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Display information for equation id:math.231144.16 on revision:231144

* Page found: Earnshaw's theorem (eq math.231144.16)

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Hash: 0be33594bf8b16a0c1f976e0e2e5ce9b

TeX (original user input):

\begin{align}
\nabla^2 |\mathbf{B}|^2 &= \nabla^2 \left (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 \right ) \\
                        &= 2\left( |\nabla B_x|^2 + |\nabla B_y|^2 + |\nabla B_z|^2 +B_x\nabla^2 B_x + B_y\nabla^2 B_y + B_z\nabla^2 B_z \right)
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (27.473 KB / 2.652 KB) :

2 | 𝐁 | 2 = 2 ( B x 2 + B y 2 + B z 2 ) = 2 ( | B x | 2 + | B y | 2 + | B z | 2 + B x 2 B x + B y 2 B y + B z 2 B z ) superscript normal-∇ 2 superscript 𝐁 2 absent superscript normal-∇ 2 superscript subscript B x 2 superscript subscript B y 2 superscript subscript B z 2 missing-subexpression absent 2 superscript normal-∇ subscript B x 2 superscript normal-∇ subscript B y 2 superscript normal-∇ subscript B z 2 subscript B x superscript normal-∇ 2 subscript B x subscript B y superscript normal-∇ 2 subscript B y subscript B z superscript normal-∇ 2 subscript B z {\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\nabla^{2}|{\mathbf{B}}|^{2}&% \displaystyle=\nabla^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\ &\displaystyle=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}% +B_{x}\nabla^{2}B_{x}+B_{y}\nabla^{2}B_{y}+B_{z}\nabla^{2}B_{z}\right)\end{% aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned}\displaystyle\nabla^{2}|{\mathbf{B}}|^{2}&amp;%&#10;\displaystyle=\nabla^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}%&#10;+B_{x}\nabla^{2}B_{x}+B_{y}\nabla^{2}B_{y}+B_{z}\nabla^{2}B_{z}\right)\end{%&#10;aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">2</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"></mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐁</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">2</mn>
            </msup>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"></mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">B</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">x</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">2</mn>
                  </msubsup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">+</mo>
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">B</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">y</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml">2</mn>
                  </msubsup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">+</mo>
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">B</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">z</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml">2</mn>
                  </msubsup>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml"></mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.2a"></mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">B</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">x</mi>
                        </msub>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.1.2.1.1.cmml">|</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml"></mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.2a"></mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">B</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">y</mi>
                        </msub>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml"></mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.2a"></mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml">B</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1.cmml">z</mi>
                        </msub>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.3.2.1.1.cmml">|</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">B</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml">x</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml"></mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3a"></mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml">B</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml">x</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10c" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">B</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml">y</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.cmml"></mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3a"></mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
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                      </msub>
                    </mrow>
                  </mrow>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.cmml">B</mi>
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                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.6.3a"></mo>
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                      </msub>
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          </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.1.cmml">superscript</csymbol>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1">2</cn>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.2.1.cmml">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">B</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">z</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1">2</cn>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46">absent</csymbol>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">2</cn>
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