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Spectral radius Eq: math.229537.51

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TeX (original user input):

\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon

TeX (checked):

\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)-\epsilon <\|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon

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{\displaystyle\forall\epsilon>0,\exists N\in{\mathbb{N}}:\forall k\geq N% \Rightarrow\rho(A)-\epsilon<\|A^{k}\|^{{1/k}}<\rho(A)+\epsilon}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\forall\epsilon&gt;0,\exists N\in{\mathbb{N}}:\forall k\geq N%&#10;\Rightarrow\rho(A)-\epsilon&lt;\|A^{k}\|^{{1/k}}&lt;\rho(A)+\epsilon}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∀</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">ϵ</mi>
          </mrow>
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          <mn id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">0</mn>
        </mrow>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.3" xref="p1.1.m1.1.35.1.3.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.3.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">∃</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">N</mi>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">∈</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">ℕ</mi>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">:</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">∀</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">k</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">≥</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">N</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">⇒</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.3" xref="p1.1.m1.1.35.2.3.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.3.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">ρ</mi>
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.35.2.3.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">A</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.35.2.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">-</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">ϵ</mi>
        </mrow>
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        <msup id="p1.1.m1.1.35.2.4" xref="p1.1.m1.1.35.2.4.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.4.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.35.2.4.2.1.1.cmml">∥</mo>
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            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.35.2.4.2.1.1.cmml">∥</mo>
          </mrow>
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            <mn id="p1.1.m1.1.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.1.cmml">1</mn>
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            <mi id="p1.1.m1.1.27.1.3" xref="p1.1.m1.1.27.1.3.cmml">k</mi>
          </mrow>
        </msup>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.5.1.cmml">
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            </mrow>
          </mrow>
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      </mrow>
    </mrow>
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</math>

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\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)-\epsilon <\|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \forall \epsilon &gt;0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)-\epsilon &lt;\|A^{k}\|^{1/k}&lt;\rho (A)+\epsilon }">
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        <mo>,</mo>
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        <mi>N</mi>
        <mo>&#x2208;<!-- ∈ --></mo>
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        <mo>:</mo>
        <mi mathvariant="normal">&#x2200;<!-- ∀ --></mi>
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        <mi>N</mi>
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        <mi>A</mi>
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        <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
        <mi>&#x03F5;<!-- ϵ --></mi>
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        <mo fence="false" stretchy="false">&#x2016;<!-- ‖ --></mo>
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          <mi>A</mi>
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        <msup>
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              <mo>/</mo>
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          </mrow>
        </msup>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \epsilon &gt;0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)-\epsilon &lt;\|A^{k}\|^{1/k}&lt;\rho (A)+\epsilon }</annotation>
  </semantics>
</math>

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