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Display information for equation id:math.229242.22 on revision:229242

* Page found: Indeterminate form (eq math.229242.22)

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Occurrences on the following pages:

Hash: f20318d94562519df9a4b0597a5938c4

TeX (original user input):

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} [(\frac{2+ \cos x}{3})^x-1] = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x\ln{\frac{2 + \cos x}{3}}} -1}{x^3} =  \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{2+ \cos x}{3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln (\frac{\cos x -1}{3}+1) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{3x^2} = -\frac{1}{6}

TeX (checked):

\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}[({\frac {2+\cos x}{3}})^{x}-1]=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln({\frac {\cos x-1}{3}}+1)=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}=-{\frac {1}{6}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (29.904 KB / 3.476 KB) :

lim x 0 1 x 3 [ ( 2 + cos x 3 ) x - 1 ] = lim x 0 e x ln 2 + cos x 3 - 1 x 3 = lim x 0 1 x 2 ln 2 + cos x 3 = lim x 0 1 x 2 ln ( cos x - 1 3 + 1 ) = lim x 0 cos x - 1 3 x 2 = - 1 6 subscript 𝑥 0 1 superscript 𝑥 3 delimited-[] superscript 2 𝑥 3 𝑥 1 subscript 𝑥 0 superscript 𝑒 𝑥 2 𝑥 3 1 superscript 𝑥 3 subscript 𝑥 0 1 superscript 𝑥 2 2 𝑥 3 subscript 𝑥 0 1 superscript 𝑥 2 𝑥 1 3 1 subscript 𝑥 0 𝑥 1 3 superscript 𝑥 2 1 6 {\displaystyle{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{3}}[(\frac{2+\cos x}{3})^% {x}-1]=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln{\frac{2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}% \frac{1}{x^{2}}\ln\frac{2+\cos x}{3}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(\frac{% \cos x-1}{3}+1)=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^{2}}=-\frac{1}{6}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{3}}[(\frac{2+\cos x}{3})^%&#10;{x}-1]=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln{\frac{2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}%&#10;\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{2+\cos x}{3}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(\frac{%&#10;\cos x-1}{3}+1)=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^{2}}=-\frac{1}{6}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">x</mi>
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          </mrow>
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                <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">x</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">3</mn>
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          </mstyle>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.cmml">+</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.cmml">cos</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.6.2.5a" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.cmml"></mo>
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                        </mrow>
                      </mrow>
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                  </mstyle>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">x</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.39.2.2.2.1.1.cmml">]</mo>
          </mrow>
        </mrow>
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        <munder id="p1.1.m1.1.39.3.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">lim</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml"></mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml">e</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.1.cmml">x</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.4.cmml"></mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.4.cmml">x</mi>
                        </mrow>
                      </mrow>
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                    </mfrac>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.15.2.4.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <msup id="p1.1.m1.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.15.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.3.1.cmml">x</mi>
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          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
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        <munder id="p1.1.m1.1.39.4.1" xref="p1.1.m1.1.39.4.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">lim</mo>
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              <mfrac id="p1.1.m1.1.21a" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.21.2.5a" xref="p1.1.m1.1.21.2.5.cmml"></mo>
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      <mrow id="p1.1.m1.1.39.5" xref="p1.1.m1.1.39.5.cmml">
        <munder id="p1.1.m1.1.39.5.1" xref="p1.1.m1.1.39.5.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">lim</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.24.1.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.1.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.24.1.2" xref="p1.1.m1.1.24.1.2.cmml"></mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.24.1.3" xref="p1.1.m1.1.24.1.3.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mo id="p1.1.m1.1.39.5a" xref="p1.1.m1.1.39.5.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.39.5.2" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.25a" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">1</mn>
              <msup id="p1.1.m1.1.25.3" xref="p1.1.m1.1.25.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.25.3.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.cmml">x</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.25.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.39.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.39.5.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">ln</mi>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.39.5.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.2.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.2.1.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.39.5.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.2.2.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.28a" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.5" xref="p1.1.m1.1.28.2.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml">cos</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.28.2.5a" xref="p1.1.m1.1.28.2.5.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml">x</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.28.2.4" xref="p1.1.m1.1.28.2.4.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.28.3.cmml">3</mn>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">+</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.2.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
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            <mn id="p1.1.m1.1.34.1.3" xref="p1.1.m1.1.34.1.3.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mo id="p1.1.m1.1.39.6a" xref="p1.1.m1.1.39.6.cmml"></mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.35a" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.5" xref="p1.1.m1.1.35.2.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.35.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.cmml">cos</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.35.2.5a" xref="p1.1.m1.1.35.2.5.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.35.2.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.2.cmml">x</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.35.2.3" xref="p1.1.m1.1.35.2.3.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.35.2.4" xref="p1.1.m1.1.35.2.4.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.35.3" xref="p1.1.m1.1.35.3.cmml">
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              <msup id="p1.1.m1.1.35.3.5" xref="p1.1.m1.1.35.3.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.35.3.2" xref="p1.1.m1.1.35.3.2.cmml">x</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.35.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.35.3.3.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">=</mo>
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        <mo id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">-</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.38a" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">1</mn>
            <mn id="p1.1.m1.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.cmml">6</mn>
          </mfrac>
        </mstyle>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑥</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">𝑥</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1">𝑒</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.1">𝑥</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.5">
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                        <divide id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2">
                          <plus id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.2"/>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.1">2</cn>
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                            <cos id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.3"/>
                            <ci id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.2.4">𝑥</ci>
                          </apply>
                        </apply>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.3.3">3</cn>
                      </apply>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.4">1</cn>
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              <apply id="p1.1.m1.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.1">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.2.1">3</cn>
              </apply>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.39.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.4.1">subscript</csymbol>
              <limit id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2"></ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.1">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.3">0</cn>
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            </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.39.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">
                <divide id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.19.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.3">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.19.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.3.1">𝑥</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.1">2</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.39.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.4.2.2">
                <ln id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">
                  <divide id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21"/>
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                    <plus id="p1.1.m1.1.21.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.2"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.1">2</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.21.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.5">
                      <cos id="p1.1.m1.1.21.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.21.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.4">𝑥</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.21.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.3">3</cn>
                </apply>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.39.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.5.1">subscript</csymbol>
              <limit id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.24.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1.2"></ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.24.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1.1">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.24.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1.3">0</cn>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.39.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.5.2">
              <times id="p1.1.m1.1.39.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25">
                <divide id="p1.1.m1.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.25.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.3">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.25.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.3.1">𝑥</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.25.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.1">2</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.39.5.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.2.2">
                <ln id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.39.5.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.5.2.2.2.1">
                  <plus id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"/>
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                    <divide id="p1.1.m1.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">
                      <minus id="p1.1.m1.1.28.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.28.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.5">
                        <cos id="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2">𝑥</ci>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.28.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.4">1</cn>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.28.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3">3</cn>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">1</cn>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.39.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.6.1">subscript</csymbol>
              <limit id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.34.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1.2"></ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.34.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1.1">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.34.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1.3">0</cn>
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              <divide id="p1.1.m1.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.35.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2">
                <minus id="p1.1.m1.1.35.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.35.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.5">
                  <cos id="p1.1.m1.1.35.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.35.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.2">𝑥</ci>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.4">1</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.35.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3">
                <times id="p1.1.m1.1.35.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.4"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.1">3</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.35.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.5">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.35.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.5">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.35.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.2">𝑥</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.3.1">2</cn>
                </apply>
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          <eq id="p1.1.m1.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.36"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.39.6.cmml" id="p1.1.m1.1.39j.cmml" xref="p1.1.m1.1.39"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.39.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.7">
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            <apply id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">
              <divide id="p1.1.m1.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.38.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2">1</cn>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.38.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3">6</cn>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{3}}[(\frac{2+\cos x}{3})^%
{x}-1]=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln{\frac{2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}%
\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{2+\cos x}{3}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(\frac{%
\cos x-1}{3}+1)=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^{2}}=-\frac{1}{6}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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limit Underscript x right-arrow 0 Endscripts StartFraction 1 Over x cubed EndFraction times left-bracket left-parenthesis StartFraction 2 plus cosine x Over 3 EndFraction right-parenthesis Superscript x Baseline minus 1 right-bracket equals limit Underscript x right-arrow 0 Endscripts StartFraction e Superscript x times ln StartFraction 2 plus cosine x Over 3 EndFraction Baseline minus 1 Over x cubed EndFraction equals limit Underscript x right-arrow 0 Endscripts StartFraction 1 Over x squared EndFraction times ln StartFraction 2 plus cosine x Over 3 EndFraction equals limit Underscript x right-arrow 0 Endscripts StartFraction 1 Over x squared EndFraction times ln left-parenthesis StartFraction cosine x minus 1 Over 3 EndFraction plus 1 right-parenthesis equals limit Underscript x right-arrow 0 Endscripts StartFraction cosine x minus 1 Over 3 times x squared EndFraction equals negative one-sixth

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Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple: limit((1)/((x)^(3))[((2 + cos(x))/(3))^(x)- 1], x = 0)= limit(((e)^(x*ln((2 + cos(x))/(3)))- 1)/((x)^(3)), x = 0)= limit((1)/((x)^(2))*ln((2 + cos(x))/(3)), x = 0)= limit((1)/((x)^(2))*ln((cos(x)- 1)/(3)+ 1), x = 0)= limit((cos(x)- 1)/(3*(x)^(2)), x = 0)= -(1)/(6)

Information about the conversion process:

\cos: Cosine; Example: \cos@@{z}

Will be translated to: cos($0)

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.14#E2

Maple: https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=cos


\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: ln($0)

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Maple: https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=ln


e: the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845... was translated to: e

exp(1): You use a typical letter for a constant [the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845...].

We keep it like it is! But you should know that Maple uses exp(1) for this constant.

If you want to translate it as a constant, use the corresponding DLMF macro \expe



Translation to Mathematica

In Mathematica: Limit[Divide[1,(x)^(3)][(Divide[2 + Cos[x],3])^(x)- 1], x -> 0]= Limit[Divide[(e)^(x*Log[Divide[2 + Cos[x],3]])- 1,(x)^(3)], x -> 0]= Limit[Divide[1,(x)^(2)]*Log[Divide[2 + Cos[x],3]], x -> 0]= Limit[Divide[1,(x)^(2)]*Log[Divide[Cos[x]- 1,3]+ 1], x -> 0]= Limit[Divide[Cos[x]- 1,3*(x)^(2)], x -> 0]= -Divide[1,6]

Information about the conversion process:

\cos: Cosine; Example: \cos@@{z}

Will be translated to: Cos[$0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.14#E2

Mathematica: https://reference.wolfram.com/language/ref/Cos.html


\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: Log[$0]

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Mathematica: https://reference.wolfram.com/language/ref/Log.html


E: You use a typical letter for a constant [the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845...].

We keep it like it is! But you should know that Mathematica uses E for this constant.

If you want to translate it as a constant, use the corresponding DLMF macro \expe


e: the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845... was translated to: e


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Identifiers

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