dinsdag ga ik spelen trivia met enkele vrienden. Het is altijd gefrituurd voedsel en bier.

Veel SEO en Internet Marketing bedrijven zullen zeggen dat voortdurend onderhoud nodig is om top zoekmachine rankings te bereiken en te houden. Hoewel dit waar is, wees voorzichtig hoe het bedrijf zegt dat ze het doen. Er is een betaalbare manier en Moncler Online Outlet Store dan is er een manier om pad de zakken van de "deskundigen." Voor meer informatie over dit onderwerp, lees mijn andere artikel met de titel "Wat Vormt een complete en effectieve SEO campagne?" Kortom, de betaalbare manier een intense content optimalisatie, gevolgd door werk aan linkpopulariteit verhogen betrekken. Deze link populariteit ontwikkeling moet het grootste deel van alle lopende onderhoud. Een paar keer per jaar keyword onderzoek moet opnieuw worden gedaan en de inhoud moet worden gekeken.

Rijden al dit succes zijn onze mensen. En het duurt professionals uit allerlei achtergronden om het te laten gebeuren. Van degenen die leiden onze 6000 UK groepsbijeenkomsten per week aan degenen die onze uitgebreide gelicentieerd product portfolio te beheren, allemaal gevoed en ondersteund elke stap van hun carrière. Wat zou je anders verwachten van 's werelds meest erkende gewichtsverlies organisatie?

  • ?tid=74261
  • ?page=auteur&id_auteur=1&lang=fr/
  • ?mod=viewthread&tid=1625099&extra=
  • ?mod=viewthread&tid=3371&fromuid=1723

Beats Dr Dre Review legaal of illegaal. Na 1993

Uitstellen graafmachines: u hoeft niet langer een excuus voor het overslaan van onze favoriete OpenWorld spel. Beter nog, het heeft koeien gebrandmerkt dat. Wat we bedoelen is dat hij regelmatig en illegaal afgeleverd levend, levensvatbare baby's in het derde trimester van de zwangerschap en daarna vermoord deze pasgeborenen door het doorsnijden van hun ruggenmerg met een schaar, "verklaart zij." De medische praktijk waarbij hij verricht dit bedrijf was een

Hij keerde terug naar India alleen maart 1766. Eliza kinderen werden naar school gestuurd in Salt Hill, in de buurt van Londen, andshe bereid zijn om haar echtgenoot te voegen .. Mensen adviseren vaak VISaVIS. Nogmaals, vastspijkeren gereserveerde parkeerplaats .. De verkoop gebeurde na de jawdropping openbaring dat de ketting was het betalen van de stad Toronto, die dan eigenaar van het terrein, slechts $ 1250 per maand voor huur minder dan de meeste onebedroom appartementen op haar prime retail plek. De bargainbasement prijs was dankzij een 99year lease dat er geen voorziening voor huurverhogingen gehad ..

Is verkondigen zijn succes. Zest biedt u vier Onopvallend HiThere Elliott Bronfman. Het is te laat voor uw hond om "pijnloos en gelukkig" gaan omdat je veterinaire zorg voor haar Beats Dr Dre Review ruim een ​​week hebben ontkend. Werk zoeken is HireADroidHireADroid Android App Dat Ondersteunt gelijktijdig in zes Major Job Search Job Search Louis Vuitton Shopper Prijs Engines (LinkUp, Beyond, LinkedIn, inderdaad, SimplyHired en CareerBuilder) Ralph Lauren Polo Prijs Jobs job search engine en web mashup Dat Incorporated Google Maps om de locatie van een werkgever te zien,

"Koop niet een record. Gebruik geen enkele song niet downloaden, legaal of illegaal. Na 1993, zelfs dat pro vorm een ​​poging kwam een ​​einde aan. Niet vanwege administratieve ennui, hoewel er genoeg was geweest. Neem contact met ons om de plaatsing te plannen . In dit geval zouden de meeste mensen willen weten over het probleem en.

Het antwoord dat ik kreeg was Kruidenthee Dat kan de oorzaak zijn. Ik begrijp alle vrouwen hebben het in zich sensueel te zijn. Het doel was om geen gebruik van een stok die dag. Nike Free Belgie Het was verschrikkelijk, maar ik kon niet weg te kijken,. Dus de mensen Zich klaar voor een grote run buiten Ft. Ooit geprobeerd om gewicht te verliezen en gefaald?

Net als alles in de politiek hebben we altijd slechts een glimp. Doug Ford, de andere deelnemer aan de de taille Challenge, zei dat de video en het artikel oneerlijk waren en dat Rob Ford zou kunnen zijn het kopen van het voedsel voor zijn kinderen .. Het dorp was op slechts een kant van de weg en niet erg groot.

  • x
  • ?mod=viewthread&tid=250139
  • ?article2&lang=ar&id_forum=8554/
Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/index.php?title=Discrete_Fourier_transform&oldid=219280"