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TeX (original user input):

d\tau = \sqrt{dT^2 - (r \omega /c)^2 \sin^2(\omega T)\; dT^2 - (r \omega /c)^2 \cos^2(\omega T) \; dT^2} = dT\sqrt{1 - \left ( \frac{r\omega}{c} \right )^2}.

TeX (checked):

d\tau ={\sqrt {dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.

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MathML (18.056 KB / 2.227 KB) :

d τ = d T 2 - ( r ω / c ) 2 sin 2 ( ω T ) d T 2 - ( r ω / c ) 2 cos 2 ( ω T ) d T 2 = d T 1 - ( r ω c ) 2 . 𝑑 𝜏 𝑑 superscript 𝑇 2 superscript 𝑟 𝜔 𝑐 2 superscript 2 𝜔 𝑇 𝑑 superscript 𝑇 2 superscript 𝑟 𝜔 𝑐 2 superscript 2 𝜔 𝑇 𝑑 superscript 𝑇 2 𝑑 𝑇 1 superscript 𝑟 𝜔 𝑐 2 {\displaystyle d\tau={\sqrt{dT^{2}-(r\omega/c)^{2}\sin^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(% r\omega/c)^{2}\cos^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt{1-\left({\frac{r\omega}{c}% }\right)^{2}}}.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle d\tau={\sqrt{dT^{2}-(r\omega/c)^{2}\sin^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(%&#10;r\omega/c)^{2}\cos^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt{1-\left({\frac{r\omega}{c}%&#10;}\right)^{2}}}.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml"></mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">τ</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
        <msqrt id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.40" xref="p1.1.m1.1.4.2.40.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.40.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.40.1.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.40.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.40.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">T</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">-</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.41" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.41.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.cmml">r</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.cmml">ω</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.4.2.8.cmml">/</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.4.2.9.cmml">c</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.10" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.2.11.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.11.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.41.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.2.12" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.cmml">sin</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.13.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.13.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2a" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.14" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.15" xref="p1.1.m1.1.4.2.15.cmml">ω</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.2.2.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.16" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.cmml">T</mi>
                  </mrow>
                  <mo rspace="5.3pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.17" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.3.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.41.1a" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.1.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.19" xref="p1.1.m1.1.4.2.19.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.41.1b" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.1.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.41.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.41.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.20" xref="p1.1.m1.1.4.2.20.cmml">T</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.2.21.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.4.2.4a" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">-</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.42" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.42.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.23" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.24" xref="p1.1.m1.1.4.2.24.cmml">r</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
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                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.28" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
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              </msup>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.42.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.3.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.4.2.42.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.3.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.2.30" xref="p1.1.m1.1.4.2.30.cmml">cos</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.31.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.31.1.cmml">2</mn>
                </msup>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.32" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.3.1.cmml">(</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.33" xref="p1.1.m1.1.4.2.33.cmml">ω</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.42.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.3.2.2.1.cmml"></mo>
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                  <mo rspace="5.3pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.35" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.3.1.cmml">)</mo>
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              </mrow>
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              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.42.1b" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.1.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.42.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.42.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.38" xref="p1.1.m1.1.4.2.38.cmml">T</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.2.39.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.39.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
          </mrow>
        </msqrt>
        <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
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          <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">T</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.10.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.10.2.3.1.cmml"></mo>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.cmml">-</mo>
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                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.8.2.4a" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.8.2.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.2.3.cmml"></mo>
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                      </mrow>
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                <mn id="p1.1.m1.1.8.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.6.1.cmml">2</mn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle d\tau={\sqrt{dT^{2}-(r\omega/c)^{2}\sin^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(%
r\omega/c)^{2}\cos^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt{1-\left({\frac{r\omega}{c}%
}\right)^{2}}}.}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (20.193 KB / 5.669 KB) :

d times tau equals StartRoot d times upper T squared minus left-parenthesis r times omega slash c right-parenthesis squared times sine squared left-parenthesis omega times upper T right-parenthesis times d times upper T squared minus left-parenthesis r times omega slash c right-parenthesis squared times cosine squared left-parenthesis omega times upper T right-parenthesis times d times upper T squared EndRoot equals d times upper T times StartRoot 1 minus left-parenthesis StartFraction r times omega Over c EndFraction right-parenthesis squared EndRoot period

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MathML (3.675 KB / 617 B) :

d τ = d T 2 ( r ω / c ) 2 sin 2 ( ω T ) d T 2 ( r ω / c ) 2 cos 2 ( ω T ) d T 2 = d T 1 ( r ω c ) 2 . {\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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SVG (13.387 KB / 4.921 KB) :

{\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}

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