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 \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!

TeX (checked):

\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!

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MathML (9.047 KB / 1.417 KB) :

lim x c f ( x ) g ( x ) = exp lim x c g ( x ) 1 / ln f ( x ) subscript 𝑥 𝑐 𝑓 superscript 𝑥 𝑔 𝑥 subscript 𝑥 𝑐 𝑔 𝑥 1 𝑓 𝑥 {\displaystyle\lim_{{x\to c}}f(x)^{{g(x)}}=\exp\lim_{{x\to c}}{\frac{g(x)}{1/% \ln f(x)}}\!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\lim_{{x\to c}}f(x)^{{g(x)}}=\exp\lim_{{x\to c}}{\frac{g(x)}{1/%&#10;\ln f(x)}}\!}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
        <munder id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">x</mi>
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          </mrow>
        </munder>
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          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">f</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.1.cmml"></mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.14.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.14.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.2.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">x</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">g</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.1.5" xref="p1.1.m1.1.7.1.5.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.1.6" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">x</mi>
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              </mrow>
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        <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">exp</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml"></mo>
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          <munder id="p1.1.m1.1.14.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">x</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">c</mi>
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          <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.12b" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml">g</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.12.2.3" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.cmml">x</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.2.4" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">)</mo>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.9" xref="p1.1.m1.1.12.3.9.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml">1</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml">/</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.9.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.9.1a" xref="p1.1.m1.1.12.3.9.1.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.4.cmml">f</mi>
                    </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.12.3.8" xref="p1.1.m1.1.12.3.8.cmml"></mo>
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          <apply id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1">subscript</csymbol>
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            <times id="p1.1.m1.1.14.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑓</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.1">𝑔</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.3">𝑥</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
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          <exp id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1">subscript</csymbol>
              <limit id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2"></ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">𝑥</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3">𝑐</ci>
              </apply>
            </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1">𝑔</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3">𝑥</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3">
                <times id="p1.1.m1.1.12.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.8"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.12.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.9">
                  <divide id="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.2"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1">1</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.12.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.9.1">
                    <ln id="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.12.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.4">𝑓</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.12.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.6">𝑥</ci>
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        </apply>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\lim_{{x\to c}}f(x)^{{g(x)}}=\exp\lim_{{x\to c}}{\frac{g(x)}{1/%
\ln f(x)}}\!}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (15.054 KB / 4.785 KB) :

limit Underscript x right-arrow c Endscripts f times left-parenthesis x right-parenthesis Superscript g times left-parenthesis x right-parenthesis Baseline equals exp times limit Underscript x right-arrow c Endscripts StartFraction g times left-parenthesis x right-parenthesis Over 1 slash ln f times left-parenthesis x right-parenthesis EndFraction

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Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple: limit(f*(x)^(g*(x)), x = c)= exp(limit((g*(x))/(1/ ln(f)*(x)), x = c))

Information about the conversion process:

\exp: Exponential function; Example: \exp@@{z}

Will be translated to: exp($0)

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E19

Maple: https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=exp


\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: ln($0)

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Maple: https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=ln



Translation to Mathematica

In Mathematica: Limit[f*(x)^(g*(x)), x -> c]= Exp[Limit[Divide[g*(x),1/ Log[f]*(x)], x -> c]]

Information about the conversion process:

\exp: Exponential function; Example: \exp@@{z}

Will be translated to: Exp[$0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E19

Mathematica: https://reference.wolfram.com/language/ref/Exp.html


\ln: Natural logarithm; Example: \ln@@{z}

Will be translated to: Log[$0]

Constraints: z != 0

Branch Cuts: (-\infty, 0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.2#E2

Mathematica: https://reference.wolfram.com/language/ref/Log.html



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MathML observations

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