Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.28282.4 on revision:28282

* Page found: Convergent matrix (eq math.28282.4)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: 8a287fa9dfc262287ce056e307a268c6

TeX (original user input):

\begin{align}
\mathbf{T}^k = \begin{pmatrix}
(\frac{1}{4})^k & \frac{k}{2^{2k - 1}} \\[4pt]
0 & (\frac{1}{4})^k
\end{pmatrix}.
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (11.017 KB / 1.401 KB) :

𝐓 k = ( ( 1 4 ) k k 2 2 k - 1 0 ( 1 4 ) k ) . superscript 𝐓 𝑘 superscript 1 4 𝑘 𝑘 superscript 2 2 𝑘 1 0 superscript 1 4 𝑘 {\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle{\mathbf{T}}^{k}={\begin{pmatrix}(% {\frac{1}{4}})^{k}&{\frac{k}{2^{{2k-1}}}}\\ 0&({\frac{1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle{\mathbf{T}}^{k}={\begin{pmatrix}(%&#10;{\frac{1}{4}})^{k}&amp;{\frac{k}{2^{{2k-1}}}}\\&#10;0&amp;({\frac{1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝐓</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">k</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">(</mo>
                <mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                  <mtr id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                    <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3b" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo>
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.3.cmml">4</mn>
                          </mfrac>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.4.1.cmml">k</mi>
                      </msup>
                    </mtd>
                    <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3c" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.2.cmml">k</mi>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml">2</mn>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5.cmml">
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.1.cmml">2</mn>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5.1.cmml"></mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.2.cmml">k</mi>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.3.cmml">-</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.4.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                        </msup>
                      </mfrac>
                    </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3d" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                    <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3e" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.1.cmml">0</mn>
                    </mtd>
                    <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3f" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.cmml">(</mo>
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.3.cmml">4</mn>
                          </mfrac>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.4.1.cmml">k</mi>
                      </msup>
                    </mtd>
                  </mtr>
                </mtable>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">.</mo>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝐓</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">𝑘</ci>
            </apply>
            <matrix id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.5">
              <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.5">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.6">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.6"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.2">1</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.2.3">4</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.4.1">𝑘</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.2">𝑘</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.1">2</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.3"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.5.1"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.1">2</cn>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.2">𝑘</ci>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.2.1.1.3.2.1.4">1</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </matrixrow>
              <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.5">
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.1">0</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.6">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.6"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.2">1</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.2.3">4</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.1.4.1">𝑘</ci>
                </apply>
              </matrixrow>
            </matrix>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle{\mathbf{T}}^{k}={\begin{pmatrix}(%
{\frac{1}{4}})^{k}&amp;{\frac{k}{2^{{2k-1}}}}\\
0&amp;({\frac{1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (11.124 KB / 3.131 KB) :

StartLayout 1st Row bold upper T Superscript k Baseline equals Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column left-parenthesis one-fourth right-parenthesis Superscript k Baseline 2nd Column StartFraction k Over 2 Superscript 2 times k minus 1 Baseline EndFraction 2nd Row 1st Column 0 2nd Column left-parenthesis one-fourth right-parenthesis Superscript k Baseline EndMatrix period EndLayout

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (3.651 KB / 673 B) :

T k = ( ( 1 4 ) k k 2 2 k 1 0 ( 1 4 ) k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&amp;{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&amp;({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
            <mtr>
              <mtd>
                <msup>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi mathvariant="bold">T</mi>
                  </mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi>k</mi>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mrow>
                    <mo>(</mo>
                    <mtable rowspacing="0.8em 0.4em" columnspacing="1em">
                      <mtr>
                        <mtd>
                          <mo stretchy="false">(</mo>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mfrac>
                              <mn>1</mn>
                              <mn>4</mn>
                            </mfrac>
                          </mrow>
                          <msup>
                            <mo stretchy="false">)</mo>
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                              <mi>k</mi>
                            </mrow>
                          </msup>
                        </mtd>
                        <mtd>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mfrac>
                              <mi>k</mi>
                              <msup>
                                <mn>2</mn>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                  <mn>2</mn>
                                  <mi>k</mi>
                                  <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                                  <mn>1</mn>
                                </mrow>
                              </msup>
                            </mfrac>
                          </mrow>
                        </mtd>
                      </mtr>
                      <mtr>
                        <mtd>
                          <mn>0</mn>
                        </mtd>
                        <mtd>
                          <mo stretchy="false">(</mo>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mfrac>
                              <mn>1</mn>
                              <mn>4</mn>
                            </mfrac>
                          </mrow>
                          <msup>
                            <mo stretchy="false">)</mo>
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                              <mi>k</mi>
                            </mrow>
                          </msup>
                        </mtd>
                      </mtr>
                    </mtable>
                    <mo>)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo>.</mo>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&amp;{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&amp;({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (8.83 KB / 3.238 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Convergent matrix page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results