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Proper time Eq: math.231264.39

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TeX (original user input):

 d\tau = \sqrt{ 
  \left( 1 - \frac{2m}{r} \right) dt^2
  - \frac{1}{c^2} \left( 1 - \frac{2m}{r} \right)^{-1} dr^2 
  - \frac{r^2}{c^2} d\phi^2
  - \frac{r^2}{c^2} \sin^2(\phi ) \, d\theta^2
 },

TeX (checked):

d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (18.715 KB / 2.294 KB) :

{\displaystyle d\tau={\sqrt{\left(1-{\frac{2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac{1}{c^{2% }}}\left(1-{\frac{2m}{r}}\right)^{{-1}}dr^{2}-{\frac{r^{2}}{c^{2}}}d\phi^{2}-{% \frac{r^{2}}{c^{2}}}\sin^{2}(\phi)\,d\theta^{2}}},}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle d\tau={\sqrt{\left(1-{\frac{2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac{1}{c^{2%&#10;}}}\left(1-{\frac{2m}{r}}\right)^{{-1}}dr^{2}-{\frac{r^{2}}{c^{2}}}d\phi^{2}-{%&#10;\frac{r^{2}}{c^{2}}}\sin^{2}(\phi)\,d\theta^{2}}},}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.6.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">τ</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
        <msqrt id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.36" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.36.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.36.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.2.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">-</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.4.2.4a" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.2.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.4.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.2.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.4.2.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.2.3.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.4.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.2.2.cmml">m</mi>
                      </mrow>
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.3.cmml">r</mi>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.36.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.36.1a" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.36.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.36.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.cmml">t</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.8.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.4.2.9.cmml">-</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.37" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4.2.10" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.4.2.10a" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.2.cmml">1</mn>
                  <msup id="p1.1.m1.1.4.2.10.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.3.1.cmml">c</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.4.2.10.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.3.2.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.37.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.37.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.37.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.11" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.37.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.2.2.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.4.2.12" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.cmml">1</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.13" xref="p1.1.m1.1.4.2.13.cmml">-</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4.2.14" xref="p1.1.m1.1.4.2.14.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.4.2.14a" xref="p1.1.m1.1.4.2.14.cmml">
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                          <mn id="p1.1.m1.1.4.2.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.14.2.1.cmml">2</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.4.2.14.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.14.2.3.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.4.2.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.14.2.2.cmml">m</mi>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.4.2.14.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.14.3.cmml">r</mi>
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                    </mstyle>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.15" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.16.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.1.cmml">
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                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.16.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.1.2.cmml">1</mn>
                </mrow>
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              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.37.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.37.3.cmml">
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            </mrow>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.38" xref="p1.1.m1.1.4.2.38.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4.2.21" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.4.2.21a" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.4.2.21.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.2.1.cmml">r</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.4.2.21.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.2.2.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <msup id="p1.1.m1.1.4.2.21.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.21.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.3.1.cmml">c</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.4.2.21.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.21.3.2.1.cmml">2</mn>
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                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.23" xref="p1.1.m1.1.4.2.23.cmml">ϕ</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.2.24.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.24.1.cmml">2</mn>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4.2.26" xref="p1.1.m1.1.4.2.26.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.4.2.26a" xref="p1.1.m1.1.4.2.26.cmml">
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                    <mn id="p1.1.m1.1.4.2.26.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.26.2.2.1.cmml">2</mn>
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                  <msup id="p1.1.m1.1.4.2.26.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.26.3.cmml">
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                  </msup>
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                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.28.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.28.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.2.39.2.2a" xref="p1.1.m1.1.4.2.39.2.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.39.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.39.2.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.29" xref="p1.1.m1.1.4.2.39.2.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.2.30" xref="p1.1.m1.1.4.2.30.cmml">ϕ</mi>
                  <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.31" xref="p1.1.m1.1.4.2.39.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.39.1a" xref="p1.1.m1.1.4.2.39.1.cmml">⁢</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.39.1b" xref="p1.1.m1.1.4.2.39.1.cmml">⁢</mo>
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d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},

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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}</annotation>
  </semantics>
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