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\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n\varphi(n)

TeX (checked):

\sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)

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MathML (6.811 KB / 1.204 KB) :

1 k n gcd ( k , n ) = 1 k = 1 2 n φ ( n ) subscript FRACOP 1 𝑘 𝑛 𝑘 𝑛 1 𝑘 1 2 𝑛 𝜑 𝑛 {\displaystyle\sum_{{1\leq k\leq n\atop\gcd(k,n)=1}}\!\!k={\frac{1}{2}}n% \varphi(n)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\sum_{{1\leq k\leq n\atop\gcd(k,n)=1}}\!\!k={\frac{1}{2}}n%&#10;\varphi(n)}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
        <mpadded width="-3.3pt" id="p1.1.m1.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13.1.1a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.13.1.1b" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo>
              <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.2.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.3.cmml">k</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.4.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.5.cmml">n</mi>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.1.cmml">gcd</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.2a" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.3.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">,</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.5.cmml">n</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.6" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.7.cmml">=</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.8" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.8.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </mfrac>
            </munder>
          </mstyle>
        </mpadded>
        <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">k</mi>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">1</mn>
            <mn id="p1.1.m1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">n</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1a" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">φ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1b" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">n</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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        <apply id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">
          <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1">subscript</csymbol>
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            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">1</cn>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3">2</cn>
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          <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝜑</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑛</ci>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\sum_{{1\leq k\leq n\atop\gcd(k,n)=1}}\!\!k={\frac{1}{2}}n%
\varphi(n)}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (11.757 KB / 4.105 KB) :

sigma-summation Underscript StartLayout 1st Row 1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to n 2nd Row gcd left-parenthesis k comma n right-parenthesis equals 1 EndLayout Endscripts k equals one-half times n times phi times left-parenthesis n right-parenthesis

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MathML (1.582 KB / 533 B) :

1 k n gcd ( k , n ) = 1 k = 1 2 n φ ( n ) {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
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            <mfrac linethickness="0">
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        <mspace width="negativethinmathspace" />
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (9.003 KB / 3.732 KB) :

{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}

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