Shear modulus: Difference between revisions

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{{refimprove|date=June 2013}}
== Gucci Gürtel Günstig Würmer ==
[[Image:Roessler attractor.png|right|thumb|The Rössler attractor]]
[[Image:RosslerStereo.png|thumb|right|Rössler attractor as a [[stereogram]] with <math>a=0.2</math>, <math>b=0.2</math>, <math>c=14</math>]]
The '''Rössler attractor''' {{IPAc-en|ˈ|r|ɒ|s|l|ər}} is the [[attractor]] for the '''Rössler system''', a system of three [[non-linear dynamics|non-linear]] [[ordinary differential equation]]s originally studied by [[Otto Rössler]].<ref name="r76">{{citation
| last = Rössler | first = O. E. | author-link = Otto Rössler
  | issue = 5
| journal = [[Physics Letters]]
| pages = 397–398
| title = An Equation for Continuous Chaos
| volume = 57A
| year = 1976}}.</ref><ref name="r79">{{citation
| last = Rössler | first = O. E. | author-link = Otto Rössler
| issue = 2,3
| journal = [[Physics Letters]]
| pages = 155–157
| title = An Equation for Hyperchaos
| volume = 71A
| year = 1979}}.</ref>  These differential equations define a [[continuous-time dynamical system]] that exhibits [[Chaos theory|chaotic]] dynamics associated with the [[fractal]] properties of the attractor.<ref name="cfnf">{{citation
| last1 = Peitgen | first1 = Heinz-Otto | author1-link = Heinz-Otto Peitgen
| last2 = Jürgens | first2 = Hartmut | author2-link = Hartmut Jürgens
| last3 = Saupe | first3 = Dietmar | author3-link = Dietmar Saupe
| contribution = 12.3 The Rössler Attractor
| pages = 636–646
| publisher = Springer
| title = Chaos and Fractals: New Frontiers of Science
| year = 2004}}.</ref>


Some properties of the Rössler system can be deduced via linear methods such as [[eigenvector]]s, but the main features of the system require non-linear methods such as [[Poincaré map]]s and [[bifurcation diagram]]s. The original Rössler paper states the Rössler attractor was intended to behave similarly to the [[Lorenz attractor]], but also be easier to analyze qualitatively.<ref name="r76"/> An orbit within the attractor follows an outward spiral close to the <math>x, y</math> plane around an unstable fixed point. Once the graph spirals out enough, a second fixed point influences the graph, causing a rise and twist in the <math>z</math>-dimension. In the time domain, it becomes apparent that although each variable is oscillating within a fixed range of values, the oscillations are chaotic. This attractor has some similarities to the Lorenz attractor, but is simpler and has only one [[manifold]]. [[Otto Rössler]] designed the Rössler attractor in 1976,<ref name="r76"/> but the originally theoretical equations were later found to be useful in modeling equilibrium in chemical reactions.
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  <li>[http://www.wjiaq.com/news/html/?378913.html http://www.wjiaq.com/news/html/?378913.html]</li>
 
  <li>[http://www.917yx.net/forum.php?mod=viewthread&tid=178154&fromuid=930 http://www.917yx.net/forum.php?mod=viewthread&tid=178154&fromuid=930]</li>
 
  <li>[http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/ http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18213367 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18213367]</li>
 
  <li>[http://www.cantspellaweso.me/node/50#comment-28844642 http://www.cantspellaweso.me/node/50#comment-28844642]</li>
 
</ul>


==Definition==
== Nike Air Max Reduziert Doch ==
The defining equations of the Rössler system are:<ref name="cfnf"/>


<math> \begin{cases}  \frac{dx}{dt} = -y - z \\ \frac{dy}{dt} = x + ay \\ \frac{dz}{dt} = b + z(x-c) \end{cases} </math>
Ich habe mehr Pläne für meine Zukunft, aber das ist ein Sprungbrett Ich glaube, ich muss dauern). Diese so genannte Diskrepanz wurde mir von Oberaufsicht, die versuchen, mich Haken mit einem PCS-Medaille gebracht. Bales, sagte das Justizministerium hatte Anhaltspunkte dafür, dass Probleme mit I 9 Formen verwendet werden, um Beschäftigung Förderfähigkeit überprüfen und Visa-Formulare waren an der Tagesordnung in der Tech-Dienstleistungsbranche. Ich benutze Silikonspray, damit die Abdeckung leichter drehen. <br><br>Gesiebt, um Verunreinigungen keine gewährleisten. Von der ersten Winter auf, begann es auf der Suche nach schlechter. Diese können in ein paar Möglichkeiten schlecht gehen manchmal das Loch bekommt Ei geformt und rutscht auf der Welle, [http://www.schuerer-benz.de/old/Includes/session.asp Nike Air Max Reduziert] Kunststoff Risse, Brüche usw. Gummistück.. <br><br>Ich habe geringes Vertrauen mein Leben hatte, aber wenn ich es brauche ich step up (für die Wirtschaft). Boni sind willkommen, wenn ich euch sehr geholfen, aber sie sind nicht zwingend erforderlich. Es klingt sicherlich wie eine allergische Reaktion, die Medizin zu vermuten wäre Percocet (Oxycodon) oder Hydrocodon (Codein-Allergie) oder die Toradol sein. Ich hoffe, dass alles klappt. <br><br>Doch, wenn sie die Instrumente und Medikamente, um mir zu helfen. Sie können auf dem Forum zurück, um den Status ihrer Untersuchung zu überprüfen. Der Brenner wird nur ausgeführt, bis der Kessel steht auf, um hallo Grenztemperatur dann schaltet sie sich ab, bis die Kesseltemperatur sinkt. Die auf mich ok! Kuwabara schrie auf ihn zu. <br><br>Die EF0 Code war Zeuge von mir, wenn es gefüllt ist, aufgeregt und konnte dann drehen. [http://www.forumlebensfreude.ch/download/termine/pear.asp Longchamp Le Pliage] Bitte lassen Sie mich wissen, ob es noch irgendeine Ausgabe später. In den vergangenen zwei Jahren hat sich die Obama-Regierung heimlich entwickelt sich eine neue Blaupause für die Verfolgung Terroristen, eine nächste Generation Targeting-Liste genannt Matrix. Der Keller-Zone hatte ein rundes, Analog-Thermostat Honeywell (keine Schalter, nur Einstellrad auf der Oberseite und aktuelle Temperatur auf der Unterseite) mit zwei Drähten an der Rückseite (eine rote, eine gelblich-weiß) verbunden ist.. <br><br>Diese vier Geschichten auszudrücken, was es bedeutet, zu leben, gebunden an dem Fluss der Zeit. Ist er erlaubt, diese Art von Aussagen in seiner Linie der Arbeit zu machen? Er war sehr profane und klar, dass er zu Verletzungen, uns verbal führen wollte, aber nichts physisch zu tun.. <br><br>Die nächste [http://www.bombsquadmma.com/header/content.html Nike Shox Damen] Sicherung zu überprüfen, ist 225 2A in der zentralen Verteilerkasten (CJB). Sie müssten, um zu einem Fachgeschäft gehen [http://www.bostontkd.net/photogallery/include/filter.php Louis Vuitton Shoes] Feed. Das ist ein toller Service. Die Art und Weise, dass dies funktioniert, ist, dass sie einen Blick auf Ihre Finanzen und arbeiten sowohl mit Ihnen und Ihren Gläubigern, einen Tilgungsplan, der für Sie arbeitet..<ul>
 
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  <li>[http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/ http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/]</li>
 
</ul>


Otto E. Rössler studied the [[chaotic attractor]] with <math>a = 0.2</math>, <math>b = 0.2</math>, and <math>c = 5.7</math>, though properties of <math>a = 0.1</math>, <math>b = 0.1</math>, and <math>c = 14</math> have been more commonly used since. Another line of the parameter space was investigated using the topological analysis. It corresponds to <math>b = 2</math>, <math>c = 4</math>, and <math>a</math> was chosen as the bifurcation parameter.<ref>{{cite journal|last=Letellier|first=C.|coauthors=P. Dutertre & B. Maheu|title=Unstable periodic orbits and templates of the Rössler system: toward a systematic topological characterization|journal=Chaos|year=1995|volume=5|issue=1|pages=272–281|url=http://chaos.aip.org/resource/1/chaoeh/v5/i1/p271_s1?isAuthorized=no}}</ref> How Rössler discovered this set of equations was investigated in.<ref>{{cite journal|last=Letellier|first=C.|coauthors=V. Messager|title=Influences on Otto E. Rössler’s earliest paper on chaos|journal=International Journal of Bifurcation & Chaos|year=2010|volume=20|issue=11|pages=3585–3616|url=http://dblp.uni-trier.de/db/journals/ijbc/ijbc20.html#LetellierM10}}</ref>
== Ralph Lauren Hemd  der weiß ==


== An analysis ==
Von Reps Die hohe Energie Ruck von der Gitarre infundiert Hymnen sind besonders beliebt Led .. Als wir auf einer fast leeren playa in den letzten Augenblicken ging kurz vor Sonnenaufgang konnte ich nicht helfen, aber schwelgen in dem Gedanken, dass letzte Nacht, trafen für neue Liebhaber . <br><br>Mehr als resistent, wie viele Wochen Sie rufen verursacht ist, wie viele Anwendungen, die Sie mit Ihrer Kern .. Wenn Ihr Körper nicht genug Nahrung [http://www.martialartsconvention.com/count-down/js/misc/router.asp Ralph Lauren Hemd] bekommen, und Sie [http://www.akfathens.com/photogallery/galleries/database.php Hollister Köln] die Anzahl der Kalorien, die Sie essen zu beschränken, hemmt es die Freisetzung von Hormonen, die der Körper braucht für den Eisprung akzeptieren . <br><br>Warum? Da diese Lehren sind äußerst unbeliebt, und wo immer sie versucht sind, werden sie erbitterten Widerstand. Die nächsten paar Jahre später eine "AI Winter" genannt werden, [29] eine Zeit, als die Finanzierung für Projekte AI war schwer, die Anfang der 1980er Jahre find.In wurde KI-Forschung durch den kommerziellen Erfolg von Expertensystemen, [30] ein wiederbelebt . <br><br>Ihr fünftes LP mit dem Titel "Beyoncé" und kennzeichnet Tracks mit Jay Z, Drake, Frank Ozean und der Sängerin Tochter Blue Ivy .. Wenn Sie finden, Sie Probleme mit Aufenthalt auf einer täglichen Pille, auf Ihr Dokument über andere Formen der sprechen Geburtenkontrolle .. <br><br>Oder vielleicht sind sie alle Bombe Techniker und sie mussten diffuse Sprengstoff irgendwo hin. Er sagte, dass das Fehlen einer solchen Freiheit gezwungen Wikipedia ", das siebte häufigsten aufgerufenen Website", um alle Bilder der modernen italienischen Gebäude und Kunst verbieten, und behauptete, das war enorm schädlich für [http://www.unifiedmartialart.com/news/define.html Nike Heels] Tourismuseinnahmen. <br><br>Es könnte auch kostete uns viel weniger Geld. Die Neponset Fluss bildet die Grenze zwischen Boston südlichen Stadtviertel und der Stadt Quincy und der Stadt Milton. Es kommt für die Beurteilung der Gefahr der Kohlendioxid-Emissionen müssen solche Worst-Case-Szenarien berücksichtigt werden. Ive hurd viel ja und nein, aber ich möchte jemanden, der weiß, was theyre plz sprechen. <br><br>Startseite Abnehmer entfielen mehr als 90% aller neuen Hypotheken-Kredit mit den restlichen, die sich von oben bis Hypotheken gemacht und neu mortgaging.Director von Opes Wealth Trust, Frank Kenny, der die Höhe der Hypothek Draw Downs war noch ein langer Weg vor, was würde eine funktionierende Hypothekenmarkt darstellen. "Während die scheinbare Wachstum von 56% auf Q1 klingt gut, sollte daran erinnert werden, dass Q1 2013 war schlechter als sonst mit vielen Anwendungen zog in Q4 2012 in [http://www.pla-text.de/header/active.html Nike Air Max 90] den Steueranreiz, der am Ende des Jahres 2012 abgelaufen erfassen .<ul>
[[Image:RosslerstdXY.png|framed|<math>x,y</math> plane of Rössler attractor with <math>a=0.2</math>, <math>b=0.2</math>, <math>c=5.7</math>]]
 
Some of the Rössler attractor's elegance is due to two of its equations being linear; setting <math>z = 0</math>, allows examination of the behavior on the <math>x, y</math> plane
  <li>[http://www.my9ye.com/news/html/?32214.html http://www.my9ye.com/news/html/?32214.html]</li>
 
 
<math> \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y \\ \frac{dy}{dt} = x + ay \end{cases} </math>
  <li>[http://youiv.com/home.php?mod=spacecp&ac=blog&blogid= http://youiv.com/home.php?mod=spacecp&ac=blog&blogid=]</li>
 
 
The stability in the <math>x, y</math> plane can then be found by calculating the [[eigenvalues]] of the [[Jacobian]] <math>\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & a\\\end{pmatrix}</math>, which are <math>(a \pm \sqrt{a^2 - 4})/2</math>. From this, we can see that when <math>0 < a < 2</math>, the eigenvalues are complex and both have a positive real component, making the origin unstable with an outwards spiral on the <math>x, y</math> plane. Now consider the <math>z</math> plane behavior within the context of this range for <math>a</math>. So long as <math>x</math> is smaller than <math>c</math>, the <math>c</math> term will keep the orbit close to the <math>x, y</math> plane. As the orbit approaches <math>x</math> greater than <math>c</math>, the <math>z</math>-values begin to climb. As <math>z</math> climbs, though, the <math>-z</math> in the equation for <math>dx/dt</math> stops the growth in <math>x</math>.
  <li>[http://www.erji88.com/forum.php?mod=viewthread&tid=47044&fromuid=3110 http://www.erji88.com/forum.php?mod=viewthread&tid=47044&fromuid=3110]</li>
 
 
=== Fixed points ===
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18507149 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18507149]</li>
In order to find the fixed points, the three Rössler equations are set to zero and the (<math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>) coordinates of each fixed point were determined by solving the resulting equations. This yields the general equations of each of the fixed point coordinates:
 
 
  <li>[http://www.xn--siqr3y30jp5c.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=283292&fromuid=1511 http://www.xn--siqr3y30jp5c.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=283292&fromuid=1511]</li>
<math> \begin{cases} x = \frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2} \\ y=-\left(\frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right) \\ z=\frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a} \end{cases} </math>
 
 
</ul>
Which in turn can be used to show the actual fixed points for a given set of parameter values:
: <math>\left(\frac{c+\sqrt{c^2-4ab}}{2}, \frac{-c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}, \frac{c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)</math>
: <math>\left(\frac{c-\sqrt{c^2-4ab}}{2}, \frac{-c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a}, \frac{c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)</math>
 
As shown in the general plots of the Rössler Attractor above, one of these fixed points resides in the center of the attractor loop and the other lies comparatively removed from the attractor.
 
=== Eigenvalues and eigenvectors ===
The stability of each of these fixed points can be analyzed by determining their respective eigenvalues and eigenvectors. Beginning with the Jacobian:
<math>\begin{pmatrix}0 & -1 & -1 \\ 1 & a & 0 \\ z & 0 & x-c\\\end{pmatrix}</math>
 
the eigenvalues can be determined by solving the following cubic:
 
<math>-\lambda^3+\lambda^2(a+x-c) + \lambda(ac-ax-1-z)+x-c+az =0\,</math>
 
For the centrally located fixed point, Rössler’s original parameter values of a=0.2, b=0.2, and c=5.7 yield eigenvalues of:
: <math>\lambda_{1}= 0.0971028 + 0.995786i \,</math>
: <math>\lambda_{2}= 0.0971028 - 0.995786i \,</math>
: <math>\lambda_{3}=  -5.68718 \,</math>
(Using Mathematica 7)
 
The magnitude of a negative eigenvalue characterizes the level of attraction along the corresponding eigenvector.  Similarly the magnitude of a positive eigenvalue characterizes the level of repulsion along the corresponding eigenvector.
 
The eigenvectors corresponding to these eigenvalues are:
: <math>v_{1}= \begin{pmatrix} 0.7073 \\ -0.07278 - 0.7032i \\ 0.0042 - 0.0007i \\\end{pmatrix}</math>
: <math>v_{2}= \begin{pmatrix}0.7073 \\ 0.07278 + 0.7032i \\ 0.0042 + 0.0007i \\\end{pmatrix}</math>
: <math>v_{3}= \begin{pmatrix}0.1682 \\ -0.0286 \\ 0.9853 \\\end{pmatrix}</math>
[[Image:Eigenvectors.png|thumb|right|Examination of central fixed point eigenvectors: The blue line corresponds to the standard Rössler attractor generated with <math>a=0.2</math>, <math>b=0.2</math>, and <math>c=5.7</math>.]]
[[Image:Rosslerstd3D.png|framed|Rössler attractor with <math>a=0.2</math>, <math>b=0.2</math>, <math>c=5.7</math>]]
These eigenvectors have several interesting implications. First, the two eigenvalue/eigenvector pairs (<math>v_{1}</math> and <math>v_{2}</math>) are responsible for the steady outward slide that occurs in the main disk of the attractor.  The last eigenvalue/eigenvector pair is attracting along an axis that runs through the center of the manifold and accounts for the z motion that occurs within the attractor.  This effect is roughly demonstrated with the figure below. 
 
The figure examines the central fixed point eigenvectors. The blue line corresponds to the standard Rössler attractor generated with <math>a=0.2</math>, <math>b=0.2</math>, and <math>c=5.7</math>. The red dot in the center of this attractor is <math>FP_{1}</math>.  The red line intersecting that fixed point is an illustration of the repulsing plane generated by <math>v_{1}</math> and <math>v_{2}</math>.  The green line is an illustration of the attracting <math>v_{3}</math>.  The magenta line is generated by stepping backwards through time from a point on the attracting eigenvector which is slightly above <math>FP_{1}</math> – it illustrates the behavior of points that become completely dominated by that vector.  Note that the magenta line nearly touches the plane of the attractor before being pulled upwards into the fixed point; this suggests that the general appearance and behavior of the Rössler attractor is largely a product of the interaction between the attracting <math>v_{3}</math> and the repelling <math>v_{1}</math> and <math>v_{2}</math> plane.  Specifically it implies that a sequence generated from the Rössler equations will begin to loop around <math>FP_{1}</math>, start being pulled upwards into the <math>v_{3}</math> vector, creating the upward arm of a curve that bends slightly inward toward the vector before being pushed outward again as it is pulled back towards the repelling plane.
 
For the outlier fixed point, Rössler’s original parameter values of <math>a=0.2</math>, <math>b=0.2</math>, and <math>c=5.7</math> yield eigenvalues of:
: <math>\lambda_{1}= -0.0000046 + 5.4280259i</math>
: <math>\lambda_{2}= -0.0000046 - 5.4280259i </math>
: <math>\lambda_{3}=  0.1929830</math>
 
The eigenvectors corresponding to these eigenvalues are:
: <math>v_{1}= \begin{pmatrix}0.0002422 + 0.1872055i \\ 0.0344403 - 0.0013136i \\ 0.9817159 \\\end{pmatrix}</math>
: <math>v_{2}= \begin{pmatrix}0.0002422 - 0.1872055i \\ 0.0344403 + 0.0013136i \\ 0.9817159 \\\end{pmatrix}</math>
: <math>v_{3}= \begin{pmatrix}0.0049651 \\ -0.7075770 \\ 0.7066188 \\\end{pmatrix}</math>
 
Although these eigenvalues and eigenvectors exist in the Rössler attractor, their influence is confined to iterations of the Rössler system whose initial conditions are in the general vicinity of this outlier fixed point.  Except in those cases where the initial conditions lie on the attracting plane generated by <math>\lambda_{1}</math> and <math>\lambda_{2}</math>, this influence effectively involves pushing the resulting system towards the general Rössler attractor.  As the resulting sequence approaches the central fixed point and the attractor itself, the influence of this distant fixed point (and its eigenvectors) will wane.
 
=== Poincaré map ===
[[Image:Poincare2.png|framed|Poincaré map for Rössler attractor with <math>a=0.1</math>, <math>b=0.1</math>, <math>c=14</math>]]
The [[Poincaré map]] is constructed by plotting the value of the function every time it passes through a set plane in a specific direction.  An example would be plotting the <math>y, z</math> value every time it passes through the <math>x = 0</math> plane where <math>x</math> is changing from negative to positive, commonly done when studying the Lorenz attractor. In the case of the Rössler attractor, the <math>x = 0</math> plane is uninteresting, as the map always crosses the <math>x = 0 </math> plane at <math>z = 0</math> due to the nature of the Rössler equations. In the <math>x=0.1</math> plane for <math>a=0.1</math>, <math>b=0.1</math>, <math>c=14</math>, the Poincaré map shows the upswing in <math>z</math> values as <math>x</math> increases, as is to be expected due to the upswing and twist section of the Rössler plot. The number of points in this specific Poincaré plot is infinite, but when a different <math>c</math> value is used, the number of points can vary. For example, with a <math>c</math> value of 4, there is only one point on the Poincaré map, because the function yields a periodic orbit of period one, or if the <math>c</math> value is set to 12.8, there would be six points corresponding to a period six orbit.
 
=== Mapping local maxima ===
[[Image:Tentmap.png|framed|<math>Z_n</math> vs. <math>Z_{n+1}</math>]]
In the original paper on the Lorenz Attractor,<ref>{{citation
| last = Lorenz | first = E. N. | author-link = Edward Norton Lorenz
| bibcode=1963JAtS...20..130L
| doi = 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
| issue = 2
| journal = [[J. Atmos. Sci.]]
| pages = 130–141
| title = Deterministic nonperiodic flow
| volume = 20
| year = 1963}}.</ref> [[Edward Lorenz]] analyzed the local maxima of <math>z</math> against the immediately preceding local maxima. When visualized, the plot resembled the tent map, implying that similar analysis can be used between the map and attractor. For the Rössler attractor, when the <math>z_n</math> local maximum is plotted against the next local <math>z</math> maximum, <math>z_{n+1}</math>, the resulting plot
(shown here for <math>a=0.2</math>, <math>b=0.2</math>, <math>c=5.7</math>) is unimodal, resembling a skewed [[Hénon map]].  Knowing that the Rössler attractor can be used to create a pseudo 1-d map, it then follows to use similar analysis methods. The bifurcation diagram is specifically a useful analysis method.
 
===Variation of parameters===
Rössler attractor's behavior is largely a factor of the values of its constant parameters <math>a</math>, <math>b</math>, and <math>c</math>. In general, varying each parameter has a comparable effect by causing the system to converge toward a periodic orbit, fixed point, or escape towards infinity, however the specific ranges and behaviors induced vary substantially for each parameter.  Periodic orbits, or "unit cycles," of the Rössler system are defined by the number of loops around the central point that occur before the loops series begins to repeat itself.
 
[[Bifurcation diagram]]s are a common tool for analyzing the behavior of [[dynamical system]]s, of which the Rössler attractor is one. They are created by running the equations of the system, holding all but one of the variables constant and varying the last one. Then, a graph.is plotted of the points that a particular value for the changed variable visits after transient factors have been neutralised. Chaotic regions are indicated by filled-in regions of the plot.
 
====Varying a====
Here, <math>b</math> is fixed at 0.2, <math>c</math> is fixed at 5.7 and <math>a</math> changes. Numerical examination of the attractor's behavior over changing <math>a</math> suggests it has a disproportional influence over the attractor's behavior. The results of the analysis are:
* <math>a \leq 0</math>: Converges to the centrally located fixed point
* <math>a = 0.1 </math>: Unit cycle of period 1
* <math>a = 0.2 </math>: Standard parameter value selected by Rössler, chaotic
* <math>a = 0.3</math>: Chaotic attractor, significantly more [[Möbius strip]]-like (folding over itself).
* <math>a = 0.35</math>: Similar to .3, but increasingly chaotic
* <math>a = 0.38</math>: Similar to .35, but increasingly chaotic.
 
====Varying b====
[[Image:Bifurcation DiagramB.png|thumb|Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying <math>b</math>]]
Here, <math>a</math> is fixed at 0.2, <math>c</math> is fixed at 5.7 and <math>b</math> changes. As shown in the accompanying diagram, as <math>b</math> approaches 0 the attractor approaches infinity (note the upswing for very small values of <math>b</math>.  Comparative to the other parameters, varying <math>b</math>  generates a greater range when period-3 and period-6 orbits will occur.  In contrast to <math>a</math> and <math>c</math>, higher values of <math>b</math> converge to period-1, not to a chaotic state.
 
====Varying c====
[[Image:Bifurcation.png|framed|Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying <math>c</math>]]
Here, <math>a = b = 0.1</math> and <math>c</math> changes. The [[bifurcation diagram]] reveals that low values of <math>c</math> are periodic, but quickly become chaotic as <math>c</math> increases. This pattern repeats itself as <math>c</math> increases – there are sections of periodicity interspersed with periods of chaos, and the trend is towards higher-period orbits as <math>c</math> increases. For example, the period one orbit only appears for values of <math>c</math> around 4 and is never found again in the bifurcation diagram. The same phenomenon is seen with period three; until <math>c=12</math>, period three orbits can be found, but thereafter, they do not appear.
 
A graphical illustration of the changing attractor over a range of <math>c</math> values illustrates the general behavior seen for all of these parameter analyses – the frequent transitions between periodicity and aperiodicity.
 
[[Image:VaryingC.png|center|Variations in the post-transient Rössler system as <math>c</math> is varied over a range of values.]]
The above set of images illustrates the variations in the post-transient Rössler system as <math>c</math> is varied over a range of values. These images were generated with <math>a=b=.1</math>.
*<math>c = 4</math>, period-1 orbit.
*<math>c = 6</math>, period-2 orbit.
*<math>c = 8.5</math>, period-4 orbit.
*<math>c = 8.7</math>, period-8 orbit.
*<math>c = 9</math>, sparse chaotic attractor.
*<math>c = 12</math>, period-3 orbit.
*<math>c = 12.6</math>, period-6 orbit.
* <math>c = 13</math>, sparse chaotic attractor.
*<math>c = 18</math>, filled-in chaotic attractor.
 
== Links to other topics ==
The banding evident in the Rössler attractor is similar to a [[Cantor set]] rotated about its midpoint. Additionally, the half-twist that occurs in the Rössler attractor only affects a part of the attractor. Rössler showed that its attractor was in fact the combination of a "normal band" and a [[Möbius strip]].<ref>{{cite journal|last=Rössler|first=Otto E.|title=Chaotic behavior in simple reaction system|journal=Zeitschrift für Naturfoschung A|year=1976|volume=31|pages=259–264|url=http://www.atomosyd.net/spip.php?article6}}</ref>
 
== References ==
{{reflist}}
 
==External links==
* [http://lagrange.physics.drexel.edu/flash/rossray Flash Animation using PovRay]
* [http://www.soe.ucsc.edu/classes/ams214/Winter09/foundingpapers/Rossler1976.pdf]
* [http://to-campos.planetaclix.pt/fractal/lorenz_eng.html Lorenz and Rössler attractors] – Java animation
* [http://amath.colorado.edu/faculty/juanga/3DAttractors.html 3D Attractors: Mac program to visualize and explore the Rössler and Lorenz attractors in 3 dimensions]
* [http://scholarpedia.org/article/Rossler_attractor Rössler attractor in Scholarpedia]
 
{{Chaos theory}}
 
{{DEFAULTSORT:Rossler Attractor}}
[[Category:Chaotic maps]]

Latest revision as of 21:24, 13 September 2014

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