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TeX (original user input):

P(X=b)=P(X^{-1}( \{ b \} )) := \int_{X^{-1}(\{b \})} dP = \int_{ \{b \}} f d \mu = f(b),


TeX (checked):

P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int _{X^{-1}(\{b\})}dP=\int _{\{b\}}fd\mu =f(b),


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MathML (10.154 KB / 1.639 KB) :

${\displaystyle{\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int_{X^{-1}(\{b\})}dP=% \int_{\{b\}}fd\mu=f(b),}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int_{X^{-1}(\{b\})}dP=%&#10;\int_{\{b\}}fd\mu=f(b),}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1b">
<mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">P</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">X</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">b</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">P</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">(</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">X</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">{</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">b</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">}</mo>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">:=</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
<msub id="p1.1.m1.1.37a" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
<mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">∫</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.21.1.9" xref="p1.1.m1.1.21.1.9.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml">X</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.21.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.21.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.1.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.21.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.2.cmml">1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.21.1.8" xref="p1.1.m1.1.21.1.8.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.21.1.10" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1.3" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.21.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.10.2.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1.4" xref="p1.1.m1.1.21.1.10.2.1.cmml">{</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.21.1.5" xref="p1.1.m1.1.21.1.5.cmml">b</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1.6" xref="p1.1.m1.1.21.1.10.2.1.cmml">}</mo>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1.7" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
<mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">d</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">P</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">=</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
<msub id="p1.1.m1.1.38a" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
<mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">∫</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.4.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.4.cmml">{</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.26.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.cmml">b</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.3" xref="p1.1.m1.1.26.1.4.cmml">}</mo>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
<mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">f</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">d</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">μ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">=</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">f</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">b</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">,</mo>
</mrow>
<annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1c">
<cerror id="p1.1.m1.1d">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1e">fragments</csymbol>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">P</csymbol>
<cerror id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11a.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">fragments</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">(</ci>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">X</csymbol>
<eq id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">b</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">)</ci>
</cerror>
<eq id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">P</csymbol>
<cerror id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.26a.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">fragments</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">(</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.36">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑋</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
<minus id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">1</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21a.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">fragments</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">(</ci>
<cerror id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18a.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">fragments</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">{</ci>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">b</csymbol>
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<ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">)</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">)</ci>
</cerror>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">assign</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.37.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">subscript</csymbol>
<int id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
<apply id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1">
<times id="p1.1.m1.1.21.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.8"/>
<apply id="p1.1.m1.1.21.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.9">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.9">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1">𝑋</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.21.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1">
<minus id="p1.1.m1.1.21.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.21.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.2">1</cn>
</apply>
</apply>
<set id="p1.1.m1.1.21.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.10.2">
<ci id="p1.1.m1.1.21.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.5">𝑏</ci>
</set>
</apply>
</apply>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">d</csymbol>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">P</csymbol>
<eq id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24"/>
<apply id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">subscript</csymbol>
<int id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25"/>
<set id="p1.1.m1.1.26.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.1">
<ci id="p1.1.m1.1.26.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.1.2">𝑏</ci>
</set>
</apply>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">f</csymbol>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">d</csymbol>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">μ</csymbol>
<eq id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30"/>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">f</csymbol>
<cerror id="p1.1.m1.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.39">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.39a.cmml" xref="p1.1.m1.1.39">fragments</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">(</ci>
<csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33">b</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">)</ci>
</cerror>
<ci id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35">,</ci>
</cerror>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1f">{\displaystyle{\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int_{X^{-1}(\{b\})}dP=%
\int_{\{b\}}fd\mu=f(b),}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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${\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int _{X^{-1}(\{b\})}dP=\int _{\{b\}}fd\mu =f(b),}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int _{X^{-1}(\{b\})}dP=\int _{\{b\}}fd\mu =f(b),}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>P</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
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<mi>X</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">{</mo>
<mi>b</mi>
<mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>:=</mo>
<msub>
<mo>&#x222B;<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msup>
<mi>X</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">{</mo>
<mi>b</mi>
<mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msub>
<mi>d</mi>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mo>&#x222B;<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo fence="false" stretchy="false">{</mo>
<mi>b</mi>
<mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
</mrow>
</msub>
<mi>f</mi>
<mi>d</mi>
<mi>&#x03BC;<!-- μ --></mi>
<mo>=</mo>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>,</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int _{X^{-1}(\{b\})}dP=\int _{\{b\}}fd\mu =f(b),}</annotation>
</semantics>
[/itex]


SVG (11.32 KB / 4.373 KB) :

In Maple:

In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Probability mass function page

## Identifiers

• ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle b}$

### MathML observations

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