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\tau
= \int \frac{dt}{\gamma}
= \int \sqrt {1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} \, dt
= \int \sqrt {1 - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{dt}\right)^2 \right] } \,dt,

TeX (checked):

\tau =\int {\frac {dt}{\gamma }}=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\,dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt,

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${\displaystyle\tau=\int{\frac{dt}{\gamma}}=\int{\sqrt{1-{\frac{v(t)^{2}}{c^{2}% }}}}\,dt=\int{\sqrt{1-{\frac{1}{c^{2}}}\left[\left({\frac{dx}{dt}}\right)^{2}+% \left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac{dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt,}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\tau=\int{\frac{dt}{\gamma}}=\int{\sqrt{1-{\frac{v(t)^{2}}{c^{2}%&#10;}}}}\,dt=\int{\sqrt{1-{\frac{1}{c^{2}}}\left[\left({\frac{dx}{dt}}\right)^{2}+%&#10;\left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac{dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt,}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
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<mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">τ</mi>
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<mo id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">t</mi>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">γ</mi>
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</msup>
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<ci id="p1.1.m1.1.7.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.3.3.1">𝑐</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.3.3.2.1">2</cn>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.3.2">1</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.2.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.3.3">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.13.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.3.3.1">𝑐</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.2.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.3.3.2.1">2</cn>
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<ci id="p1.1.m1.1.13.2.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.6.3.2">𝑡</ci>
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<times id="p1.1.m1.1.13.2.16.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16.2.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.13.2.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16.2.1">𝑑</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.13.2.16.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16.2.2">𝑧</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.13.2.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16.3">
<times id="p1.1.m1.1.13.2.16.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16.3.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.13.2.16.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16.3.1">𝑑</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.13.2.16.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16.3.2">𝑡</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.2.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.18.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.18.2.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.4.1.2">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">differential-d</csymbol>
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${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{\gamma }}=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\,dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt,}$
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[/itex]

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In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Proper time page

## Identifiers

• ${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \gamma }$
• ${\displaystyle v}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle t}$

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