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TeX (original user input):

\begin{align}
\nabla^2 |\mathbf{B}|^2 &= \nabla^2 \left (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 \right ) \\
&= 2\left( |\nabla B_x|^2 + |\nabla B_y|^2 + |\nabla B_z|^2 +B_x\nabla^2 B_x + B_y\nabla^2 B_y + B_z\nabla^2 B_z \right)
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}


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MathML (27.473 KB / 2.652 KB) :

{\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\nabla^{2}|{\mathbf{B}}|^{2}&% \displaystyle=\nabla^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\ &\displaystyle=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}% +B_{x}\nabla^{2}B_{x}+B_{y}\nabla^{2}B_{y}+B_{z}\nabla^{2}B_{z}\right)\end{% aligned}}}
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</msup>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">(</mo>
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</mrow>
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</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.1.cmml">|</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.1.cmml">⁢</mo>
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<msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.cmml">∇</mo>
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</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3a">⁡</mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
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</mrow>
</mrow>
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</msub>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.cmml">∇</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3a">⁡</mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.cmml">B</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.1.cmml">z</mi>
</msub>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">normal-∇</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2">
<abs id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4">𝐁</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1">2</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.1.cmml">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">normal-∇</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8"/>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">x</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1">y</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">z</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1">2</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46">absent</csymbol>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">2</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2">
<abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">normal-∇</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.2.1.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">B</ci>
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</apply>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">2</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2">
<abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">normal-∇</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.2.1.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1">y</ci>
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</apply>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.1.cmml">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2">
<abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">normal-∇</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.2.1.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1">z</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1">x</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.1.1.cmml">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27">normal-∇</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29">B</ci>
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</apply>
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<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.1"/>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1">y</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.1.1.cmml">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34">normal-∇</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36">B</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.1"/>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1">z</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3.1.1.cmml">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41">normal-∇</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3.2.1.cmml">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43">B</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.1">z</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
</matrix>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\nabla^{2}|{\mathbf{B}}|^{2}&amp;%
\displaystyle=\nabla^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\
&amp;\displaystyle=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}%
+B_{x}\nabla^{2}B_{x}+B_{y}\nabla^{2}B_{y}+B_{z}\nabla^{2}B_{z}\right)\end{%
aligned}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}}

In Maple:

Unknown CAS!

In Mathematica:

Unknown CAS!

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Calculated based on the variables occurring on the entire Earnshaw's theorem page

## Identifiers

• ${\displaystyle \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle B_{x}}$
• ${\displaystyle B_{y}}$
• ${\displaystyle B_{z}}$
• ${\displaystyle B_{x}}$
• ${\displaystyle B_{x}}$
• ${\displaystyle B_{y}}$
• ${\displaystyle B_{y}}$
• ${\displaystyle B_{z}}$
• ${\displaystyle B_{z}}$

### MathML observations

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