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TeX (original user input):

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} [(\frac{2+ \cos x}{3})^x-1] = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x\ln{\frac{2 + \cos x}{3}}} -1}{x^3} =  \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{2+ \cos x}{3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln (\frac{\cos x -1}{3}+1) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{3x^2} = -\frac{1}{6}


TeX (checked):

\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}[({\frac {2+\cos x}{3}})^{x}-1]=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln({\frac {\cos x-1}{3}}+1)=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}=-{\frac {1}{6}}


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${\displaystyle{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{3}}[(\frac{2+\cos x}{3})^% {x}-1]=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln{\frac{2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}% \frac{1}{x^{2}}\ln\frac{2+\cos x}{3}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(\frac{% \cos x-1}{3}+1)=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^{2}}=-\frac{1}{6}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{3}}[(\frac{2+\cos x}{3})^%&#10;{x}-1]=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln{\frac{2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}%&#10;\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{2+\cos x}{3}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(\frac{%&#10;\cos x-1}{3}+1)=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^{2}}=-\frac{1}{6}}}" display="inline">
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</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">+</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">1</mn>
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</munder>
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</mrow>
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<apply id="p1.1.m1.1.39.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.6.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.39.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.6.1">subscript</csymbol>
<limit id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33"/>
<apply id="p1.1.m1.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1">
<ci id="p1.1.m1.1.34.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1.2">→</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.34.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.34.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1.3">0</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35">
<divide id="p1.1.m1.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35"/>
<apply id="p1.1.m1.1.35.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2">
<minus id="p1.1.m1.1.35.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.35.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.5">
<cos id="p1.1.m1.1.35.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.35.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.2">𝑥</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.4">1</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.35.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3">
<times id="p1.1.m1.1.35.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.4"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.1">3</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.35.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.35.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.5">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.35.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.2">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.3.3.1">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.39i.cmml" xref="p1.1.m1.1.39">
<eq id="p1.1.m1.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.36"/>
<share href="#p1.1.m1.1.39.6.cmml" id="p1.1.m1.1.39j.cmml" xref="p1.1.m1.1.39"/>
<apply id="p1.1.m1.1.39.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.7">
<minus id="p1.1.m1.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.37"/>
<apply id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">
<divide id="p1.1.m1.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.38.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.38.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3">6</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{3}}[(\frac{2+\cos x}{3})^%
{x}-1]=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln{\frac{2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}%
\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{2+\cos x}{3}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(\frac{%
\cos x-1}{3}+1)=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^{2}}=-\frac{1}{6}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}[({\frac {2+\cos x}{3}})^{x}-1]=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln({\frac {\cos x-1}{3}}+1)=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}=-{\frac {1}{6}}}$

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple: limit((1)/((x)^(3))[((2 + cos(x))/(3))^(x)- 1], x = 0)= limit(((e)^(x*ln((2 + cos(x))/(3)))- 1)/((x)^(3)), x = 0)= limit((1)/((x)^(2))*ln((2 + cos(x))/(3)), x = 0)= limit((1)/((x)^(2))*ln((cos(x)- 1)/(3)+ 1), x = 0)= limit((cos(x)- 1)/(3*(x)^(2)), x = 0)= -(1)/(6)

\cos: Cosine; Example: \cos@@{z}

Will be translated to: cos($0) Relevant links to definitions: \ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z} Will be translated to: ln($0)

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

e: the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845... was translated to: e

exp(1): You use a typical letter for a constant [the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845...].

We keep it like it is! But you should know that Maple uses exp(1) for this constant.

If you want to translate it as a constant, use the corresponding DLMF macro \expe

Translation to Mathematica

In Mathematica: Limit[Divide[1,(x)^(3)][(Divide[2 + Cos[x],3])^(x)- 1], x -> 0]= Limit[Divide[(e)^(x*Log[Divide[2 + Cos[x],3]])- 1,(x)^(3)], x -> 0]= Limit[Divide[1,(x)^(2)]*Log[Divide[2 + Cos[x],3]], x -> 0]= Limit[Divide[1,(x)^(2)]*Log[Divide[Cos[x]- 1,3]+ 1], x -> 0]= Limit[Divide[Cos[x]- 1,3*(x)^(2)], x -> 0]= -Divide[1,6]

\cos: Cosine; Example: \cos@@{z}

Will be translated to: Cos[$0] Relevant links to definitions: \ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z} Will be translated to: Log[$0]

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

E: You use a typical letter for a constant [the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845...].

We keep it like it is! But you should know that Mathematica uses E for this constant.

If you want to translate it as a constant, use the corresponding DLMF macro \expe

e: the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845... was translated to: e

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Calculated based on the variables occurring on the entire Indeterminate form page

Identifiers

• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$

MathML observations

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no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

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