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Display information for equation id:math.232677.7 on revision:232677

* Page found: Sobolev space (eq math.232677.7)

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Hash: 68eba302474448e236e8a449fbf5ba83

TeX (original user input):

\|f\|_{k,p} = \left (\sum_{i=0}^k \left \|f^{(i)} \right \|_p^p \right)^{\frac{1}{p}} = \left (\sum_{i=0}^k \int \left |f^{(i)}(t) \right |^p\,dt \right )^{\frac{1}{p}}.

TeX (checked):

\|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (16.321 KB / 2.122 KB) :

f k , p = ( i = 0 k f ( i ) p p ) 1 p = ( i = 0 k | f ( i ) ( t ) | p 𝑑 t ) 1 p . subscript norm 𝑓 𝑘 𝑝 superscript superscript subscript 𝑖 0 𝑘 superscript subscript norm superscript 𝑓 𝑖 𝑝 𝑝 1 𝑝 superscript superscript subscript 𝑖 0 𝑘 superscript superscript 𝑓 𝑖 𝑡 𝑝 differential-d 𝑡 1 𝑝 {\displaystyle{\displaystyle\|f\|_{k,p}=\left(\sum_{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}% \right\|_{p}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(\sum_{i=0}^{k}\int\left|f^{(i)}(t)% \right|^{p}\,dt\right)^{\frac{1}{p}}.}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\|f\|_{k,p}=\left(\sum_{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}%&#10;\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(\sum_{i=0}^{k}\int\left|f^{(i)}(t)%&#10;\right|^{p}\,dt\right)^{\frac{1}{p}}.}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">
        <msub id="p1.1.m1.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">f</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">k</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.4.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.1.3.cmml">p</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.38.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml">0</mn>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">k</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <msubsup id="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2.1.cmml">
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                  <msup id="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">f</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml">i</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.1.3" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">p</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">p</mi>
              </msubsup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mfrac id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.17.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.2.cmml">1</mn>
            <mi id="p1.1.m1.1.17.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.3.cmml">p</mi>
          </mfrac>
        </msup>
        <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">=</mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.38.2.4" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.21.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.21.1.3" xref="p1.1.m1.1.21.1.3.cmml">0</mn>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">k</mi>
                </munderover>
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                    <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.cmml">
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                            <msup id="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.2.2.cmml">
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                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.26.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.cmml">i</mi>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.3" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                            </msup>
                            <mo id="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.2.1.cmml"></mo>
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                              <mi id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">t</mi>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                        </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
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                      <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">𝑑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">t</mi>
                    </mrow>
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              </mstyle>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.38.2.4.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mfrac id="p1.1.m1.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.36.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.36.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.36.1.1.2.cmml">1</mn>
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          <apply id="p1.1.m1.1.38.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2.3">
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[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@5246835d

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[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@5246835d

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