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Display information for equation id:math.225881.21 on revision:225881

* Page found: Mean squared error (eq math.225881.21)

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Hash: 51f13106ba3ec0f0008bc35c72d5a614

TeX (original user input):

\begin{align}
\operatorname{MSE}(S^2_a)&=\operatorname{E}\left(\left(\frac{n-1}{a} S^2_{n-1}-\sigma^2\right)^2 \right) \\
&=\frac{n-1}{n a^2}[(n-1)\gamma_2+n^2+n]\sigma^4-\frac{2(n-1)}{a}\sigma^4+\sigma^4
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\operatorname {MSE} (S_{a}^{2})&=\operatorname {E} \left(\left({\frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}-\sigma ^{2}\right)^{2}\right)\\&={\frac {n-1}{na^{2}}}[(n-1)\gamma _{2}+n^{2}+n]\sigma ^{4}-{\frac {2(n-1)}{a}}\sigma ^{4}+\sigma ^{4}\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (25.356 KB / 2.888 KB) :

MSE ( S a 2 ) = E ( ( n - 1 a S n - 1 2 - σ 2 ) 2 ) = n - 1 n a 2 [ ( n - 1 ) γ 2 + n 2 + n ] σ 4 - 2 ( n - 1 ) a σ 4 + σ 4 MSE superscript subscript 𝑆 𝑎 2 absent E superscript 𝑛 1 𝑎 superscript subscript 𝑆 𝑛 1 2 superscript 𝜎 2 2 missing-subexpression absent 𝑛 1 𝑛 superscript 𝑎 2 delimited-[] 𝑛 1 subscript 𝛾 2 superscript 𝑛 2 𝑛 superscript 𝜎 4 2 𝑛 1 𝑎 superscript 𝜎 4 superscript 𝜎 4 {\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{MSE}(S_{a}^{2})&% \displaystyle=\operatorname{E}\left(\left({\frac{n-1}{a}}S_{{n-1}}^{2}-\sigma^% {2}\right)^{2}\right)\\ &\displaystyle={\frac{n-1}{na^{2}}}[(n-1)\gamma_{2}+n^{2}+n]\sigma^{4}-{\frac{% 2(n-1)}{a}}\sigma^{4}+\sigma^{4}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{MSE}(S_{a}^{2})&amp;%&#10;\displaystyle=\operatorname{E}\left(\left({\frac{n-1}{a}}S_{{n-1}}^{2}-\sigma^%&#10;{2}\right)^{2}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{n-1}{na^{2}}}[(n-1)\gamma_{2}+n^{2}+n]\sigma^{4}-{\frac{%&#10;2(n-1)}{a}}\sigma^{4}+\sigma^{4}\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">MSE</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">(</mo>
              <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">S</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">a</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">2</mn>
              </msubsup>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">E</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">(</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.cmml">
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                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1.cmml">n</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2.cmml">-</mo>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.3.cmml">1</mn>
                            </mrow>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml">a</mi>
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                        </mstyle>
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                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1.cmml">n</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.cmml">-</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3.cmml">1</mn>
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                        </msubsup>
                      </mrow>
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                      </msup>
                    </mrow>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml">
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                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml">n</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">n</mi>
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                        <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">a</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.1.cmml">2</mn>
                        </msup>
                      </mrow>
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                  </mstyle>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.cmml">
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                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.1.cmml"></mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">γ</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">2</mn>
                        </msub>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">+</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">n</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">+</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">n</mi>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.1.1.cmml">]</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.1.cmml"></mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">σ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">4</mn>
                  </msup>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">-</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml">
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.7.cmml"></mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.8.2.cmml">
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                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.5.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.2.8.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
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                  </mstyle>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">σ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml">4</mn>
                  </msup>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">+</mo>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5">𝑆</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1">𝑎</ci>
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          </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2">
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1">𝑛</ci>
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                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3">𝑎</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.1.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.1.2">superscript</csymbol>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝑆</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1">𝑛</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3">1</cn>
                        </apply>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1">2</cn>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.2.2">superscript</csymbol>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26">absent</csymbol>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1">
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                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.2.2.1.2">
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝛾</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">2</cn>
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1">2</cn>
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[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@5246835d

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[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@5246835d

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