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Display information for equation id:math.231144.12 on revision:231144

* Page found: Earnshaw's theorem (eq math.231144.12)

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Hash: 8770fc731459329625d4f1b9bf467450

TeX (original user input):

\nabla^2 U = -{\partial^2 (M_x B_x + M_y B_y + M_z B_z) \over {\partial x}^2} - {\partial^2 (M_x B_x + M_y B_y + M_z B_z) \over {\partial y}^2} - {\partial^2 (M_x B_x + M_y B_y + M_z B_z) \over {\partial z}^2}

TeX (checked):

\nabla ^{2}U=-{\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}) \over {\partial x}^{2}}-{\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}) \over {\partial y}^{2}}-{\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}) \over {\partial z}^{2}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (27.619 KB / 2.898 KB) :

2 U = - 2 ( M x B x + M y B y + M z B z ) x 2 - 2 ( M x B x + M y B y + M z B z ) y 2 - 2 ( M x B x + M y B y + M z B z ) z 2 superscript 2 𝑈 superscript 2 subscript 𝑀 𝑥 subscript 𝐵 𝑥 subscript 𝑀 𝑦 subscript 𝐵 𝑦 subscript 𝑀 𝑧 subscript 𝐵 𝑧 superscript 𝑥 2 superscript 2 subscript 𝑀 𝑥 subscript 𝐵 𝑥 subscript 𝑀 𝑦 subscript 𝐵 𝑦 subscript 𝑀 𝑧 subscript 𝐵 𝑧 superscript 𝑦 2 superscript 2 subscript 𝑀 𝑥 subscript 𝐵 𝑥 subscript 𝑀 𝑦 subscript 𝐵 𝑦 subscript 𝑀 𝑧 subscript 𝐵 𝑧 superscript 𝑧 2 {\displaystyle\nabla^{2}U=-{\partial^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})% \over{\partial x}^{2}}-{\partial^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})\over{% \partial y}^{2}}-{\partial^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})\over{\partial z% }^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\nabla^{2}U=-{\partial^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})%&#10;\over{\partial x}^{2}}-{\partial^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})\over{%&#10;\partial y}^{2}}-{\partial^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})\over{\partial&#10;z%&#10;}^{2}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
        <msup id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">2</mn>
        </msup>
        <mo id="p1.1.m1.1.11.1a" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">U</mi>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">-</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.20" xref="p1.1.m1.1.6.2.19.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.6.2.20.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.cmml"></mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.cmml">2</mn>
                </msup>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.20.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.19.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.19.cmml">(</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.cmml">M</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.cmml">x</mi>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1.1.cmml"></mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.1.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.6.2.6.cmml">B</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.1.cmml">x</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.8" xref="p1.1.m1.1.6.2.8.cmml">+</mo>
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                      <msub id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.9" xref="p1.1.m1.1.6.2.9.cmml">M</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.10.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.10.1.cmml">y</mi>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.1.cmml"></mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.11" xref="p1.1.m1.1.6.2.11.cmml">B</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.12.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.12.1.cmml">y</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.8a" xref="p1.1.m1.1.6.2.8.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.3.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.14" xref="p1.1.m1.1.6.2.14.cmml">M</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.15.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.15.1.cmml">z</mi>
                      </msub>
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                      <msub id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.3.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.16" xref="p1.1.m1.1.6.2.16.cmml">B</mi>
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                      </msub>
                    </mrow>
                  </mrow>
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                </mrow>
              </mrow>
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                <msup id="p1.1.m1.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml">x</mi>
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          </mstyle>
        </mrow>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml">M</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.8.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.5.1.cmml">x</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.1.1.cmml"></mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.1.3.cmml">
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                    </msub>
                  </mrow>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.2.2.cmml">
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                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.2.1.cmml"></mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.8.2.11" xref="p1.1.m1.1.8.2.11.cmml">B</mi>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.3.2.cmml">
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                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.8.2.20.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.20.2.3.1.cmml"></mo>
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                    </msub>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.2.18" xref="p1.1.m1.1.8.2.19.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.cmml"></mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.3a" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.8.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.8.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.cmml">y</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.8.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.1.cmml">2</mn>
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            </mrow>
          </mfrac>
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                <mo id="p1.1.m1.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.cmml"></mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.10.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml">2</mn>
              </msup>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.10.2.20.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.20.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.4" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.cmml">M</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.5.1.cmml">x</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.10.2.20.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.20.2.1.1.cmml"></mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.10.2.20.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.20.2.1.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.6" xref="p1.1.m1.1.10.2.6.cmml">B</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.7.1.cmml">x</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.10.2.8" xref="p1.1.m1.1.10.2.8.cmml">+</mo>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.10.2.20.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.20.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.9" xref="p1.1.m1.1.10.2.9.cmml">M</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.10.1.cmml">y</mi>
                    </msub>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.10.2.20.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.20.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.11" xref="p1.1.m1.1.10.2.11.cmml">B</mi>
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                    </msub>
                  </mrow>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.10.2.20.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.20.2.3.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.14" xref="p1.1.m1.1.10.2.14.cmml">M</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.15.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.15.1.cmml">z</mi>
                    </msub>
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                <mn id="p1.1.m1.1.10.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.3.1.cmml">2</mn>
              </msup>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.6.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.4">𝑀</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.6.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.6">𝐵</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.6.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.1">𝑥</ci>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.20.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.6.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.9">𝑀</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.6.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.10.1">𝑦</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.6.2.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.14">𝑀</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.6.2.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.15.1">𝑧</ci>
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z%
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nabla squared upper U equals minus StartFraction partial-differential squared left-parenthesis upper M Subscript x Baseline times upper B Subscript x Baseline plus upper M Subscript y Baseline times upper B Subscript y Baseline plus upper M Subscript z Baseline times upper B Subscript z Baseline right-parenthesis Over partial-differential x squared EndFraction minus StartFraction partial-differential squared left-parenthesis upper M Subscript x Baseline times upper B Subscript x Baseline plus upper M Subscript y Baseline times upper B Subscript y Baseline plus upper M Subscript z Baseline times upper B Subscript z Baseline right-parenthesis Over partial-differential y squared EndFraction minus StartFraction partial-differential squared left-parenthesis upper M Subscript x Baseline times upper B Subscript x Baseline plus upper M Subscript y Baseline times upper B Subscript y Baseline plus upper M Subscript z Baseline times upper B Subscript z Baseline right-parenthesis Over partial-differential z squared EndFraction

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