Pick's theorem: Difference between revisions

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[[File:Rotationskoerper animation.gif|thumb|right|Rotating a curve. The surface formed is a [[surface of revolution]]; it encloses a solid of revolution.]]
== forever ==
In [[mathematics]], [[engineering]], and [[manufacturing]], a '''solid of revolution''' is a [[Shape|solid figure]] obtained by rotating a [[plane curve]] around some [[straight line]] (the [[axis of rotation|axis]]) that lies on the same plane.


Assuming that the curve does not cross the axis, the solid's [[volume]] is equal to the [[length]] of the [[circle]] described by the figure's [[centroid]] multiplied by the figure's [[area]] ([[Pappus's centroid theorem|Pappus's second centroid Theorem]]).
, And that the sword word, integrity, awe-inspiring, large Gang, forever,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-25.html プラダ人気財布], represents a gentleman's mood.<br>'Also, the party did not need to worry about the cold brother, all masters of our prize, the cast pushed the root of the altar, will force the first infusion to achieve their body, making their magic promotion, now on ten Dianmu Heaven's Soldiers five eras repair it, perfusion through our baptism, and will definitely break through sixteen era,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-23.html prada スタッズ 財布], which is a big advantage. '<br>beast for that generous plan to stabilize the cold side,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-23.html prada スタッズ 財布], started a lot of charity,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-28.html プラダ 財布 迷彩], the promise of endless benefits.<br>'I also was planted on the fairy king Bana flesh!' big hands grasping the cold side, a group of fairy king distant flesh,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-21.html プラダ 財布 スタッズ], Bana would fall into their hands, revenue body.<br>beast, quite ancestors, demon Lord's face are slight changes, many of Heaven's Soldiers experts have also revealed a hint of anger on his face, the atmosphere immediately embarrassed.<br>'Ha
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A '''representative disk''' is a three-[[dimension]]al [[volume element]] of a solid of revolution.  The element is created by [[rotation|rotating]] a [[line segment]] (of [[length]] ''w'') around some axis (located ''r'' units away), so that a [[cylinder (geometry)|cylindrical]] [[volume]] of ''&pi;''&int;''r''<sup>2</sup>''w'' units is enclosed.
== that is called 'Yuan No War ==


==Finding the volume==
'Run, which is a virtual no Shame cents Yuan Yuan Shinko's brother, commanding millions of Yaozu, he makes a burn day tuna,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-22.html pradaの財布], goods must Tao!' Unending Goddess, alarmed,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-35.html prada 長財布], wanted to run are not run .<br>'This is no big deal!' Fang cold one pointing out that the middle finger tip, Boo is heard,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-30.html プラダ ハンドバッグ], all spear change,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-22.html prada 新作 財布], and every time he stop living,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-35.html prada スタッズ 財布], that is called 'Yuan No War,' the man shuddered , only to feel his spear force is distorted, even dish Tao's 'burn Japanese tuna' are beginning to bend them.<br>This 'burn day tuna' dish channel, wherein the seed law, although there are in the world, but did not evolve to the world, but concentrated at one point, change has become the most aggressive, most killings of broken road kill.<br>on chaos and big thunder sword, all the rules are used to attack, and there is no defense, storing objects in which the practice functions.<br>Because of this, lethal giant
Two common methods for finding the volume of a solid of revolution are the disc method and the shell method of integration. To apply these methods, it is easiest to draw the graph in question; identify the area that is to be revolved about the axis of revolution; determine the volume of either a disc-shaped slice of the solid, with thickness ''δx'', or a cylindrical shell of width ''δx''; and then find the limiting sum of these volumes as ''δx'' approaches 0, a value which may be found by evaluating a suitable integral.  
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</ul>


===Disc method===
== は、火と水の翼があった、2つのチャネルは、絶対の積である ==
[[File:Disc integration.svg|thumb|right|Disc integration about the y-axis]]
{{main|Disk integration}}


The disc method is used when the slice that was drawn is ''perpendicular to'' the axis of revolution; i.e. when integrating ''parallel to'' the axis of revolution.
素晴らしい雰囲気の世界の起源だけでなく、ピアスは彼の体に入って来た。<br>8仏、それは狭く、彼の宮殿の丸薬にシルバーパゴダ、泥の頭になる,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-23.html prada 財布 通販]。彼に着用する衣服への死の姿,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-31.html 財布 ブランド プラダ]。<br>しゃぶしゃぶ！ 彼の後ろ<br>は、火と水の翼があった、2つのチャネルは、絶対の積である,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-35.html prada スタッズ 財布]。唯一の翼は、それは、広大な空に法律誰の転用姿を消し、彼らは彼のスピードに追いつくことができない、それのパワーとの間の羽ばたき翼のこのペアは、制限を破ることで、嵐の空間速度は、単に自分の影を見熟考、若干のちらつきです,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-35.html プラダ スタッズ 財布]。<br>彼は再び理解世界を飛んでいる,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-32.html プラダ 迷彩 財布]。<br>ていない半時間は、無限の星、無限の空間、体の遠い理解大宇宙を乗り越え、私たちの前に現れた。チュアンSongzhenは、数多くの惑星の周りに、まだ出入り点滅、多くの僧侶たちは、商業サイト、僧侶に駆けつけ
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The volume of the solid formed by rotating the area between the curves of <math>f(x)</math> and <math>g(x)</math> and the lines <math>x=a</math> and <math>x=b</math> about the ''x''-axis is given by
== '魔法の中で ==
:<math>V = \pi \int_a^b \vert f^2(x) - g^2(x)\vert\,dx</math>
If ''g''(''x'') = 0 (e.g. revolving an area between curve and ''x''-axis), this reduces to:
:<math>V = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx \qquad (1)</math>


The method can be visualized by considering a thin horizontal rectangle at ''y'' between <math>y=f(x)</math> on top and <math>y=g(x)</math> on the bottom, and revolving it about the ''y''-axis; it forms a ring (or disc in the case that <math>g(x) = 0</math>), with outer radius ''f''(''x'') and inner radius ''g''(''x'').  The area of a ring is <math>\pi (R^2 - r^2)</math>, where ''R'' is the outer radius (in this case ''f''(''x'')), and ''r'' is the inner radius (in this case ''g''(''x'')). Summing up all of the areas along the interval gives the total volume. Alternatively, where each disc has a radius of ''f''(''x''), the discs approach perfect cylinders as their height ''dx'' approaches zero. The volume of each infinitesimal disc is therefore <math>\pi f^2(x) dx</math>. An infinite sum of the discs between ''a'' and ''b'' manifests itself as integral (1).
山は、彼らはそのようなヘビシャトルなどの明るい星が飛んでいるのを見、強力な魔法のガスながら、Xuexingチー、Xiongsha暴力的なガスの吹き付けは、波を転がり、明らかに悪魔をたくさん集めました,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-22.html pradaの財布]。 それをリッピング<br>点滅して、白い羽の<br>少ない手持ちの武器、強い風が、吹いて轟音は、夜叉飛ん長い白髪の頭であることが判明した,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-35.html プラダ 財布 新作]。 夜叉飛行<br>は、シニア地下悪魔は、高強度、匹敵する滑空鳥を強制する、人々の間で一般的には人間と同等のものを存在すると考えることができる。しかし、体が暗い夜叉スケールを飛んでいる、正方形の寒さが長すぎる白髪を見たことがない,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-24.html プラダ 財布 値段]。<br>「白髪飛ん硬い,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-28.html prada ピンク 財布]！ '<br>がこれらを見た」夜叉フライング白髪を、「赤いプリンセス李は、体が、ハウリング、叫んだ「これは魔法皇帝の血統を持つ男性の魔法の地下の貴族、王室の弟子と同等です！ ' 貴族の<br>'魔法の中で,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-33.html 財布 プラダ レディース]？魔法皇帝降下
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===Cylinder method===
==  とにかく、 ==
[[File:Shell integration.svg|thumb|right|Shell integration]]
{{main|Shell integration}}


The cylinder method is used when the slice that was drawn is ''parallel to'' the axis of revolution; i.e. when integrating ''perpendicular to'' the axis of revolution.
後述の直接攻撃、直接祝福、本体の天安ゴングサブ半人半の長さは、小さな運命手術で死んでいる,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-29.html プラダ スタッズ 財布]。 今<br>、ほぼ同じサブ司馬天安ゴングチョン、香港天津2は、2つの極性スター宮殿はほとんど天才です,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-34.html prada]。血液の無数のグループ雪呉シャワーの肉と血の断片にボディブローの後にも耐える,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-32.html プラダ 財布 リボン]。<br>今飲み込んだ小さな正方形冷たい運命手術は、もともと簡潔な作り、何倍も強力な知らないときよりも、より強力な、種子の魔法のマークの無数が含まれているどのように多くの超自然的な力の種類がわからない。特に、手術後に奇妙な変化を果たした小さな運命を生まれている」絶妙な大羅時代」と飲み込んだ、より洗練されたようです,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-25.html プラダ レディース 財布]。 魔法の天津フラッド保護をたくさん持っているだけでなく、耐えるように司馬チョン、しかしストライキ、このような強力な少し宿命手術を<br>,[http://www.aseanacity.com/webalizer/prada-bags-33.html プラダ メンズ ベルト]。 とにかく、<br>の後、彼らは揚げボール雪呉、コンデンセートの暴力的な簡潔なボディに、不死に入ってくるされています
 
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The volume of the solid formed by rotating the area between the curves of <math>f(x)</math> and <math>g(x)</math> and the lines <math>x=a</math> and <math>x=b</math> about the ''y''-axis is given by
<ul>
:<math>V = 2\pi \int_a^b x\vert f(x) - g(x)\vert\,dx</math>
 
If ''g''(''x'') = 0 (e.g. revolving an area between curve and ''y''-axis), this reduces to:
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:<math>V = 2\pi \int_a^b x \vert f(x) \vert \,dx</math>
 
 
  <li>[http://www.singkreis-frohsinn.de/cgi-bin/gaestebuch/index.cgi 私たちは慕容王子Taizhanshenwei、風のエッジが]</li>
The method can be visualized by considering a thin vertical rectangle at ''x'' with height <math>[f(x) - g(x)]</math>, and revolving it about the ''y''-axis; it forms a cylindrical shell. The lateral surface area of a cylinder is <math>2\pi rh</math>, where ''r'' is the radius (in this case ''x''), and ''h'' is the height (in this case <math>[f(x) - g(x)]</math>).  Summing up all of the surface areas along the interval gives the total volume.
 
 
  <li>[http://www.showcase-usa.com/cgi-bin/classifieds/classifieds.cgi 'あなたは屈辱を感じていない方は、正確に何を感じ、運命は私]</li>
==Parametric form==
 
When a curve is defined by its parametric form <math>(x(t),y(t))</math> in some interval <math>[a,b]</math>, the volumes of the solids generated by revolving the curve around the ''x''-axis, resp. the ''y''-axis are given by<ref>{{cite book
</ul>
|title=Application Of Integral Calculus
|first1=A.K.
|last1=Sharma
|publisher=Discovery Publishing House
|year=2005
|isbn=81-7141-967-4
|page=168
|url=http://books.google.com/books?id=V_WxjYMKuUAC}}, [http://books.google.com/books?id=V_WxjYMKuUAC&pg=PA168 Chapter 3, page 168]
</ref>
:<math>V_{x} = \int_a^b \, \pi \, y^2 \, \frac{dx}{dt} \, dt</math>
 
:<math>V_{y} = \int_a^b \pi \, \, x^2 \, \frac{dy}{dt} \, dt .</math>
 
Under the same circumstances the areas of the surfaces of the solids generated by revolving the curve around the x-axis, resp. the y-axis are given by<ref>{{cite book
|title=Engineering Mathematics
|edition=6
|author=Singh
|publisher=Tata McGraw-Hill
|year=1993
|isbn=0-07-014615-2
|page=6.90
|url=http://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC}}, [http://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg=SA6-PA90 Chapter 6, page 6.90]
</ref>
:<math>A_{x} = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt</math>
 
:<math>A_{y} = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt</math>
 
==See also==
* [[Gabriel's Horn]]
* [[Guldinus theorem]]
* [[Pseudosphere]]
* [[Surface of revolution]]
 
==Notes==
{{reflist}}
 
== References ==
*CliffsNotes.com. Volumes of Solids of Revolution. 12 Apr 2011 <http://www.cliffsnotes.com/study_guide/topicArticleId-39909,articleId-39907.html>.
*Frank Ayres, Elliott Mendelson:''Schaum's outlines: Calculus''. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244-248 ({{Google books|Ag26M8TII6oC|online copy|page=244}})
*{{MathWorld |id=SolidofRevolution |title=Solid of Revolution}}
 
==External links==
* [http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/MSS/sor.html Plot a solid of revolution]
* [http://www.emathhelp.net/notes?nid=133 Rotating Solid around Slant Line]
 
[[Category:Integral calculus]]

Latest revision as of 18:01, 25 December 2014

forever

, And that the sword word, integrity, awe-inspiring, large Gang, forever,プラダ人気財布, represents a gentleman's mood.
'Also, the party did not need to worry about the cold brother, all masters of our prize, the cast pushed the root of the altar, will force the first infusion to achieve their body, making their magic promotion, now on ten Dianmu Heaven's Soldiers five eras repair it, perfusion through our baptism, and will definitely break through sixteen era,prada スタッズ 財布, which is a big advantage. '
beast for that generous plan to stabilize the cold side,prada スタッズ 財布, started a lot of charity,プラダ 財布 迷彩, the promise of endless benefits.
'I also was planted on the fairy king Bana flesh!' big hands grasping the cold side, a group of fairy king distant flesh,プラダ 財布 スタッズ, Bana would fall into their hands, revenue body.
beast, quite ancestors, demon Lord's face are slight changes, many of Heaven's Soldiers experts have also revealed a hint of anger on his face, the atmosphere immediately embarrassed.
'Ha 相关的主题文章：

that is called 'Yuan No War

'Run, which is a virtual no Shame cents Yuan Yuan Shinko's brother, commanding millions of Yaozu, he makes a burn day tuna,pradaの財布, goods must Tao!' Unending Goddess, alarmed,prada 長財布, wanted to run are not run .
'This is no big deal!' Fang cold one pointing out that the middle finger tip, Boo is heard,プラダ ハンドバッグ, all spear change,prada 新作 財布, and every time he stop living,prada スタッズ 財布, that is called 'Yuan No War,' the man shuddered , only to feel his spear force is distorted, even dish Tao's 'burn Japanese tuna' are beginning to bend them.
This 'burn day tuna' dish channel, wherein the seed law, although there are in the world, but did not evolve to the world, but concentrated at one point, change has become the most aggressive, most killings of broken road kill.
on chaos and big thunder sword, all the rules are used to attack, and there is no defense, storing objects in which the practice functions.
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は、火と水の翼があった、2つのチャネルは、絶対の積である

素晴らしい雰囲気の世界の起源だけでなく、ピアスは彼の体に入って来た。
8仏、それは狭く、彼の宮殿の丸薬にシルバーパゴダ、泥の頭になる,prada 財布 通販。彼に着用する衣服への死の姿,財布 ブランド プラダ。
しゃぶしゃぶ！ 彼の後ろ
は、火と水の翼があった、2つのチャネルは、絶対の積である,prada スタッズ 財布。唯一の翼は、それは、広大な空に法律誰の転用姿を消し、彼らは彼のスピードに追いつくことができない、それのパワーとの間の羽ばたき翼のこのペアは、制限を破ることで、嵐の空間速度は、単に自分の影を見熟考、若干のちらつきです,プラダ スタッズ 財布。
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'魔法の中で

山は、彼らはそのようなヘビシャトルなどの明るい星が飛んでいるのを見、強力な魔法のガスながら、Xuexingチー、Xiongsha暴力的なガスの吹き付けは、波を転がり、明らかに悪魔をたくさん集めました,pradaの財布。 それをリッピング
点滅して、白い羽の
少ない手持ちの武器、強い風が、吹いて轟音は、夜叉飛ん長い白髪の頭であることが判明した,プラダ 財布 新作。 夜叉飛行
は、シニア地下悪魔は、高強度、匹敵する滑空鳥を強制する、人々の間で一般的には人間と同等のものを存在すると考えることができる。しかし、体が暗い夜叉スケールを飛んでいる、正方形の寒さが長すぎる白髪を見たことがない,プラダ 財布 値段。
「白髪飛ん硬い,prada ピンク 財布！ '
がこれらを見た」夜叉フライング白髪を、「赤いプリンセス李は、体が、ハウリング、叫んだ「これは魔法皇帝の血統を持つ男性の魔法の地下の貴族、王室の弟子と同等です！ ' 貴族の
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 とにかく、

後述の直接攻撃、直接祝福、本体の天安ゴングサブ半人半の長さは、小さな運命手術で死んでいる,プラダ スタッズ 財布。 今
、ほぼ同じサブ司馬天安ゴングチョン、香港天津2は、2つの極性スター宮殿はほとんど天才です,prada。血液の無数のグループ雪呉シャワーの肉と血の断片にボディブローの後にも耐える,プラダ 財布 リボン。
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