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Display information for equation id:math.248805.6 on revision:248805

* Page found: Gradient theorem (eq math.248805.6)

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Hash: 23c279316b512b1b58b126b8f6ee4478

TeX (original user input):

\begin{align}
\int_{\gamma} |\mathbf{x}|^{\alpha - 1} \mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} &= \frac{1}{\alpha + 1} \int_{\gamma} (\alpha + 1)|\mathbf{x}|^{(\alpha+1)-2} \mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} \\
&=\frac{1}{\alpha + 1} \int_{\gamma} \nabla(|\mathbf{x}|^{\alpha + 1}) \cdot d\mathbf{x}= \frac{|\mathbf{q}|^{\alpha + 1} - |\mathbf{p}|^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} 
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla (|\mathbf {x} |^{\alpha +1})\cdot d\mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (29.731 KB / 3.279 KB) :

γ | 𝐱 | α - 1 𝐱 𝑑 𝐱 = 1 α + 1 γ ( α + 1 ) | 𝐱 | ( α + 1 ) - 2 𝐱 𝑑 𝐱 = 1 α + 1 γ ( | 𝐱 | α + 1 ) 𝑑 𝐱 = | 𝐪 | α + 1 - | 𝐩 | α + 1 α + 1 subscript 𝛾 superscript 𝐱 𝛼 1 𝐱 differential-d 𝐱 absent 1 𝛼 1 subscript 𝛾 𝛼 1 superscript 𝐱 𝛼 1 2 𝐱 differential-d 𝐱 missing-subexpression absent 1 𝛼 1 subscript 𝛾 superscript 𝐱 𝛼 1 differential-d 𝐱 superscript 𝐪 𝛼 1 superscript 𝐩 𝛼 1 𝛼 1 {\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\int_{{\gamma}}|{\mathbf{x}}|^{{% \alpha-1}}{\mathbf{x}}\cdot d{\mathbf{x}}&\displaystyle={\frac{1}{\alpha+1}}% \int_{{\gamma}}(\alpha+1)|{\mathbf{x}}|^{{(\alpha+1)-2}}{\mathbf{x}}\cdot d{% \mathbf{x}}\\ &\displaystyle={\frac{1}{\alpha+1}}\int_{{\gamma}}\nabla(|{\mathbf{x}}|^{{% \alpha+1}})\cdot d{\mathbf{x}}={\frac{|{\mathbf{q}}|^{{\alpha+1}}-|{\mathbf{p}% }|^{{\alpha+1}}}{\alpha+1}}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\int_{{\gamma}}|{\mathbf{x}}|^{{%&#10;\alpha-1}}{\mathbf{x}}\cdot d{\mathbf{x}}&amp;\displaystyle={\frac{1}{\alpha+1}}%&#10;\int_{{\gamma}}(\alpha+1)|{\mathbf{x}}|^{{(\alpha+1)-2}}{\mathbf{x}}\cdot d{%&#10;\mathbf{x}}\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{1}{\alpha+1}}\int_{{\gamma}}\nabla(|{\mathbf{x}}|^{{%&#10;\alpha+1}})\cdot d{\mathbf{x}}={\frac{|{\mathbf{q}}|^{{\alpha+1}}-|{\mathbf{p}%&#10;}|^{{\alpha+1}}}{\alpha+1}}\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">γ</mi>
              </msub>
            </mstyle>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.2.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐱</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.1.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">𝐱</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.2.cmml">
                <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">𝑑</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10.cmml">𝐱</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">1</mn>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">γ</mi>
                  </msub>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">α</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">+</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.1.cmml"></mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.2.1.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.2.1.1.cmml">|</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">𝐱</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.2.1.1.cmml">|</mo>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8.2.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8.2.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.cmml">α</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3.cmml">+</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.4.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.6.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.7.cmml">2</mn>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">𝐱</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">𝐱</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
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          </mrow>
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      </mtr>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
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                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">γ</mi>
                  </msub>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml"></mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml">(</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.2.1.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.2.1.1.cmml">|</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">𝐱</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.2.1.1.cmml">|</mo>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.1.cmml">α</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.2.cmml">+</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.3.cmml">1</mn>
                        </mrow>
                      </msup>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">𝐱</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2.cmml">𝐪</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.2.1.1.cmml">|</mo>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.1.cmml">α</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.2.cmml">+</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.5.cmml">-</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.7.cmml">𝐩</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.2.1.1.cmml">|</mo>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.1.cmml">α</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.2.cmml">+</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.1.cmml">α</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11">subscript</csymbol>
              <int id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">𝛾</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8"></ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.2">
                    <abs id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4">𝐱</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.1">𝛼</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7">𝐱</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.2">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9">differential-d</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10">𝐱</ci>
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          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">absent</csymbol>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2">1</cn>
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                  <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.1">𝛼</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.3">1</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1">subscript</csymbol>
                  <int id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1">𝛾</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15"></ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.2">
                      <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝛼</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">1</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.2">
                        <abs id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝐱</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.6"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.8">
                          <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2">𝛼</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.4">1</cn>
                        </apply>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.7">2</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">𝐱</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">differential-d</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">𝐱</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">1</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">
                    <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1">𝛼</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1">subscript</csymbol>
                    <int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">𝛾</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"></ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"></ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1">superscript</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.2">
                          <abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">𝐱</ci>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">
                          <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.1">𝛼</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.3">1</cn>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">differential-d</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">𝐱</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
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                  <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.5"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.2">
                      <abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.10.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2">𝐪</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1">
                      <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.2"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.1">𝛼</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.1.3">1</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.2">
                      <abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.11.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.6"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.7">𝐩</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.9.1">
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\alpha+1}})\cdot d{\mathbf{x}}={\frac{|{\mathbf{q}}|^{{\alpha+1}}-|{\mathbf{p}%
}|^{{\alpha+1}}}{\alpha+1}}\end{aligned}}}</annotation>
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MathML (7.755 KB / 853 B) :

γ | x | α 1 x d x = 1 α + 1 γ ( α + 1 ) | x | ( α + 1 ) 2 x d x = 1 α + 1 γ ( | x | α + 1 ) d x = | q | α + 1 | p | α + 1 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla (|\mathbf {x} |^{\alpha +1})\cdot d\mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}
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SVG (12.581 KB / 3.783 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla (|\mathbf {x} |^{\alpha +1})\cdot d\mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}

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