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\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon).

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\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon ).

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∀ k ≥ N 2 ⇒ ∥ A k ∥ 1 / k > ( ρ ⁢ ( A ) - ϵ ) . for-all 𝑘 subscript 𝑁 2 ⇒ superscript norm superscript 𝐴 𝑘 1 𝑘 𝜌 𝐴 italic-ϵ {\displaystyle\forall k\geq N_{2}\Rightarrow\|A^{k}\|^{{1/k}}>(\rho(A)-% \epsilon).} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\forall k\geq N_{2}\Rightarrow\|A^{k}\|^{{1/k}}&gt;(\rho(A)-%&#10;\epsilon).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∀</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">k</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">≥</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.22.2.3" xref="p1.1.m1.1.22.2.3.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">N</mi>
          <mn id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">2</mn>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">⇒</mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.22.2.4" xref="p1.1.m1.1.22.2.4.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.4.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.22.2.4.2.1.1.cmml">∥</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.22.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.4.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">A</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">k</mi>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.22.2.4.2.1.1.cmml">∥</mo>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">/</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">k</mi>
          </mrow>
        </msup>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.5" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">ρ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">A</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.22.2.5.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">-</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">ϵ</mi>
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              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝐴</ci>
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SVG (10.916 KB / 3.911 KB) :

for-all k greater-than-or-equal-to upper N 2 right double arrow parallel-to upper A Superscript k Baseline parallel-to Superscript 1 slash k Baseline greater-than left-parenthesis rho times left-parenthesis upper A right-parenthesis minus epsilon right-parenthesis period

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MathML (1.542 KB / 521 B) :

∀ k ≥ N 2 ⇒ ‖ A k ‖ 1 / k > ( ρ ( A ) − ϵ ) . {\displaystyle \forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon ).} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}&gt;(\rho (A)-\epsilon ).}">
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}&gt;(\rho (A)-\epsilon ).}</annotation>
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</math>

SVG (8.442 KB / 3.554 KB) :

{\displaystyle \forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon ).}

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