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\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A).\,\,\square

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\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A).\,\,\square

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lim k → ∞ ⁡ ∥ A k ∥ 1 / k = ρ ⁢ ( A ) . □ formulae-sequence subscript → 𝑘 superscript norm superscript 𝐴 𝑘 1 𝑘 𝜌 𝐴 □ {\displaystyle\lim_{{k\to\infty}}\|A^{k}\|^{{1/k}}=\rho(A).\,\,\square} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\lim_{{k\to\infty}}\|A^{k}\|^{{1/k}}=\rho(A).\,\,\square}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.17.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">→</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">∞</mi>
            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.17.2.1a" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml">⁡</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.17.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">A</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">k</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">/</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">k</mi>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">ρ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.17.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.17.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">A</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo rspace="5.8pt" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.17.1a.cmml">.</mo>
      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">□</mi>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">
        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">formulae-sequence</csymbol>
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          <eq id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1">
            <apply id="p1.1.m1.1.17.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.1">subscript</csymbol>
              <limit id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2">→</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑘</ci>
                <infinity id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3"/>
              </apply>
            </apply>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2">superscript</csymbol>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2.2.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝐴</ci>
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                <divide id="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.2"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.1">1</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.3">𝑘</ci>
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            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.17.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2">
            <times id="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝜌</ci>
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          </apply>
        </apply>
        <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">□</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\lim_{{k\to\infty}}\|A^{k}\|^{{1/k}}=\rho(A).\,\,\square}</annotation>
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</math>

SVG (10.543 KB / 3.913 KB) :

limit Underscript k right-arrow normal infinity Endscripts parallel-to upper A Superscript k Baseline parallel-to Superscript 1 slash k Baseline equals rho times left-parenthesis upper A right-parenthesis period normal white square

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MathML (1.478 KB / 535 B) :

lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 / k = ρ ( A ) . ◻ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A).\,\,\square } 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A).\,\,\square }">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
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          </mrow>
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        <msup>
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  </semantics>
</math>

SVG (8.422 KB / 3.584 KB) :

{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A).\,\,\square }

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