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\ker{(A-4I)}^2 = \operatorname{span} \, \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.

TeX (checked):

\ker {(A-4I)}^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}\right\}.

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MathML (8.179 KB / 1.281 KB) :

ker ( A - 4 I ) 2 = span { [ 1 0 0 0 ] , [ 1 0 - 1 1 ] } . fragments kernel superscript fragments normal-( A 4 I normal-) 2 span fragments normal-{ 1 0 0 0 normal-, 1 0 1 1 normal-} normal-. {\displaystyle\ker{(A-4I)}^{2}=\operatorname{span}\,\left\{{\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\\ 1\end{bmatrix}}\right\}.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\ker{(A-4I)}^{2}=\operatorname{span}\,\left\{{\begin{bmatrix}1\\&#10;0\\&#10;0\\&#10;0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\&#10;0\\&#10;-1\\&#10;1\end{bmatrix}}\right\}.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1b">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">ker</mi>
      <msup id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.3">A</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">-</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">4</mn>
          <mi id="p1.1.m1.1.6">I</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mn id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">2</mn>
      </msup>
      <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">=</mo>
      <mo rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">span</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">{</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.16.2">[</mo>
          <mtable id="p1.1.m1.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
            <mtr id="p1.1.m1.1.16.3a" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.16.3b" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.16.3.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.1.1.1.1.cmml">1</mn>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr id="p1.1.m1.1.16.3c" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.16.3d" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.16.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.1.2.1.1.cmml">0</mn>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr id="p1.1.m1.1.16.3e" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.16.3f" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.16.3.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.1.3.1.1.cmml">0</mn>
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            </mtr>
            <mtr id="p1.1.m1.1.16.3g" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">
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                <mn id="p1.1.m1.1.16.3.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.1.4.1.1.cmml">0</mn>
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            </mtr>
          </mtable>
          <mo id="p1.1.m1.1.16.4">]</mo>
        </mrow>
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                <mn id="p1.1.m1.1.18.3.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.1.1.1.cmml">1</mn>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr id="p1.1.m1.1.18.3c" xref="p1.1.m1.1.18.3.cmml">
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.18.3d" xref="p1.1.m1.1.18.3.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.18.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.2.1.1.cmml">0</mn>
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            </mtr>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.18.3.1.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.3.1.1.1.cmml">-</mo>
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                </mrow>
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            </mtr>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.3.1.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.3.1.1.2">1</cn>
              </apply>
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            <matrixrow id="p1.1.m1.1.18.3d.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.3.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.4.1.1">1</cn>
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0\\
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</math>

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kernel left-parenthesis upper A minus 4 upper I right-parenthesis squared equals s p a n left-brace Start 4 By 1 Matrix 1st Row 1 2nd Row 0 3rd Row 0 4th Row 0 EndMatrix comma Start 4 By 1 Matrix 1st Row 1 2nd Row 0 3rd Row negative 1 4th Row 1 EndMatrix right-brace period

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