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 \ln \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} . \!

TeX (checked):

\ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.\!

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MathML (9.264 KB / 1.413 KB) :

ln lim x c f ( x ) g ( x ) = lim x c ln f ( x ) 1 / g ( x ) . subscript 𝑥 𝑐 𝑓 superscript 𝑥 𝑔 𝑥 subscript 𝑥 𝑐 𝑓 𝑥 1 𝑔 𝑥 {\displaystyle\ln\lim_{{x\to c}}f(x)^{{g(x)}}=\lim_{{x\to c}}{\frac{\ln f(x)}{% 1/g(x)}}.\!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\ln\lim_{{x\to c}}f(x)^{{g(x)}}=\lim_{{x\to c}}{\frac{\ln f(x)}{%&#10;1/g(x)}}.\!}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">ln</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.15.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.15.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.15.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.1.cmml">
              <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">lim</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">x</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.3.cmml">c</mi>
              </mrow>
            </munder>
            <mo id="p1.1.m1.1.15.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.cmml"></mo>
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              <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">f</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2.1.cmml"></mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">x</mi>
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                </mrow>
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          <munder id="p1.1.m1.1.15.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">lim</mo>
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              <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">x</mi>
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            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.15.2.2a" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.cmml"></mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
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                </mrow>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.2.5" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.8" xref="p1.1.m1.1.12.3.8.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml">/</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml">g</mi>
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          <times id="p1.1.m1.1.15.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1">𝑔</ci>
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        </apply>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1">subscript</csymbol>
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            <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
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              <ci id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">𝑥</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3">𝑐</ci>
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          </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.12.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.6"/>
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                <ln id="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">𝑓</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.12.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.4">𝑥</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3">
              <times id="p1.1.m1.1.12.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.7"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.8">
                <divide id="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.2"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1">1</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3">𝑔</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.12.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.5">𝑥</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\ln\lim_{{x\to c}}f(x)^{{g(x)}}=\lim_{{x\to c}}{\frac{\ln f(x)}{%
1/g(x)}}.\!}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (13.557 KB / 3.985 KB) :

ln times limit Underscript x right-arrow c Endscripts f times left-parenthesis x right-parenthesis Superscript g times left-parenthesis x right-parenthesis Baseline equals limit Underscript x right-arrow c Endscripts StartFraction ln f times left-parenthesis x right-parenthesis Over 1 slash g times left-parenthesis x right-parenthesis EndFraction period

MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

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SVG (0 B / 8 B) :


PNG (0 B / 8 B) :


Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple: ln(limit(f*(x)^(g*(x)), x = c))= limit((ln(f)*(x))/(1/ g*(x)), x = c)

Information about the conversion process:

\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: ln($0)

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Maple: https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=ln



Translation to Mathematica

In Mathematica: Log[Limit[f*(x)^(g*(x)), x -> c]]= Limit[Divide[Log[f]*(x),1/ g*(x)], x -> c]

Information about the conversion process:

\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: Log[$0]

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Mathematica: https://reference.wolfram.com/language/ref/Log.html



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Calculated based on the variables occurring on the entire Indeterminate form page

Identifiers

MathML observations

0results

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