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In [[mathematics]], specifically [[group theory]], the '''index''' of a [[subgroup]] ''H'' in a group ''G'' is the "relative size" of ''H'' in ''G'': equivalently, the number of "copies" (cosets) of ''H'' that fill up ''G''. For example, if ''H'' has index 2 in ''G'', then intuitively "half" of the elements of ''G'' lie in ''H''.  The index of ''H'' in ''G'' is usually denoted |''G''&nbsp;:&nbsp;''H''| or <nowiki>[</nowiki>''G''&nbsp;:&nbsp;''H''<nowiki>]</nowiki> or (''G'':''H'').
== Barbour Store Hamburg nukleare Nichtverbreitung ==


Formally, the index of ''H'' in ''G'' is defined as the number of [[coset]]s of ''H'' in ''G''. (The number of left cosets of ''H'' in ''G'' is always equal to the number of right cosets.)  For example, let '''Z''' be the group of integers under [[addition]], and let 2'''Z''' be the subgroup of '''Z''' consisting of the [[Parity (mathematics)|even integers]]. Then 2'''Z''' has two cosets in '''Z''' (namely the even integers and the odd integers), so the index of 2'''Z''' in '''Z''' is two. To generalize,
Bild der inhärenten Verbissenheit in dieser Prämisse sogar dunkler.. Ihre erste Zauber in der Liga First Division begann im Jahre 1906, und sie haben ihre erste Saison in der Elite in guter Form endete mit einem zweiten Platz und nur knapp verpassten Meistertitel Herrlichkeit.. <br><br>Treten wichtigste Verbündete Israels in den Schienbeinen, verunglimpfen ihre diplomatischen Bemühungen, dunkel deutete an, dass sie einseitig militärische Gewalt einsetzen und versuchen, den Kopf stellen, was ist eindeutig eines der wichtigsten außenpolitischen Prioritäten von Präsident Obama, nukleare Nichtverbreitung, die ist unglaublich unwise.The Teilkern Vereinbarung zwischen dem Iran und der weltweit sechs wichtigsten Kräfte beweist, dass der Westen nicht in den Krieg mit dem Iran zu gehen und hat nicht die Absicht weit [http://www.harmoniemusikbuchs.ch/content/verein/sympathisanten/goenner.asp?inc=45-Barbour-Store-Hamburg Barbour Store Hamburg] in die Zukunft zu unternehmen Militäraktion in der Region.. <br><br>Ich nehme Hinweise auf alles, was ich bekommen, so den Fall das ich etwas ähnliches habe ich etwas auf, was sie sein sollte gehen, und auch die Preisgestaltung.. Tiere mit Schalen werden kämpfen und verschwinden mit der veränderten Wasserchemie. Die Lösung der Version Unverträglichkeiten in der Regel beinhaltet manuelle Aufwand, die Zugang zu einer Breitband-Internetverbindung und den Ärger zu müssen, mit Infrastruktur, die arbeiten sollten, wie es zu tun. <br><br>Einige Stücke sind in Ordnung, werden sie zu absorbieren, bevor Sie die Muffins zu backen. V. Am Ende der kostenlosen Testphase, wird Ihre Mitgliedschaft automatisch um ein Jahr Upgrade für 79 $. Jetzt habe ich etwas zurück zu geben. Denn es ist nicht ein Strafverfahren ist die Beweis viel niedriger als [http://www.coaching-raum.ch/_archiv_workshops/kontakt.asp?k=86-Oakley-Online-Shop Oakley Online Shop] zweifelsfrei.. <br><br>Auf der hellen Seite, vielleicht meine Missverständnis, anderen zu helfen. Vincent) ansprechen, während sie fast völlig grenzenlos in ihrem Umfang und Ehrgeiz.. Nach Verlassen der Healy Creek und Sundance Wegen, fallen Skifahrer auf den Bow River für die letzten 2 ins Ziel. <br><br>Die Freiheit des Denkens wird sich durchsetzen, und sicherlich TED muss von der Lawine der Ablehnung Andersons Brief mit getroffen hat schockiert. Wenn Sie Ihren Weg durch neun Monate der Schwangerschaft mit der Mentalität der Bereitstellung für zwei gegessen, nicht erwarten, sofort zurück zu 1400 Kalorien pro Tag und die Willenskraft von einem Profi-Bodybuilder zu gehen. <br><br>Und ihm tatsächlich Söldner [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=13-Nike-Air-Max-Thea Nike Air Max Thea] me TV Abendessen als innere Selbst besser gefunden Selbst freut [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=29-Abercrombie-&-Fitch-Hamburg Abercrombie & Fitch Hamburg] sich. Nach den Puranas, verehrt Shakti Shiva in Form eines Pfaus, so dass der Volksmund Namen Mylai (Mayili), um den Bereich, der rund um den Tempel Mayil entwickelt Tamil für "Pfau".<ul>
:<math>|\mathbf{Z}:n\mathbf{Z}| = n</math>
 
for any positive integer ''n''.
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  <li>[http://www.sqxysm.com/news/html/?35669.html http://www.sqxysm.com/news/html/?35669.html]</li>
 
</ul>


If ''N'' is a [[normal subgroup]] of ''G'', then the index of ''N'' in ''G'' is also equal to the order of the [[quotient group]] ''G''&nbsp;/&nbsp;''N'', since this is defined in terms of a group structure on the set of cosets of ''N'' in ''G''.
== Abercrombie And Fitch Schweiz Shop Die Studie ==


If ''G'' is infinite, the index of a subgroup ''H'' will in general be a non-zero [[cardinal number]]. It may be finite - that is, a positive integer - as the example above shows.
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</ul>


If ''G'' and ''H'' are [[finite group]]s, then the index of ''H'' in ''G'' is equal to the [[quotient]] of the [[order (group theory)|orders]] of the two groups:
== Pandora Jewellery  LARGE Softcover ==
:<math>|G:H| = \frac{|G|}{|H|}.</math>
This is [[Lagrange's theorem (group theory)|Lagrange's theorem]], and in this case the quotient is necessarily a positive [[integer]].


==Properties==
Nach Torbull, die Karten sahen alle schön und die Player-Skins und Animationen sind glatt, und die Pistole Modelle sehen auch schön ... Cleveland Watkiss ist für seine breiten Stimmumfang und [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=20-Pandora-Jewellery Pandora Jewellery] Genre-Hopping CV, die Arbeit mit der Creme der britischen und internationalen Jazz-Szene wie [http://www.chaefernaescht.ch/text/links.asp?n=2-New-Balance-Damen-Blau New Balance Damen Blau] Art Blakey und Wynton Marsalis gehören bekannt und scheint er hier in seinem gefeierten Solo-Einstellung, die nahtlos verbindet viele Musikrichtungen von Klassik bis afrikanische Lieder bis hin zu Bebop-Improvisationen und Chor Rhapsodien. <br><br>Das Ascend P1 S ein P1 sind nahezu identische Zwillinge Handy mit 4,3-Zoll-Super-AMOLED-Displays 960 x 540 und werden nur von der ersteren dünner Profil getrennt. Das Gericht war entweder nicht bewusst der anhängigen Fälle in Luxemburg, oder zu ungeduldig, um für den EuGH zu warten. <br><br>Ich bin immer überrascht, wie die Menschen nicht wollen, um ihre eigene Arbeit zu tun. Sie ist international als Spezialist und Höhen Chor Kod Erzieher anerkannt.. Friedman, "Die israelische Lobby Wackelige", Washington Beitrag, den 1. Sie tourt durch die Welt als Teil der Levitras Kampagne, um Frauen zu ermutigen, ein Gespräch mit dem Partner zu Diskussion und letztlich zu behandeln erektile Dysfunktion. <br><br>Die Titan-Gehäuseboden hat ein Saphirfenster und das Gehäuse ist wasserdicht bis 100 Meter. Dies ist schwierig, da es für eine Wettbewerbs ist. Auflage 1985 CARTER COUNTY TENNESSEE Geschichte Elizabethton JOHNSON CITY, [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=3-Pandora-Günstig-Online-Kaufen Pandora Günstig Online Kaufen] 1921 Johnson County Arkansas Genealogie Geschichte 76Reprnt, TN Johnson County TAUFT Watanga RIVER EARLY M42977 , Geschichte von Arkansas, Ella Langford HB, Geschichte der Arkansas von Ella Molloy Langford Clarksville, The War von Bill O'Neal (2004) LARGE Softcover, Friedhöfe von Claiborne County Tennessee 1982 Paul Johnson Genealogie, c1886 KARTE VON JOHNSON COUNTY KANSAS Hand farbiger Stich , Old County Karten Johnson County Kansas (KS / Monticello) MAP 1887 Old County Karten Johnson County Indiana (IN) Grundbesitzer MAP 1876,1853 1925 Deerfield WI Dane County Steuereinnahmen Ole Christopher Johnson, Carter Grafschaft KY Post-Beutel-Scheune Signed 25.04 von Fotograf David R. <br><br>Nur weil eine Seite mit Inhalt hat eine Menge von Schlüsselwörtern und hat eine Menge von Spam-Links, es doesn bedeuten, der Inhalt ist schlecht. Ich weiß, dass zu viel zu wünschen.. La cereza villenera cada vez en ms demandada por los Consumidores. <br><br>Erscheint, dass die Flasche aus dem Ende des 98 oder höher. Danach ist es in der Regel aus, um Gericht zu Anhörungen und Verfahren teilnehmen, erhalten Dokumente, die Berichterstattung Zeug. "Sie sind der BroBible Kerl?" , sagte ein Mädchen. Indem die sprichwörtliche Eisen, ihr Logo und völlig Beseitigung ihrer faux 3D-Effekt, Google Abschluss einer allmählichen Abflachung Prozess, der im Jahr 1999 begann Weg zurück, wenn es lassen Sie etwas Luft aus der aktuellen Ballontier Logo, Verschlankung die Schriftart und Beruhigung der aggressiven [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=99-Abercrombie-Em-Zurich Abercrombie Em Zurich] Shadowing..<ul>
* If ''H'' is a subgroup of ''G'' and ''K'' is a subgroup of ''H'', then
 
::<math>|G:K| = |G:H|\,|H:K|.</math>
  <li>[http://bbs.haina263.com/home.php?mod=space&uid=89534&do=blog&quickforward=1&id=746112 http://bbs.haina263.com/home.php?mod=space&uid=89534&do=blog&quickforward=1&id=746112]</li>
* If ''H'' and ''K'' are subgroups of ''G'', then
 
::<math>|G:H\cap K| \le |G : H|\,|G : K|,</math>
  <li>[http://gift.xueersi.org/home.php?mod=space&uid=72859&do=blog&quickforward=1&id=5397753 http://gift.xueersi.org/home.php?mod=space&uid=72859&do=blog&quickforward=1&id=5397753]</li>
:with equality if ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G''.  (If |''G''&nbsp;:&nbsp;''H''&nbsp;&cap;&nbsp;''K''| is finite, then equality holds if and only if ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G''.)
 
* Equivalently, if ''H'' and ''K'' are subgroups of ''G'', then
  <li>[http://dirtyhotshot.com/activity/p/22232/ http://dirtyhotshot.com/activity/p/22232/]</li>
::<math>|H:H\cap K| \le |G:K|,</math>
 
:with equality if ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G''. (If |''H''&nbsp;:&nbsp;''H''&nbsp;&cap;&nbsp;''K''| is finite, then equality holds if and only if ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G''.)
  <li>[http://www.wikisportsmemorabilia.com/User:Qqmhnqqd#Beats_Dre_Pill_offen http://www.wikisportsmemorabilia.com/User:Qqmhnqqd#Beats_Dre_Pill_offen]</li>
* If ''G'' and ''H'' are groups and ''φ'':&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''H'' is a [[homomorphism]], then the index of the [[kernel (algebra)|kernel]] of ''φ'' in ''G'' is equal to the order of the image:
 
::<math>|G:\operatorname{ker}\;\varphi|=|\operatorname{im}\;\varphi|.</math>
  <li>[http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=40706 http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=40706]</li>
* Let ''G'' be a group [[group action|acting]] on a [[set (mathematics)|set]] ''X'', and let ''x''&nbsp;∈&nbsp;''X''.  Then the [[cardinality]] of the [[orbit (group theory)|orbit]] of ''x'' under ''G'' is equal to the index of the [[stabilizer subgroup|stabilizer]] of ''x'':
 
::<math>|Gx| = |G:G_x|.\!</math>
</ul>
:This is known as the [[orbit-stabilizer theorem]].
* As a special case of the orbit-stabilizer theorem, the number of [[conjugacy class|conjugates]] ''gxg''<sup>&minus;1</sup> of an element ''x''&nbsp;∈&nbsp;''G'' is equal to the index of the [[centralizer]] of ''x'' in ''G''.
* Similarly, the number of conjugates ''gHg''<sup>&minus;1</sup> of a subgroup ''H'' in ''G'' is equal to the index of the [[normalizer]] of ''H'' in ''G''.
* If ''H'' is a subgroup of ''G'', the index of the [[core (group)|normal core]] of ''H'' satisfies the following inequality:
::<math>|G:\operatorname{Core}(H)| \le |G:H|!</math>
:where ! denotes the [[factorial]] function; this is discussed further [[#Finite index|below]].
:* As a corollary, if the index of ''H'' in ''G'' is 2, or for a finite group the lowest prime ''p'' that divides the order of ''G,'' then ''H'' is normal, as the index of its core must also be ''p,'' and thus ''H'' equals its core, i.e., is normal.
:* Note that a subgroup of lowest prime index may not exist, such as in any [[simple group]] of non-prime order, or more generally any [[perfect group]].


==Examples==
== Nike Air Force One Low  hat Kevin über 500 Konferenzen ==
* The [[alternating group]] <math>A_n</math> has index 2 in the [[symmetric group]] <math>S_n,</math> and thus is normal.
* The [[special orthogonal group]] ''SO''(''n'') has index 2 in the [[orthogonal group]] ''O''(''n''), and thus is normal.
* The [[free abelian group]] '''Z'''&nbsp;⊕&nbsp;'''Z''' has three subgroups of index 2, namely
::<math>\{(x,y) \mid x\text{ is even}\},\quad \{(x,y) \mid y\text{ is even}\},\quad\text{and}\quad
\{(x,y) \mid x+y\text{ is even}\}</math>.
* More generally, if ''p'' is [[prime number|prime]] then '''Z'''<sup>''n''</sup> has (''p''<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1) / (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1) subgroups of index ''p'', corresponding to the ''p''<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 nontrivial [[homomorphism]]s '''Z'''<sup>''n''</sup>&nbsp;→&nbsp;'''Z'''/''p'''''Z'''.{{Citation needed|date=January 2010}}
* Similarly, the [[free group]] ''F''<sub>''n''</sub> has ''p''<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 subgroups of index ''p''.
* The [[infinite dihedral group]] has a [[cyclic group|cyclic subgroup]] of index 2, which is necessarily normal.


==Infinite index==
Weder sie noch ihre Eltern kamen aus einer Aborigine-Gemeinde.. Viele haben durch die prominenten JKN Frage wurde nicht mit der Frage, welche anderen Fragen Kaschrut gedrückt wurde beiseite, als ob der Wurm ist eine neue Entdeckung, die es [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=192-Nike-Air-Force-One-Low Nike Air Force One Low] nicht ist. <br><br>Glückliches Leben Streaming!.. Die Marke [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=91-Abercrombie-Fitch-Schweiz Abercrombie Fitch Schweiz] ist auch durch die Nicht ITV plc Channel Television eingesetzt. [http://www.antennengenossenschaft.ch/includes/mailer.asp?b=36-Beats-By-Dr-Dre-Zürich Beats By Dr Dre Zürich] Wenn Sie Super grün sein wollten, könnten Sie Ihre eigenen wiederverwendbaren saugfähigen Material zu bringen. Drei Mal hat er auf Flagship-Nachrichtenprogramm ESPN schien seine NCAA Männer Basketball-Turnier Picks bieten. <br><br>In Foren, können die Menschen ihre Estriche, rant und Rave über dieses oder jenes zu liefern und letztlich zu erstellen Dialog zwischen Website-Besucher. Violinen insbesondere fehlt Körper und sind ein bisschen schrill. Leidenschaftlich über die Erziehung der Fachwelt über die Behinderung Raum, hat Kevin über [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=20-Ralph-Lauren-Shop-Schweiz Ralph Lauren Shop Schweiz] 500 Konferenzen, über 25.000 Einrichtungen Personal geschulten Personen durchgeführt und Vorträge weit an Konventionen, das TV-Publikum, öffentlicher Sektor Workshops und Compliance-Führungskräften. <br><br>An einigen Stellen habe ich als Umschreibung. Wir tun eine Menge zu Fuß in den Blöcken rund um das Hotel, Scouting Orte, wo unsere Mitgliedschaft kann eine schnelle Mahlzeit, Kaffee holen, oder haben eine gemächlicher Mahlzeit. RBWilliams8 LSU FanMember seit Oktober 200940375 postsre: Ich fing an, Ambien und bekam Besuch von der "alte Hexe". <br><br>How To. Oktober 2010 ins Leben gerufen auf Sky Kanal 225. In der Tat, viele Menschen, die sich online anmelden, um Zee TV-Serien zu sehen schnell finden sich verwirrt über das, was sie zu beobachten, wie sie zwischen ihre Lieblings-Serien, die große Cricket-Match, und eine neue Bollywood-Film gerissen möchten. <br><br>Schönes Design und umfangreichen Liner Notes verschönern die Geschichte durch Gesang der irischen Soldaten, die im In-und abroad.The Küste von Malabar: 2000 Freistaat CD CRO 008 CD 18.00A sorgfältig gestaltete Hommage an seine Liebesaffäre mit dem Meer und unterstreicht seine Geschenke als Komponist und Interpret der traditionellen und neuen Materials. <br><br>Überlegen Sie sorgfältig, wenn Sie ein Facebook-Mitarbeiter mit einer guten langen Blick auf Ihre page.Also möchten, daran erinnern, dass Business-Seiten sind nur für hundertprozentige Marken und es tut Ihr Unternehmen Identifizierung Papierkram (Steuern, Marken, LLC, Corp, etc).. <br><br>Einstein ist ein sehr guter US-Pferd.. Sie können fast jede Art von Spaß und Spiele kostenlos für die Lieferung auf Ihre Website täglich zu finden. Die Macht auf beiden Fällen korrekt ist aber.. Handeln Sie noch heute. Entertainment Weekly fügt hinzu: "Das ist, bis es mit Eric Rippen einer Herz aus und trinkt aus wie ein Capri-Sonne".<ul>
If ''H'' has an infinite number of cosets in ''G'', then the index of ''H'' in ''G'' is said to be infinite. In this case, the index |''G''&nbsp;:&nbsp;''H''| is actually a [[cardinal number]]. For example, the index of ''H'' in ''G'' may be [[countable set|countable]] or [[Uncountable set|uncountable]], depending on whether ''H'' has a countable number of cosets in ''G''. Note that the index of ''H'' is at most the order of ''G,'' which is realized for the trivial subgroup, or in fact any subgroup ''H'' of infinite cardinality less than that of ''G.''
 
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</ul>


==Finite index==
== Abercrombie Zürich Adresse ==
An infinite group ''G'' may have subgroups ''H'' of finite index (for example, the even integers inside the group of integers). Such a subgroup always contains a [[normal subgroup]] ''N'' (of ''G''), also of finite index. In fact, if ''H'' has index ''n'', then the index of ''N'' can be taken as some factor of ''n''!; indeed, ''N'' can be taken to be the kernel of the natural homomorphism from ''G'' to the permutation group of the left (or right) cosets of ''H''.


A special case, ''n'' = 2, gives the general result that a subgroup of index 2 is a normal subgroup, because the normal group (''N'' above) must have index 2 and therefore be identical to the original subgroup. More generally, a subgroup of index ''p'' where ''p'' is the smallest prime factor of the order of ''G'' (if ''G'' is finite) is necessarily normal, as the index of ''N'' divides ''p''! and thus must equal ''p,'' having no other prime factors.
Alles was Sie benötigen ist eine Internetverbindung und was früher dauerte Monate, können Sie jetzt in Wochen tun "Seine Sicht auf globale Rezession ist interessant, er denkt, dass". Das Schlimmste kommt erst noch ", und der steile Anstieg der Energiepreise wird eine große Pose Herausforderung in der Zukunft.. <br><br>Mehrere neue Gebäude seit der letzten Klavierlese Noten Sitzung entstanden. Sie sehen mich hier neben dir, und meine Stimme hören! Er konnte sich nicht an einem Ort bleiben einen Moment. Andere als die Melone Überlast, der Obstsalat war nicht allzu schlecht. Der Pfirsich (vielleicht war es tatsächlich eine Nektarine?) War ziemlich sauer, aber es ist noch sehr früh in der Saison für Steinobst, so dass verständlich. <br><br>Dies wird respektiert und ehrt Sie. Also das wirft die Frage auf, deren Tagesordnung haben die Forbes Schoßhündchen wollen, um zu dienen? Welches Stück der New World Order (die [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=33-Abercrombie-Zürich-Adresse Abercrombie Zürich Adresse] als die neue Weltwirtschaftsordnung begann) passt das in? (BTW, ist die Idee einer "Neuen Weltordnung" nicht Verschwörungstheorie. <br><br>Weil Catholic Charities der Erzdiözese Chicago ist ein wesentlicher Teil der Human Services Sicherheitsnetz im US-Bundesstaat Illinois sowie eine Organisation gegründet, um den Armen zu dienen wir zutiefst besorgt, dass die Bedürfnisse unserer Nachbarn niedrigem Einkommen einschließlich derer, die arbeitslos sind und ihren Familien Gerechtigkeit und Nächstenliebe erfüllt werden. Zwar gibt es einige Zeichen national dass die Wirtschaftskrise möglicherweise Lockerung wir wissen aus über 90 Jahren Erfahrung zu dienen Menschen in Not, dass selbst, wenn die Bedingungen in den nächsten 6 Monaten zu verbessern braucht es eine viel längere Zeit für die Finanzstabilität, dem Volk zu dienen, [http://www.baeren-ersigen.ch/butler/include/i_Navigation.asp?c=46-Longchamp-Shop-Online Longchamp Shop Online] wir filtern nach unten.. <br><br>Armee Surgeon General Medaille; Linus Pauling-Award vom Institut für Er hat mehrere Auszeichnungen, darunter den 1994 Outstanding Young Alumnus Award der University of Texas, Austin erhielt Functional Medicine, die Glenn Foundation Award für Forschung, die Bravewell Collaborative Pioneer für Integrative Medizin Auszeichnung, und die Sheila Kar Health Foundation Humanitarian Award von Cedars Sinai Medical Center (Los Angeles). Dr.. <br><br>Es ist gar nicht hier gewesen zu warm. Was ist mit Wild Donner und Sturm um Mitternacht? MEHR ALBERTA.. Ich liebe Pollocks Werk, und ich genieße Charakterstudien von Menschen auf Film. Ihre Daten werden nicht übertragen werden, bis Sie das Angebot tatsächlich annehmen. <br><br>Captured ContentCan ich lernen, Klavier spielen nach Gehör. Oder kann ich lernen, Klavier spielen nach Gehör? Ist es wirklich möglich, den Master-Piano einfach nach Gehör spielen? Wenn Sie [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=56-Ugg-Günstig-Online-Kaufen Ugg Günstig Online Kaufen] herausfinden, wie man Klavier oder ein anderes Instrument spielen wollen, und Sie absolut kein Interesse an dem Studium der Musiktheorie notwendig Anblick gelesen haben, dann ist es viel mehr [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=132-Abercrombie-Store-Schweiz Abercrombie Store Schweiz] als möglich zu meistern, wie man nach Gehör spielen.<ul>
 
  <li>[http://www.bbctop.com/news/html/?2917356.html http://www.bbctop.com/news/html/?2917356.html]</li>
 
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  <li>[http://www.dailymenanews.com/node/37069 http://www.dailymenanews.com/node/37069]</li>
 
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</ul>


An alternative proof of the result that subgroup of index lowest prime ''p'' is normal, and other properties of subgroups of prime index are given in {{Harv|Lam|2004}}.
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=== Examples ===
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The above considerations are true for finite groups as well. For instance, the group '''O''' of chiral [[octahedral symmetry]] has 24 elements. It has a [[dihedral symmetry|dihedral]] D<sub>4</sub> subgroup (in fact it has three such) of order 8, and thus of index 3 in '''O''', which we shall call ''H''. This dihedral group has a 4-member D<sub>2</sub> subgroup, which we may call ''A''. Multiplying on the right any element of a right coset of ''H'' by an element of ''A'' gives a member of the same coset of ''H'' (''Hca = Hc''). ''A'' is normal in '''O'''. There are six cosets of ''A'', corresponding to the six elements of the [[symmetric group]] S<sub>3</sub>. All elements from any particular coset of ''A'' perform the same permutation of the cosets of ''H''.
 
  <li>[http://13123188787.com/news/html/?24059.html http://13123188787.com/news/html/?24059.html]</li>
 
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  <li>[http://tztea.com.cn/news/html/?225194.html http://tztea.com.cn/news/html/?225194.html]</li>
 
  <li>[http://www.meilipz.com/home.php?mod=space&uid=97288&do=blog&quickforward=1&id=812956 http://www.meilipz.com/home.php?mod=space&uid=97288&do=blog&quickforward=1&id=812956]</li>
 
  <li>[http://xiaogushi.9youe.cn/home.php?mod=space&uid=67363&do=blog&quickforward=1&id=454020 http://xiaogushi.9youe.cn/home.php?mod=space&uid=67363&do=blog&quickforward=1&id=454020]</li>
 
</ul>


On the other hand, the group T<sub>h</sub> of [[pyritohedral symmetry]] also has 24 members and a subgroup of index 3 (this time it is a D<sub>2h</sub> [[prismatic symmetry]] group, see [[point groups in three dimensions]]), but in this case the whole subgroup is a normal subgroup. All members of a particular coset carry out the same permutation of these cosets, but in this case they represent only the 3-element [[alternating group]] in the 6-member S<sub>3</sub> symmetric group.
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==Normal subgroups of prime power index==
Wenn sie tatsächlich beschriften Sie die Farbe, die durch das Wort sagen, das ist ein Bonus skill.Can Zeichnen Sie einen Kreis und LineBeing in der Lage, einen Stift zu halten vage Formen zu erstellen ist ein Schritt zur Lesekompetenz, wenn Kinder lernen, zu schreiben letters.Can folgendes sagen Sounds "b", "p", "m", "g", "k", "h", "w", "d", "t" "n" Diese Geräusche sollten nun innerhalb von Worten zu sagen, die Kinder zu sehen sein . <br><br>Er wollte Süßigkeiten im Laden, so [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=117-Hollister-Store-Locator Hollister Store Locator] dass ich ihm sagte, er könne einige gingen wir die [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=128-Ralph-Lauren-Poloshirt-Big-Pony Ralph Lauren Poloshirt Big Pony] Süßigkeiten Insel gut würde er jede ipck haben und so gingen wir zu prüfen, und er war so wütend, weil ich würde nicht zurück waren wir schon in der Zeile i sagte ihm, . <br><br>Vitamin A hält sich in Pilzen mit einem Gold-oder orange Farbton. Bis jetzt ist das Interessante, dass es relativ wenige Technologien oder Tools, die in einer weit verbreiteten Weg, um diese Flut zu verwalten angenommen worden sind. Sehen Sie [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=75-Ralph-Lauren-Kaufen-Online Ralph Lauren Kaufen Online] es als weniger effektiv, wenn die Finanzmärkte sind ruhig, und finden hohe Kosten in Bezug auf die möglichen (und tatsächlichen) folgenden Geschäfts Instabilitäten und Versetzungen. <br><br>Mein Leben bestand aus Schlafen und Aufwachen, wenn ich spürte, wie es immer gefüttert, und bei denen die Lauf des Hauses.. Es ist eine ausgezeichnete Möglichkeit für Studenten und Menschen, die ein gutes Stück von mobilen Daten verwenden .. Das Merkblatt zu den Waren, die Asylsuchenden gegeben wurden, darunter Häuser, Kleider, Elektrogeräte usw. <br><br>Seite der eigenen Motiv ist unklar, obwohl er ein weißer Rassist bekannt .. Schickte Truppen in Art und Weise des Schadens fünf Mal, um Muslime in Bosnien, Kosovo, Kuwait, Afghanistan und den Irak zu befreien und doch Amerikas Ansehen in der Regel verschlechtert. <br><br>Doch nur sehr selten machen die Leute ihre Handys abgesetzt werden. Neuere genetische Arbeit legt nahe, dass die Ernährung dieser Jäger und Sammler [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=64-Abercrombie-Shop-Schweiz Abercrombie Shop Schweiz] kann viel Vitamin D. Es tut uns leid unsere Wirtschaft basiert auf unserer Arbeiter, Kisan und Segen Gottes beschenkt uns zahlreiche natürliche Ressourcen. <br><br>Aber es gibt viel Improvisation. Wer war in der Stadt gesichtet, bevor er sich in Parkside Polizei gestern, wieder in seine Heimat in der Einkaufs centre.Det Sgt. Außerdem mit einem Immobilien-Lizenz das Recht hätte mich ein "Profi" zu betrachten. Nehmen Käse, zum Beispiel. <br><br>Nachrichten Berichte zeigten Menschen, die brutal getreten, wie sie auf den Boden und Gummigeschossen und CS-Gas-Kanister, die auf sie aus der Nähe range.Saville Anwalt Christopher Clarke gefeuert zu legen, sagte QC einige Zeugen hatte eine Vorahnung über den kommenden Derry marschieren, weil Fallschirmjäger an Magilligan warnte sie, "mit etwas Kriegslust", dass sie "sehen, wie sie nächste Woche" im Zentrum der Stadt und Schäden früher, dass der Januar Generalmajor Robert Ford, der Armee zweiter Kommandant in Nordirland, traf sich mit Betroffenen damit Ausschreitungen Derry Händlern kommen.<ul>
Normal subgroups of [[prime power]] index are kernels of surjective maps to [[p-group|''p''-groups]] and have interesting structure, as described at [[Focal subgroup theorem#Subgroups|Focal subgroup theorem: Subgroups]] and elaborated at [[focal subgroup theorem]].
 
  <li>[http://electricheartradio.com/activity/p/43172/ http://electricheartradio.com/activity/p/43172/]</li>
 
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  <li>[http://www.ss198.com/news/html/?129395.html http://www.ss198.com/news/html/?129395.html]</li>
 
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</ul>


There are three important normal subgroups of prime power index, each being the smallest normal subgroup in a certain class:
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* '''E'''<sup>''p''</sup>(''G'') is the intersection of all index ''p'' normal subgroups; ''G''/'''E'''<sup>''p''</sup>(''G'') is an [[elementary abelian group]], and is the largest elementary abelian ''p''-group onto which ''G'' surjects.
* '''A'''<sup>''p''</sup>(''G'') is the intersection of all normal subgroups ''K'' such that ''G''/''K'' is an abelian ''p''-group (i.e., ''K'' is an index <math>p^k</math> normal subgroup that contains the derived group <math>[G,G]</math>): ''G''/'''A'''<sup>''p''</sup>(''G'') is the largest abelian ''p''-group (not necessarily elementary) onto which ''G'' surjects.
* '''O'''<sup>''p''</sup>(''G'') is the intersection of all normal subgroups ''K'' of ''G'' such that ''G''/''K'' is a (possibly non-abelian) ''p''-group (i.e., ''K'' is an index <math>p^k</math> normal subgroup): ''G''/'''O'''<sup>''p''</sup>(''G'') is the largest ''p''-group (not necessarily abelian) onto which ''G'' surjects. '''O'''<sup>''p''</sup>(''G'') is also known as the {{anchor|p-residual subgroup}}'''''p''-residual subgroup'''.
As these are weaker conditions on the groups ''K,'' one obtains the containments
:<math>\mathbf{E}^p(G) \supseteq \mathbf{A}^p(G) \supseteq \mathbf{O}^p(G).</math>


These groups have important connections to the [[Sylow subgroup]]s and the transfer homomorphism, as discussed there.
Herr. Sie müssen es nehmen, bevor Sie Angst bekommen. Dies wird der sichere Weg, um den Artikel zurückgewiesen sowie erfassen können, selbst erwerben Sie von einigen Verzeichnissen verboten sein.. Gewöhnliche Menschen, jedoch nicht der Ansicht, der Rückgang des gesellschaftlichen Zusammenhalts, den Anstieg der Kriminalität, die Umwandlung ihrer alten Nachbarschaften in No Go Zonen, ein als "Bereicherung". <br><br>Biegen Sie links auf die grüne Markierung und gehen mit diesem Weg an der Seite der schmalen Straße für 700 Meter. Me di una vuelta por una amiga ah pues Trabaja en el Antiguo Hotel de Mxico y nos quedaba cerca un lugar llamado Yoma que dice ser un Noodle Bar. <br><br>Me siento bastante [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=161-Air-Max-2013-Billig Air Max 2013 Billig] afortunado de trabajar en un lugar relativamente cercano a mi casa. Die ermäßigten Preise gelten für den Aufenthalt von 6. Ihre Arbeit beschränkt sich nicht stellen Sonderformen Entwicklung des Bewusstseins. Die Internationale Union für die Erhaltung der Natur ist immer eine Explosion der Aufmerksamkeit der Medien nach der Erklärung gestern diese besonderen Wale sind auf dem [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=10-Abercrombie-Switzerland-Office Abercrombie Switzerland Office] Weg der Besserung.. <br><br>Schreiben über es fühlt sich wie Stossen den Schmutz zu sehen, wenn die Samen der Sie gepflanzt werden keine Fortschritte, oder um zu sehen, wenn Sie [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=60-Timberland-Schuhe-Günstig Timberland Schuhe Günstig] nicht pflanzen Sie sie richtig herum.. Ich habe gerade auf Sky News war der Diskussion der PISA-Ergebnisse mit Christine Blower, der Generalsekretär der NUT. <br><br>Ein Verständnis, wie Online-Marketing funktioniert, ist es ein sehr andere Regeln im Vergleich zu Offline-Marketing. Ein Sasquatch "Gewöhnung Website" ist ein Ort, mit dem Mitglieder dieser Primatenarten vertraut geworden, und kehren immer wieder. Wir haben nicht erwartet, aber es bewegt den DDR3/1866 Module gab dem Spiel eine ziemlich [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=10-Pandora-Schweiz-Kaufen Pandora Schweiz Kaufen] deutliche Beule von etwa 18 Prozent. <br><br>Wenn Sie wissenschaftlich sagen wollen, ziehen sie wirklich wissen, wie groß das Problem ist, das völlig anders, Gillis fortgesetzt. Die Zahlstelle ist für die nicht so klumpig periodischen Ausgaben. Selon le NOAA, prs de 20 millions de Tonnen pourraient s'chouer sur les ctes ouest de l'Alaska et du Canada. <br><br>Es gibt nichts anderes wollen. Zehn-Jährigen erreicht die Beherrschung der Algorithmus unter Verwendung des Standard-Umgruppierung (Kreditaufnahme)-Algorithmus. Als zusätzlichen Bonus bietet Formidable Pro über ein gut ausgebautes Support-Website, die viele Tutorials, Beispiele und Erklärungen von Funktionen des Plugins enthält.. <br><br>Ein Unternehmen fordert Bruce Clay, Inc. September, eine 9 Tage Südost-Asien und Pazifik-Tour Kennzeichnung Queen Elizabeth II Diamond Jubilee Auftakt. Was ist zu tun? Was ist, wenn Tablet PC hat eine neue Frisur, senkte ihre Standards und sich für alle cummers Verfügung gestellt und benannte sich Windows 8? Klingt wie ein Plan.<ul>
 
 
=== Geometric structure ===
  <li>[http://drupal.theme-finder.net/test/node/2#comment-242404 http://drupal.theme-finder.net/test/node/2#comment-242404]</li>
An elementary observation is that one cannot have exactly 2 subgroups of index 2, as the [[Complement (set theory)|complement]] of their [[symmetric difference]] yields a third. This is a simple corollary of the above discussion (namely the projectivization of the vector space structure of the elementary abelian group
 
:<math>G/\mathbf{E}^p(G) \cong (\mathbf{Z}/p)^k</math>),
  <li>[http://huangyl.com/news/html/?112262.html http://huangyl.com/news/html/?112262.html]</li>
 
 
and further, ''G'' does not act on this geometry, nor does it reflect any of the non-abelian structure (in both cases because the quotient is abelian).
  <li>[http://xiaogushi.9youe.cn/home.php?mod=space&uid=67363&do=blog&quickforward=1&id=454088 http://xiaogushi.9youe.cn/home.php?mod=space&uid=67363&do=blog&quickforward=1&id=454088]</li>
 
 
However, it is an elementary result, which can be seen concretely as follows: the set of normal subgroups of a given index ''p'' form a [[projective space]], namely the projective space
  <li>[http://shop.wciworldwide.com/activity/p/31706/ http://shop.wciworldwide.com/activity/p/31706/]</li>
:<math>\mathbf{P}(\operatorname{Hom}(G,\mathbf{Z}/p)).</math>
 
 
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In detail, the space of homomorphisms from ''G'' to the (cyclic) group of order ''p,'' <math>\operatorname{Hom}(G,\mathbf{Z}/p),</math> is a vector space over the [[finite field]] <math>\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/p.</math> A non-trivial such map has as kernel a normal subgroup of index ''p,'' and multiplying the map by an element of <math>(\mathbf{Z}/p)^\times</math> (a non-zero number mod ''p'') does not change the kernel; thus one obtains a map from
 
:<math>\mathbf{P}(\operatorname{Hom}(G,\mathbf{Z}/p)) :=  (\operatorname{Hom}(G,\mathbf{Z}/p))\setminus\{0\})/(\mathbf{Z}/p)^\times</math>
</ul>
 
to normal index ''p'' subgroups. Conversely, a normal subgroup of index ''p'' determines a non-trivial map to <math>\mathbf{Z}/p</math> up to a choice of "which coset maps to <math>1 \in \mathbf{Z}/p,</math> which shows that this map is a bijection.
 
As a consequence, the number of normal subgroups of index ''p'' is
:<math>(p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots+p^k</math>
 
for some ''k;'' <math>k=-1</math> corresponds to no normal subgroups of index ''p''. Further, given two distinct normal subgroups of index ''p,'' one obtains a [[projective line]] consisting of <math>p+1</math> such subgroups.
 
For <math>p=2,</math> the [[symmetric difference]] of two distinct index 2 subgroups (which are necessarily normal) gives the third point on the projective line containing these subgroups, and a group must contain <math>0,1,3,7,15,\ldots</math> index 2 subgroups – it cannot contain exactly 2 or 4 index 2 subgroups, for instance.
 
==See also==
* [[Virtually]]
* [[Codimension]]
 
==References==
{{Refimprove|date=January 2010}}
{{reflist}}
{{Refbegin}}
* {{ Citation | title = On Subgroups of Prime Index | first = T. Y. | last = Lam | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | volume = 111 | number = 3 |date=March 2004 | pages = 256–258 | jstor = 4145135 | postscript =, [http://math.berkeley.edu/~lam/html/index-p.ps alternative download] }}
{{Refend}}
 
== External links ==
* {{PlanetMath | urlname = NormalityOfSubgroupsOfPrimeIndex | title = Normality of subgroups of prime index }}
* "[http://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_of_least_prime_index_is_normal Subgroup of least prime index is normal]" at [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Main_Page Groupprops, The Group Properties Wiki]
 
{{DEFAULTSORT:Index Of A Subgroup}}
[[Category:Group theory]]

Latest revision as of 13:49, 6 January 2015

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