Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.268052.0 on revision:268052

* Page found: Cyclotomic field (eq math.268052.0)

(force rerendering)

Cannot find the equation data in the database. Fetching from revision text.

Occurrences on the following pages:

Hash: feb61b8151b290923aefb71e56ac49a7

TeX (original user input):

\Phi_n(x) =
\prod_\stackrel{1\le k\le n}{\gcd(k,n)=1}
\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right)

TeX (checked):

\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (9.134 KB / 1.532 KB) :

Φ n ( x ) = gcd ( k , n ) = 1 1 k n ( x - e 2 i π k n ) subscript Φ 𝑛 𝑥 subscript product superscript 𝑘 𝑛 1 1 𝑘 𝑛 𝑥 superscript 𝑒 2 𝑖 𝜋 𝑘 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\Phi_{n}(x)=\prod_{\lx@stackrel{{\scriptstyle 1% \leq k\leq n}}{{\gcd(k,n)=1}}}\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right)}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Phi_{n}(x)=\prod_{\lx@stackrel{{\scriptstyle 1%&#10;\leq k\leq n}}{{\gcd(k,n)=1}}}\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
        <msub id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Φ</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">n</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">x</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.15.2.1a" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml"></mo>
            <mover id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.1.cmml">gcd</mi>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.2a" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.1.cmml">
                    <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.3.cmml">k</mi>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.5.cmml">n</mi>
                    <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.6" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.7" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.7.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.8" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.8.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.cmml">
                <mn mathsize="140%" id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.1.cmml">1</mn>
                <mo mathsize="140%" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.2.cmml"></mo>
                <mi mathsize="140%" id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.3.cmml">k</mi>
                <mo mathsize="140%" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.4.cmml"></mo>
                <mi mathsize="140%" id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.5.cmml">n</mi>
              </mrow>
            </mover>
          </munder>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.15.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">-</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">e</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.5.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.1.5a" xref="p1.1.m1.1.13.1.5.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.3.cmml">π</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.1.5b" xref="p1.1.m1.1.13.1.5.cmml"></mo>
                <mfrac id="p1.1.m1.1.13.1.4" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.13.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.2.cmml">k</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.13.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.3.cmml">n</mi>
                </mfrac>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
        <eq id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">
          <times id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2">subscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">Φ</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑛</ci>
          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑥</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2">
          <apply id="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1">subscript</csymbol>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">product</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2">
                <eq id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.7"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.9.2">
                  <gcd id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.3">𝑘</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.5">𝑛</ci>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.8">1</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3">
                <and id="p1.1.m1.1.8.1.1.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.1.1.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3">
                  <leq id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.2"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.1">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.3">𝑘</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.1.1.3c.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3">
                  <leq id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.4"/>
                  <share href="#p1.1.m1.1.8.1.1.3.3.cmml" id="p1.1.m1.1.8.1.1.3d.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.3.5">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.15.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2">
            <minus id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑥</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑒</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">
                <times id="p1.1.m1.1.13.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.5"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1">2</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.13.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2">𝑖</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.13.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.3">𝜋</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.4">
                  <divide id="p1.1.m1.1.13.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.2">𝑘</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.3">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\Phi_{n}(x)=\prod_{\lx@stackrel{{\scriptstyle 1%
\leq k\leq n}}{{\gcd(k,n)=1}}}\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right)}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (15.907 KB / 5.555 KB) :

normal upper Phi Subscript n Baseline times left-parenthesis x right-parenthesis equals product Underscript gcd left-parenthesis k comma n right-parenthesis equals 1 Overscript 1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to n Endscripts Endscripts left-parenthesis x minus e Superscript 2 times i times pi times StartFraction k Over n EndFraction Baseline right-parenthesis

MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

SVG image empty. Force Re-Rendering

SVG (0 B / 8 B) :


PNG (0 B / 8 B) :


Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@43610a66

Translation to Mathematica

In Mathematica:

[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@33357778

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Cyclotomic field page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results