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\bold{A}:\bold{B} = \sum_i\sum_j A_{ij}B_{ij} = \mathrm{tr}(\mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{B}) = \mathrm{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T}).

TeX (checked):

{\mathbf {A}}:{\mathbf {B}}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} }).

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𝐀 : 𝐁 = i j A i j B i j = tr ( 𝐀 T 𝐁 ) = tr ( 𝐀𝐁 T ) . normal-: 𝐀 𝐁 subscript i subscript j subscript A i j subscript B i j tr superscript 𝐀 normal-T 𝐁 tr superscript 𝐀𝐁 normal-T {\displaystyle{\mathbf{A}}:{\mathbf{B}}=\sum_{i}\sum_{j}A_{{ij}}B_{{ij}}={% \mathrm{tr}}({\mathbf{A}}^{{\mathrm{T}}}{\mathbf{B}})={\mathrm{tr}}({\mathbf{A% }}{\mathbf{B}}^{{\mathrm{T}}}).}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\mathbf{A}}:{\mathbf{B}}=\sum_{i}\sum_{j}A_{{ij}}B_{{ij}}={%&#10;\mathrm{tr}}({\mathbf{A}}^{{\mathrm{T}}}{\mathbf{B}})={\mathrm{tr}}({\mathbf{A%&#10;}}{\mathbf{B}}^{{\mathrm{T}}}).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.30a" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">𝐀</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">:</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">𝐁</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.1.cmml">
              <munder id="p1.1.m1.1.30.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.1.cmml">
                <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">i</mi>
              </munder>
            </mstyle>
            <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.2.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.30.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.2.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">j</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.2.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.30.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">A</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">j</mi>
                  </mrow>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.30.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.2.2.2.1.cmml"></mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">B</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">i</mi>
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                  </mrow>
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              </mrow>
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          </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.3" xref="p1.1.m1.1.30.1.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">tr</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.30.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.3.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.3.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.3.2.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.30.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.3.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">𝐀</mi>
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                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.30.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.3.2.2.1.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">𝐁</mi>
              </mrow>
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            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">=</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.4" xref="p1.1.m1.1.30.1.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">tr</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.30.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.4.1.cmml"></mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">𝐀𝐁</mi>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">T</mi>
              </msup>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.28">)</mo>
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          </mrow>
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              <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">tr</ci>
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\mathrm{tr}}({\mathbf{A}}^{{\mathrm{T}}}{\mathbf{B}})={\mathrm{tr}}({\mathbf{A%
}}{\mathbf{B}}^{{\mathrm{T}}}).}</annotation>
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