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 \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \!

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\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!

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MathML (9.549 KB / 1.4 KB) :

lim x c ( f ( x ) - g ( x ) ) = ln lim x c e f ( x ) e g ( x ) subscript 𝑥 𝑐 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 subscript 𝑥 𝑐 superscript 𝑒 𝑓 𝑥 superscript 𝑒 𝑔 𝑥 {\displaystyle\lim_{{x\to c}}(f(x)-g(x))=\ln\lim_{{x\to c}}{\frac{e^{{f(x)}}}{% e^{{g(x)}}}}\!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\lim_{{x\to c}}(f(x)-g(x))=\ln\lim_{{x\to c}}{\frac{e^{{f(x)}}}{%&#10;e^{{g(x)}}}}\!}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
        <munder id="p1.1.m1.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">x</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
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            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">lim</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.18.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.1.1.cmml">f</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.18.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.1.3.cmml">x</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </msup>
                <msup id="p1.1.m1.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.18.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.18.3.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.cmml">e</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.18.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.2.1.1.cmml">g</mi>
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              <apply id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">
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                <ci id="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.1">𝑥</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.17.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.3">𝑐</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.18.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3">
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                <ci id="p1.1.m1.1.18.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.1">𝑒</ci>
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e^{{g(x)}}}}\!}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (13.824 KB / 3.981 KB) :

limit Underscript x right-arrow c Endscripts left-parenthesis f times left-parenthesis x right-parenthesis minus g times left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis equals ln times limit Underscript x right-arrow c Endscripts StartFraction e Superscript f times left-parenthesis x right-parenthesis Baseline Over e Superscript g times left-parenthesis x right-parenthesis Baseline EndFraction

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Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple: limit(f*(x)- g*(x), x = c)= ln(limit(((e)^(f*(x)))/((e)^(g*(x))), x = c))

Information about the conversion process:

\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: ln($0)

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Maple: https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=ln


e: You use a typical letter for a constant [the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845...].

We keep it like it is! But you should know that Maple uses exp(1) for this constant.

If you want to translate it as a constant, use the corresponding DLMF macro \expe



Translation to Mathematica

In Mathematica: Limit[f*(x)- g*(x), x -> c]= Log[Limit[Divide[(e)^(f*(x)),(e)^(g*(x))], x -> c]]

Information about the conversion process:

\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: Log[$0]

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Mathematica: https://reference.wolfram.com/language/ref/Log.html


e: You use a typical letter for a constant [the mathematical constant e == Napier's constant == 2.71828182845...].

We keep it like it is! But you should know that Mathematica uses E for this constant.

If you want to translate it as a constant, use the corresponding DLMF macro \expe



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