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Display information for equation id:math.220576.15 on revision:220576

* Page found: Paramagnetism (eq math.220576.15)

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Cannot find the equation data in the database. Fetching from revision text.

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Hash: b8de4e1ab882ff5e0810491892ab7852

TeX (original user input):

\bar{m}=\frac{\sum\limits_{M_{J}=-J}^{J}{M_{J}g_{J}\mu _{B}e^{{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\;}}}{\sum\limits_{M_{J}=-J}^{J}{e^{{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\;}}}\simeq g_{J}\mu _{B}\frac{\sum\limits_{M_{J}=-J}^{J}{M_{J}\left( 1+{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\; \right)}}{\sum\limits_{M_{J}=-J}^{J}{\left( 1+{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\; \right)}}=\frac{g_{J}^{2}\mu _{B}^{2}H}{k_{B}T}\frac{\sum\limits_{-J}^{J}{M_{J}^{2}}}{\sum\limits_{M_{J}=-J}^{J}{\left( 1 \right)}}

TeX (checked):

{\bar {m}}={\frac {\sum \limits _{M_{J}=-J}^{J}{M_{J}g_{J}\mu _{B}e^{{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\;}}}{\sum \limits _{M_{J}=-J}^{J}{e^{{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\;}}}}\simeq g_{J}\mu _{B}{\frac {\sum \limits _{M_{J}=-J}^{J}{M_{J}\left(1+{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\;\right)}}{\sum \limits _{M_{J}=-J}^{J}{\left(1+{M_{J}g_{J}\mu _{B}H}/{k_{B}T}\;\right)}}}={\frac {g_{J}^{2}\mu _{B}^{2}H}{k_{B}T}}{\frac {\sum \limits _{-J}^{J}{M_{J}^{2}}}{\sum \limits _{M_{J}=-J}^{J}{\left(1\right)}}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (52.017 KB / 5.475 KB) :

m ¯ = M J = - J J M J g J μ B e M J g J μ B H / k B T M J = - J J e M J g J μ B H / k B T g J μ B M J = - J J M J ( 1 + M J g J μ B H / k B T ) M J = - J J ( 1 + M J g J μ B H / k B T ) = g J 2 μ B 2 H k B T - J J M J 2 M J = - J J ( 1 ) ¯ 𝑚 superscript subscript subscript 𝑀 𝐽 𝐽 𝐽 subscript 𝑀 𝐽 subscript 𝑔 𝐽 subscript 𝜇 𝐵 superscript 𝑒 subscript 𝑀 𝐽 subscript 𝑔 𝐽 subscript 𝜇 𝐵 𝐻 subscript 𝑘 𝐵 𝑇 superscript subscript subscript 𝑀 𝐽 𝐽 𝐽 superscript 𝑒 subscript 𝑀 𝐽 subscript 𝑔 𝐽 subscript 𝜇 𝐵 𝐻 subscript 𝑘 𝐵 𝑇 similar-to-or-equals subscript 𝑔 𝐽 subscript 𝜇 𝐵 superscript subscript subscript 𝑀 𝐽 𝐽 𝐽 subscript 𝑀 𝐽 1 subscript 𝑀 𝐽 subscript 𝑔 𝐽 subscript 𝜇 𝐵 𝐻 subscript 𝑘 𝐵 𝑇 superscript subscript subscript 𝑀 𝐽 𝐽 𝐽 1 subscript 𝑀 𝐽 subscript 𝑔 𝐽 subscript 𝜇 𝐵 𝐻 subscript 𝑘 𝐵 𝑇 superscript subscript 𝑔 𝐽 2 superscript subscript 𝜇 𝐵 2 𝐻 subscript 𝑘 𝐵 𝑇 superscript subscript 𝐽 𝐽 superscript subscript 𝑀 𝐽 2 superscript subscript subscript 𝑀 𝐽 𝐽 𝐽 1 {\displaystyle{\bar{m}}={\frac{\sum\limits_{{M_{{J}}=-J}}^{{J}}{M_{{J}}g_{{J}}% \mu_{{B}}e^{{{M_{{J}}g_{{J}}\mu_{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;}}}}{\sum\limits_{{M_{{J}}% =-J}}^{{J}}{e^{{{M_{{J}}g_{{J}}\mu_{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;}}}}}\simeq g_{{J}}\mu_% {{B}}{\frac{\sum\limits_{{M_{{J}}=-J}}^{{J}}{M_{{J}}\left(1+{M_{{J}}g_{{J}}\mu% _{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;\right)}}{\sum\limits_{{M_{{J}}=-J}}^{{J}}{\left(1+{M_{{J% }}g_{{J}}\mu_{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;\right)}}}={\frac{g_{{J}}^{{2}}\mu_{{B}}^{{2}% }H}{k_{{B}}T}}{\frac{\sum\limits_{{-J}}^{{J}}{M_{{J}}^{{2}}}}{\sum\limits_{{M_% {{J}}=-J}}^{{J}}{\left(1\right)}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\bar{m}}={\frac{\sum\limits_{{M_{{J}}=-J}}^{{J}}{M_{{J}}g_{{J}}%&#10;\mu_{{B}}e^{{{M_{{J}}g_{{J}}\mu_{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;}}}}{\sum\limits_{{M_{{J}}%&#10;=-J}}^{{J}}{e^{{{M_{{J}}g_{{J}}\mu_{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;}}}}}\simeq g_{{J}}\mu_%&#10;{{B}}{\frac{\sum\limits_{{M_{{J}}=-J}}^{{J}}{M_{{J}}\left(1+{M_{{J}}g_{{J}}\mu%&#10;_{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;\right)}}{\sum\limits_{{M_{{J}}=-J}}^{{J}}{\left(1+{M_{{J%&#10;}}g_{{J}}\mu_{{B}}H}/{k_{{B}}T}\;\right)}}}={\frac{g_{{J}}^{{2}}\mu_{{B}}^{{2}%&#10;}H}{k_{{B}}T}}{\frac{\sum\limits_{{-J}}^{{J}}{M_{{J}}^{{2}}}}{\sum\limits_{{M_%&#10;{{J}}=-J}}^{{J}}{\left(1\right)}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">m</mi>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo>
      </mover>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.3.2.12" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.cmml"></mo>
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                <msub id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1.6.cmml">
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                </mrow>
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              <msub id="p1.1.m1.1.3.2.13.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.4.cmml">M</mi>
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              </msub>
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                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.6.cmml">g</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.cmml">J</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml">μ</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.1.cmml">B</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.13.1b" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.1.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.13.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.10" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.cmml">e</mi>
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                      </msub>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.6.1.cmml">B</mi>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.14.1.1b" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.14.1.1.cmml"></mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.9" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.9.cmml">k</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.11a" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.11.cmml">T</mi>
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              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.6.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.cmml">M</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2.1.cmml">J</mi>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.7.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.4.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.5.cmml">J</mi>
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            <msup id="p1.1.m1.1.3.3.7" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.1.1.cmml"></mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.1.1a" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.1.1.cmml"></mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.5.cmml">μ</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.6.1.cmml">B</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.1.1b" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.1.1.cmml"></mo>
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                  <msub id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.14.2.cmml">
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                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.13" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.13.cmml"></mo>
                <mpadded width="+2.8pt" id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.11" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.11.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.5.1.11a" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.1.11.cmml">T</mi>
                </mpadded>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
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        <msub id="p1.1.m1.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.2.cmml">
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        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.cmml"></mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.13.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.2.3.cmml">
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        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1a" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.cmml"></mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
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                  </msub>
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                </mrow>
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              </munderover>
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                <msub id="p1.1.m1.1.9.2.23.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.2.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.9.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1.cmml">J</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.23.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.1.cmml"></mo>
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                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.1.cmml"></mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.3.cmml">
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                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.1.cmml"></mo>
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                            <mi id="p1.1.m1.1.9.2.13" xref="p1.1.m1.1.9.2.13.cmml">μ</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.9.2.14.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.14.1.cmml">B</mi>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.1.cmml"></mo>
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                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.9.2.16" xref="p1.1.m1.1.9.2.16.cmml">/</mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.2.cmml">
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                        </msub>
                      </mrow>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.9.3.21.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.21.2.1.2.1.1.cmml"></mo>
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                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.9.3.21.2.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.9.3.21.2.1.2.1.1.cmml"></mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.9.3.21.2.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.9.3.21.2.1.2.1.4.cmml">
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
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              <msubsup id="p1.1.m1.1.11.2.9" xref="p1.1.m1.1.11.2.9.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml">g</mi>
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                <mn id="p1.1.m1.1.11.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml">2</mn>
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                <mi id="p1.1.m1.1.11.2.4" xref="p1.1.m1.1.11.2.4.cmml">μ</mi>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
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                          <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.1">𝑀</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.3">𝑔</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.5">𝜇</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.6.1">𝐵</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.7">𝐻</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.9">𝑘</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.10.1">𝐵</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.3.2.11.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.1.11">𝑇</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1">𝑀</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2.1">𝐽</ci>
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                            <ci id="p1.1.m1.1.9.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.10.1">𝐽</ci>
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                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.23.3.2.1.2.1.4">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.9.2.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.13">𝜇</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.9.2.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.14.1">𝐵</ci>
                          </apply>
                          <ci id="p1.1.m1.1.9.2.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.15">𝐻</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.9.2.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.17">𝑘</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.9.2.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.18.1">𝐵</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.9.2.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.19">𝑇</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.9.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.1">𝑀</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.9.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.2.1">𝐽</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.9.3.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.13">𝐻</ci>
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