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TeX (original user input):

\begin{align}
\operatorname{var}(\text{mean})
&= \operatorname{var}\left (\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i \right)
= \frac{1}{N^2}\operatorname{var}\left (\sum_{i=1}^N X_i \right ) \\
&= \frac{1}{N^2}\sum_{i=1}^N \operatorname{var}(X_i)
= \frac{N}{N^2} \operatorname{var}(X)
= \frac{1}{N} \operatorname{var} (X).
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{mean}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}


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MathML (26.311 KB / 2.923 KB) :

{\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{var}({\text{mean}})&% \displaystyle=\operatorname{var}\left({\frac{1}{N}}\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right% )={\frac{1}{N^{2}}}\operatorname{var}\left(\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right)\\ &\displaystyle={\frac{1}{N^{2}}}\sum_{{i=1}}^{N}\operatorname{var}(X_{i})={% \frac{N}{N^{2}}}\operatorname{var}(X)={\frac{1}{N}}\operatorname{var}(X).\end{% aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{var}({\text{mean}})&amp;%&#10;\displaystyle=\operatorname{var}\left({\frac{1}{N}}\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right%&#10;)={\frac{1}{N^{2}}}\operatorname{var}\left(\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{1}{N^{2}}}\sum_{{i=1}}^{N}\operatorname{var}(X_{i})={%&#10;\frac{N}{N^{2}}}\operatorname{var}(X)={\frac{1}{N}}\operatorname{var}(X).\end{%&#10;aligned}}}" display="inline">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">var</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">(</mo>
<mtext id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5a.cmml">mean</mtext>
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</mrow>
</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">var</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">(</mo>
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<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">1</mn>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">N</mi>
</mfrac>
</mstyle>
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<munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2.cmml">=</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3.cmml">1</mn>
</mrow>
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</msub>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
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</msup>
</mfrac>
</mstyle>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">var</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">⁡</mo>
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<munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.3.cmml">1</mn>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">N</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.1.cmml">2</mn>
</msup>
</mfrac>
</mstyle>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.cmml">
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</munderover>
</mstyle>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">var</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml">
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</msub>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
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</mfrac>
</mstyle>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">var</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml">⁡</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml">(</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml">)</mo>
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">=</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml">1</mn>
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</mfrac>
</mstyle>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml">
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">.</mo>
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</mtext>
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<sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19"/>
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<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2"/>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1">N</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">X</ci>
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<cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31">absent</csymbol>
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<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">1</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1">N</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.2.cmml">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2"/>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3">1</cn>
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</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1">N</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">var</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2.1.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">X</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">i</ci>
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</apply>
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<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.3.cmml">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.1">N</ci>
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<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.3">N</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.2">
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</matrix>
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<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{var}({\text{mean}})&amp;%
\displaystyle=\operatorname{var}\left({\frac{1}{N}}\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right%
)={\frac{1}{N^{2}}}\operatorname{var}\left(\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right)\\
&amp;\displaystyle={\frac{1}{N^{2}}}\sum_{{i=1}}^{N}\operatorname{var}(X_{i})={%
\frac{N}{N^{2}}}\operatorname{var}(X)={\frac{1}{N}}\operatorname{var}(X).\end{%
aligned}}}</annotation>
</semantics>
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{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{mean}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}}

## Translations to Computer Algebra Systems

### Translation to Maple

In Maple:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

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Calculated based on the variables occurring on the entire Standard deviation page

## Identifiers

• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle X_{i}}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle X_{i}}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle X_{i}}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle X}$

### MathML observations

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