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Display information for equation id:math.220949.43 on revision:220949

* Page found: Standard deviation (eq math.220949.43)

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Occurrences on the following pages:

Hash: e4afba6f3c4dfb84546d1ca10b15c306

TeX (original user input):

\begin{align}
\operatorname{var}(\text{mean})
 &= \operatorname{var}\left (\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i \right)
   = \frac{1}{N^2}\operatorname{var}\left (\sum_{i=1}^N X_i \right ) \\
 &= \frac{1}{N^2}\sum_{i=1}^N \operatorname{var}(X_i)
   = \frac{N}{N^2} \operatorname{var}(X)
   = \frac{1}{N} \operatorname{var} (X).
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{mean}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (26.311 KB / 2.923 KB) :

var ( mean ) = var ( 1 N i = 1 N X i ) = 1 N 2 var ( i = 1 N X i ) = 1 N 2 i = 1 N var ( X i ) = N N 2 var ( X ) = 1 N var ( X ) . var mean absent var 1 N superscript subscript i 1 N subscript X i 1 superscript N 2 var superscript subscript i 1 N subscript X i missing-subexpression absent 1 superscript N 2 superscript subscript i 1 N var subscript X i N superscript N 2 var X 1 N var X {\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{var}({\text{mean}})&% \displaystyle=\operatorname{var}\left({\frac{1}{N}}\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right% )={\frac{1}{N^{2}}}\operatorname{var}\left(\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right)\\ &\displaystyle={\frac{1}{N^{2}}}\sum_{{i=1}}^{N}\operatorname{var}(X_{i})={% \frac{N}{N^{2}}}\operatorname{var}(X)={\frac{1}{N}}\operatorname{var}(X).\end{% aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{var}({\text{mean}})&amp;%&#10;\displaystyle=\operatorname{var}\left({\frac{1}{N}}\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right%&#10;)={\frac{1}{N^{2}}}\operatorname{var}\left(\sum_{{i=1}}^{N}X_{i}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{1}{N^{2}}}\sum_{{i=1}}^{N}\operatorname{var}(X_{i})={%&#10;\frac{N}{N^{2}}}\operatorname{var}(X)={\frac{1}{N}}\operatorname{var}(X).\end{%&#10;aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">var</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">(</mo>
              <mtext id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5a.cmml">mean</mtext>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">var</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">1</mn>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">N</mi>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
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                        <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml"></mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1.cmml">i</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2.cmml">=</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3.cmml">1</mn>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml">N</mi>
                      </munderover>
                    </mstyle>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml">1</mn>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml">N</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">var</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">(</mo>
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                        <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml"></mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1.cmml">i</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.cmml">=</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.3.cmml">1</mn>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">N</mi>
                      </munderover>
                    </mstyle>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">X</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">N</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.cmml">
                    <munderover id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2.cmml">=</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml">N</mi>
                    </munderover>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">var</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml">(</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">X</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">i</mi>
                      </msub>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.cmml">N</mi>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.1.cmml">N</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">var</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">X</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml">1</mn>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.3.cmml">N</mi>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">var</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml">
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.2.1.cmml">)</mo>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2">1</cn>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2.1.1.cmml">superscript</csymbol>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2.1.2.1.cmml">subscript</csymbol>
                        <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7"/>
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                      </apply>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1">i</ci>
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                  <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2">1</cn>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.3.cmml">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1">N</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1">2</cn>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">var</ci>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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