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\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n(\varphi(n)+[n=1])

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\sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])

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MathML (8.024 KB / 1.4 KB) :

∑ 1 ≤ k ≤ n gcd ⁡ ( k , n ) = 1 k = 1 2 n ( φ ( n ) + [ n = 1 ] ) fragments subscript FRACOP 1 𝑘 𝑛 𝑘 𝑛 1 k 1 2 n fragments ( φ fragments ( n ) fragments [ n 1 ] ) {\displaystyle\sum_{{1\leq k\leq n\atop\gcd(k,n)=1}}\!\!k={\frac{1}{2}}n(% \varphi(n)+[n=1])} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\sum_{{1\leq k\leq n\atop\gcd(k,n)=1}}\!\!k={\frac{1}{2}}n(%&#10;\varphi(n)+[n=1])}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1b">
      <mpadded width="-3.3pt" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21a" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.21b" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
            <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.1.cmml">1</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.2.cmml">≤</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.3.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.4.cmml">≤</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.2.5.cmml">n</mi>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.1.cmml">gcd</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.2a" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.3.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.5.cmml">n</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.6" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.9.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
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                <mn id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.8" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3.8.cmml">1</mn>
              </mrow>
            </mfrac>
          </munder>
        </mstyle>
      </mpadded>
      <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">k</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">1</mn>
          <mn id="p1.1.m1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.cmml">2</mn>
        </mfrac>
      </mstyle>
      <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">n</mi>
      <mrow id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">(</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">φ</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">n</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">[</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">n</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">=</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">1</mn>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">]</mo>
        </mrow>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">)</mo>
      </mrow>
    </mrow>
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        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1e">fragments</csymbol>
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          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">subscript</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
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            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.3">
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            <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">n</csymbol>
            <eq id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">1</cn>
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    </annotation-xml>
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\varphi(n)+[n=1])}</annotation>
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</math>

SVG (12.903 KB / 4.336 KB) :

sigma-summation Underscript StartLayout 1st Row 1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to n 2nd Row gcd left-parenthesis k comma n right-parenthesis equals 1 EndLayout Endscripts k equals one-half n left-parenthesis phi left-parenthesis n right-parenthesis plus left-bracket n equals 1 right-bracket right-parenthesis

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (1.813 KB / 563 B) :

∑ 1 ≤ k ≤ n gcd ( k , n ) = 1 k = 1 2 n ( φ ( n ) + [ n = 1 ] ) {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])}">
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        <munder>
          <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
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        <mspace width="negativethinmathspace" />
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        <mo stretchy="false">)</mo>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (9.854 KB / 3.934 KB) :

{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])}

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